Mersenne asal - Mersenne prime
Adını | Marin Mersenne |
---|---|
No bilinen terimler | 51 |
Tahmini hayır. terimlerin | Sonsuz |
altdizi arasında | Mersenne numaraları |
İlk terimler | 3 , 7 , 31 , 127 , 8191 |
Bilinen en büyük terim | 2 82.589.933 − 1 (7 Aralık 2018) |
OEIS endeksi |
Bir Mersenne asal bir olan asal sayı daha kısa bir tane olan iki güç . Yani, bazı n tam sayıları için M n = 2 n − 1 biçiminde bir asal sayıdır . Adları , 17. yüzyılın başlarında onları inceleyen bir Fransız Minim rahibi olan Marin Mersenne'den almıştır . Eğer n, a, bileşik sayı daha sonra böyledir 2 , n 1 - . Bu nedenle, Mersenne asallarının eşdeğer bir tanımı, bunların M p = 2 p − 1 biçimindeki asal sayılar olmalarıdır.bazı asal p için .
Üslü N Mersenne asal elde 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, ... (dizisidir A000043 olarak OEIS ) ve elde edilen Mersenne asal olan 3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131.071, 524.287, 2147483647 , ... (dizi A000668 olarak OEIS ).
M n = 2 n − 1 biçimindeki sayılar , asallık şartı olmaksızın Mersenne sayıları olarak adlandırılabilir . Ancak bazen Mersenne sayıları, n'nin asal olması için ek gereksinime sahip olacak şekilde tanımlanır . Birinci üs ile küçük bileşik Mersenne sayısı n olan 2 11 - 1 = 2047 = 23 x 89 .
Mersenne asalları, mükemmel sayılarla yakın bağlantıları nedeniyle antik çağda incelenmiştir : Öklid-Euler teoremi, mükemmel sayılarla Mersenne asalları arasında bire bir eşleşme olduğunu ileri sürer. Bilinen en büyük asal sayıların çoğu Mersenne asal sayılarıdır çünkü Mersenne sayılarının asallığı kontrol etmek daha kolaydır.
Ekim 2020 itibariyle 51 Mersenne asal sayısı bilinmektedir. Bilinen en büyük asal sayı olan 2 82.589.933 − 1 bir Mersenne asalıdır . 1997'den beri, yeni bulunan tüm Mersenne asal sayıları , dağıtılmış bir bilgi işlem projesi olan Great Internet Mersenne Prime Search tarafından keşfedildi . Aralık 2020'de 100 milyonun altındaki tüm üsler en az bir kez kontrol edildikten sonra projede önemli bir dönüm noktası geçildi.
Mersenne asal sayıları hakkında
Sonsuz sayıda Mersenne asal var mı?
Mersenne asal sayılarıyla ilgili birçok temel soru çözülmemiş durumda. Mersenne asalları kümesinin sonlu mu yoksa sonsuz mu olduğu bile bilinmiyor. Lenstra-Pomerance-Sopalı adam varsayım sonsuz sayıda Mersenne asal olduğu iddia ve onların tahmin büyüme sırasını . Asal üslü sonsuz sayıda Mersenne sayısının bileşik olup olmadığı da bilinmemektedir , ancak bu, asal sayılar hakkında yaygın olarak inanılan varsayımlardan, örneğin 3 ile uyumlu Sophie Germain asallarının sonsuzluğundan ( mod 4 ) çıkacak olsa da . Bu asal sayılar için p , 2 p + 1 (ki bu da asaldır) M p 'yi böler , örneğin 23 | M 11 , 47 | M 23 , 167 | M 83 , 263 | M 131 , 359 | M 179 , 383 | M 191 , 479 | M 239 ve 503 | E 251 (sekans A002515 olarak OEIS ). Bu asal için yana p , 2 p + 1 uyumlu çok 2 olan, 7 mod ila 8 arasında, kuadratik kalıntı mod 2 p + 1 ve çarpımsal düzeni 2 mod arasında 2 p + 1 şart bölmek = p . Yana p bir asal, o olmalı p veya 1. Bununla birlikte, 1 beri olamaz hiçbir vardır ve 1 asal çarpanları olması gerekir, bu yüzden s . Dolayısıyla 2 p + 1 bölünür ve asal olamaz.
İlk dört Mersenne asal sayısı M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 5 = 31 ve M 7 = 127'dir ve ilk Mersenne asal M 2 'de başladığından , tüm Mersenne asalları 3 ile uyumludur (mod 4). Bunun dışında M 0 = 0 ve M 1 = 1 , tüm diğer Mersenne sayıları da 3 (mod 4) için uyumludur. Sonuç olarak, bir Mersenne sayısının ( ≥ M 2 ) asal çarpanlarına ayrılmasında 3'e (mod 4) en az bir asal çarpan olmalıdır.
Mersenne sayılarıyla ilgili temel bir teorem , eğer M p asal ise, o zaman p üssünün de asal olması gerektiğini belirtir . Bu, kimlikten gelir
Bu, M 4 = 2 4 − 1 = 15 = 3 × 5 = (2 2 − 1) × (1 + 2 2 ) gibi bileşik üslü Mersenne sayıları için asallığı dışlar .
Yukarıdaki örnekler, M p'nin tüm p asal sayıları için asal olduğunu önerebilse de , durum böyle değildir ve en küçük karşı örnek Mersenne sayısıdır.
- M 11 = 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89 .
Eldeki kanıtlar, rastgele seçilmiş bir Mersenne sayısının asal olma olasılığının, benzer büyüklükteki rastgele seçilmiş tek bir tam sayıdan çok daha muhtemel olduğunu göstermektedir. Bununla birlikte, p arttıkça , M p'nin asal değerlerinin giderek seyrekleştiği görülmektedir . Örneğin, ilk 11 asal sekiz p bir Mersenne asal gündeme gelmektedir M p (Mersenne 'orijinal listedeki doğru terimler), ise M p sadece 43 ilk iki milyondan asal sayılar (yukarı 32,452,843) aralığında için asal.
Belirli bir Mersenne sayısının asal olup olmadığını belirlemek için herhangi bir basit testin olmaması, Mersenne sayıları çok hızlı büyüdüğü için Mersenne asal sayıları aramayı zor bir görev haline getirir. Lucas-Lehmer asallık testi (LLT) etkin olduğu asallık testi ölçüde çok daha kolay aynı boyuttaki diğer birçok sayıların daha Mersenne sayılarının asallık sınamak için yapım bu görevi yardımcı olur. Bilinen en büyük asal sayı arayışı, bir şekilde bir kültü takip ediyor . Sonuç olarak, yeni Mersenne asal sayıları aramak için büyük miktarda bilgisayar gücü harcanmıştır ve bunların çoğu artık dağıtılmış bilgi işlem kullanılarak yapılmaktadır .
Aritmetik modülo a Mersenne sayısı ikili bir bilgisayarda özellikle etkilidir , bu da onları Park-Miller rasgele sayı üreteci gibi bir asal modül istendiğinde popüler seçenekler haline getirir . Mersenne sayı düzeninde ilkel bir polinom bulmak için o sayının çarpanlara ayrılmasını bilmek gerekir, bu nedenle Mersenne asalları çok yüksek dereceden ilkel polinomları bulmayı sağlar. Bu tür ilkel üçlü terimler , Mersenne twister , genelleştirilmiş kaydırma yazmacı ve Gecikmeli Fibonacci üreteçleri gibi çok büyük periyotlara sahip psödo-rastgele sayı üreteçlerinde kullanılır .
Mükemmel sayılar
Mersenne asal sayıları M p , mükemmel sayılarla yakından bağlantılıdır . MÖ 4. yüzyılda Öklid , 2 p − 1 asal ise, 2 p − 1 (2 p − 1 ) mükemmel bir sayı olduğunu kanıtladı . 18. yüzyılda, Leonhard Euler , tersine, tüm mükemmel sayıların bile bu forma sahip olduğunu kanıtladı. Bu, Öklid-Euler teoremi olarak bilinir . Tek mükemmel sayıların olup olmadığı bilinmiyor .
Tarih
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 |
59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 |
137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 |
227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
269 | 271 | 277 | 281 | 283 | 293 | 307 | 311 |
Mersenne asallarına karşılık gelenlerle birlikte ilk 64 asal üs camgöbeği ve koyu renkle gölgelendirilmiş ve Mersenne tarafından bunu yapmayı düşündüğü kırmızı ve koyu renkle gösterilmiştir. |
Mersenne asal sayıları adını , 257'ye kadar üslü Mersenne asal sayıların bir listesini derleyen 17. yüzyıl Fransız bilgini Marin Mersenne'den alır . Mersenne tarafından sıralanan üsler aşağıdaki gibidir:
- 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.
Onun listesi 19. Bir sonraki girişi, 31 kadar üslü zamanının bilinen asal çoğaltılmış doğru ama listesi daha sonra yanlışlıkla dahil Mersenne olarak, büyük ölçüde yanlış hale M 67 ve M 257 (birleşik) ve ihmal M 61 , M 89 ve M 107 (bunlar asaldır). Mersenne, listesini nasıl oluşturduğuna dair çok az ipucu verdi.
Edouard Lucas 1876'da Mersenne'in iddia ettiği gibi M 127'nin gerçekten asal olduğunu kanıtladı . Bu, Ferrier'in bir masa hesap makinesi kullanarak daha büyük bir asal bulduğu 1951 yılına kadar 75 yıl boyunca bilinen en büyük asal sayıydı . M 61'in 1883'te Ivan Mikheevich Pervushin tarafından asal olduğu belirlendi , ancak Mersenne bunun bileşik olduğunu iddia etti ve bu nedenle bazen Pervushin'in numarası olarak anılır. Bu bilinen en büyük ikinci asal sayıydı ve 1911'e kadar öyle kaldı. Lucas, 1876'da Mersenne'in listesinde bir hata daha göstermişti. Lucas, bir çarpan bulamadan M 67'nin aslında bileşik olduğunu gösterdi . 1903'te Frank Nelson Cole'un ünlü konuşmasına kadar hiçbir faktör bulunamadı. Tek kelime konuşmadan bir karatahtaya gitti ve 2'yi 67'ye yükseltti, sonra bir çıkardı. Tahtanın diğer tarafında 193.707.721 × 761.838.257.287'yi çarparak aynı sayıyı aldı ve konuşmadan (alkışlara) yerine döndü. Daha sonra, sonucun onu bulmanın "üç yıl pazar günleri" sürdüğünü söyledi. Bu sayı aralığındaki tüm Mersenne asallarının doğru listesi, Mersenne'in listesini yayınlamasından yalnızca yaklaşık üç yüzyıl sonra tamamlandı ve titizlikle doğrulandı.
Mersenne asal sayıları aranıyor
Mersenne asal sayılarını bulmak için hızlı algoritmalar mevcuttur ve Haziran 2019 itibariyle, bilinen en büyük sekiz asal sayı Mersenne asal sayılarıdır.
İlk dört Mersenne asal M 2 = 3 , M 3 = 7 , M 5 = 31 ve M 7 = 127 antik çağda biliniyordu. Beşinci, M 13 = 8191 , 1461 önce anonim olarak tespit edilmiştir; sonraki ikisi ( M 17 ve M 19 ) 1588'de Pietro Cataldi tarafından bulundu. Yaklaşık iki yüzyıl sonra M 31'in asal olduğu 1772'de Leonhard Euler tarafından doğrulandı. Bir sonraki (tarihsel, sayısal sıraya göre değil) M 127 idi , tarafından bulunan Edouard Lucas , daha sonra 1876 yılında M 61 tarafından Ivan Mikheevich Pervushin 1883 yılında iki tane daha ( M 89 ve M 107 ) tarafından, 20. yüzyılın başlarında bulundu RE Powers sırasıyla 1911 ve 1914 içinde.
Mersenne sayılarının asallığını test etmek için şu anda bilinen en etkili yöntem Lucas-Lehmer asallık testidir . Özel olarak, birinci için olduğu gösterilebilir p > 2 , M p = 2 p 1 - asal , ancak ve ancak, eğer M s böler S p - 2 , S 0 = 4 ve S k = ( S k - 1 ) 2 − k > 0 için 2 .
Manuel hesaplama çağında, 257'ye kadar ve dahil olmak üzere tüm üsler Lucas-Lehmer testi ile test edildi ve bileşik olduğu bulundu. 157, 167, 193, 199, 227 ve 229 üsleri için hesaplamaları yapan emekli Yale fizik profesörü Horace Scudder Uhler, kayda değer bir katkı yaptı. Mersenne asal sayıları: Bir sonraki Mersenne asal üssü 521, önceki rekor olan 127'den dört kat daha büyük olacaktı.
Mersenne asal sayıları arayışı, elektronik dijital bilgisayarın tanıtılmasıyla devrim yarattı. Alan Turing'in onlar için aranan Manchester Mark 1 1949, ama bir Mersenne asal ilk başarılı kimlik, M 521 bu yollarla, ABD kullanılarak, 30 Ocak 1952 tarihinde 10:00 de sağlandı Standartları Ulusal Bürosu Western Los Angeles California Üniversitesi Nümerik Analiz Enstitüsü'nde DH Lehmer yönetimindeki Otomatik Bilgisayar (SWAC) , Prof. RM Robinson tarafından yazılan ve yürütülen bir bilgisayar arama programı ile . Otuz sekiz yıl içinde tanımlanan ilk Mersenne asal sayıydı; bir sonraki M 607 , bilgisayar tarafından iki saatten biraz daha kısa bir süre sonra bulundu. Sonraki birkaç ay içinde aynı program tarafından üç tane daha — M 1279 , M 2203 ve M 2281 — bulundu. M 4,423 ilk bulunan olduğu titanik asal , M 44.497 olan birinci tespit dev asal ve M 6.972.593 ilk Megaprime en az 1,000,000 basamaklı bir asal olan, tespit edilecek. Ondalık temsil hane sayısı M n eşittir ⌊ n log x 10 2⌋ + 1 , ⌊ x ⌋ O anlamına gelir kat fonksiyonu (eşdeğer ya da ⌊log 10 M n ⌋ + 1 ).
Eylül 2008'de, Great Internet Mersenne Prime Search'e (GIMPS) katılan UCLA'daki matematikçiler, yaklaşık 13 milyon basamaklı bir Mersenne asalını keşfettikleri için Electronic Frontier Foundation'dan 100.000 dolarlık ödülün bir kısmını kazandılar . Sonunda Ekim 2009'da onaylanan ödül, en az 10 milyon basamaklı bilinen ilk asal sayı için. Prime, 23 Ağustos 2008'de bir Dell OptiPlex 745'te bulundu . Bu, UCLA'da keşfedilen sekizinci Mersenne asal değeriydi.
12 Nisan 2009'da bir GIMPS sunucu günlüğü, 47. Mersenne üssünün muhtemelen bulunduğunu bildirdi. Buluntu ilk olarak 4 Haziran 2009'da fark edildi ve bir hafta sonra doğrulandı. Asal sayı 2 42.643.801 − 1'dir . Kronolojik olarak keşfedilecek 47. Mersenne asal olmasına rağmen, o zamanlar bilinen en büyük 45. keşfedilen Mersenne asalından daha küçüktür.
25 Ocak 2013 tarihinde, Central Missouri Üniversitesi'nde matematikçi olan Curtis Cooper , bir GIMPS sunucu ağı tarafından yürütülen bir aramanın sonucunda 48. Mersenne asal, 2 57.885.161 − 1 (17.425.170 basamaklı bir sayı) keşfetti.
19 Ocak 2016'da Cooper , bir GIMPS sunucu ağı tarafından yürütülen bir aramanın sonucunda 49. Mersenne asal, 2 74.207.281 − 1 (22.338.618 basamaklı bir sayı) keşfini yayınladı. Bu, Cooper ve ekibi tarafından son on yılda keşfedilen dördüncü Mersenne üssüydü.
2 Eylül 2016'da Great Internet Mersenne Prime Search , M 37.156.667'nin altındaki tüm testleri doğrulamayı tamamladı ve böylece resmi olarak 45. Mersenne prime konumunu doğruladı.
3 Ocak 2018'de Tennessee , Germantown'da yaşayan 51 yaşındaki elektrik mühendisi Jonathan Pace'in 50. Mersenne asalını , 2 77.232.917 − 1 (23.249.425 basamaklı bir sayı) bulduğu açıklandı. bir GIMPS sunucu ağı tarafından yürütülen bir arama. Keşif, aynı kasabadaki bir kilisenin ofisinde bulunan bir bilgisayar tarafından yapıldı.
21 Aralık 2018'de The Great Internet Mersenne Prime Search'ün (GIMPS) 24.862.048 basamaklı, bilinen en büyük asal sayı olan 2 82.589.933 − 1'i keşfettiği açıklandı. Florida, Ocala'dan Patrick Laroche tarafından gönüllü olarak bulunan bir bilgisayar , 7 Aralık 2018'de bulguyu yaptı.
2020'nin sonlarında GIMPS , 2017'de Robert Gerbicz'in geliştirilmesine dayanan Muhtemel asal (PRP) testi olarak adlandırılan potansiyel Mersenne asal sayılarını dışlamak için yeni bir teknik ve 2018'de Krzysztof Pietrzak tarafından geliştirilen testleri doğrulamanın basit bir yolunu kullanmaya başladı. düşük hata oranı ve kanıtlama kolaylığı, bu, Lucas-Lehmer testi üzerindeki potansiyel asal sayıları ekarte etmek için hesaplama süresini neredeyse yarıya indirdi (çünkü iki kullanıcının diğerinin sonucunu doğrulamak için aynı testi yapması gerekmeyecekti), ancak üsler PRP testi hala birinin önceliğini doğrulamasını gerektirir.
Mersenne sayıları ile ilgili teoremler
- Eğer bir ve p bu şekilde doğal sayılardır bir p - 1 , daha sonra asal bir = 2 ya da p = 1 .
- Kanıt : a ≡ 1 ( mod a − 1) . Sonra bir p ≡ 1 (mod a − 1) , yani bir p − 1 ≡ 0 (mod a − 1) . Böylece a − 1 | bir p − 1 . Ancak, a p − 1 asaldır, yani a − 1 = a p − 1 veya a − 1 = ±1 . İlk durumda, a = a p , dolayısıyla a = 0, 1 (ne -1 ne de 0 asal olmadığından bu bir çelişkidir) veya p = 1. İkinci durumda, a = 2 veya a = 0 . Ancak a = 0 ise, 0 p − 1 = 0 − 1 = -1 ki bu asal değildir. Bu nedenle, a = 2 .
- Eğer 2 p - 1 asal ardından p asal olduğunu.
- İspat : Varsayalım ki p bileşiktir, dolayısıyla p = ab a ve b > 1 ile yazılabilir . O zaman 2 p − 1 = 2 ab − 1 = (2 a ) b − 1 = (2 a − 1) ( (2 a ) b −1 + (2 a ) b −2 + … + 2 a + 1 ) yani 2 p − 1 bileşiktir. Çelişkili olarak, eğer 2 p − 1 asal ise, o zaman p asaldır.
- Eğer p bir tek asal, o zaman her asal q böler 2 p 1 - , 1 olmalıdır artı bir katı 2 s . Bu, 2 p − 1 asal olduğunda bile geçerlidir .
- Örneğin, 2 5 − 1 = 31 asaldır ve 31 = 1 + 3 × (2 × 5) . Bileşik bir örnek 2 11 − 1 = 23 × 89 şeklindedir , burada 23 = 1 + (2 × 11) ve 89 = 1 + 4 × (2 × 11) .
- Kanıt : Fermat'ın küçük teoremine göre q , 2 q −1 − 1'in bir faktörüdür . Yana q bir faktördür 2 p - 1 , tüm pozitif tam sayılardır için c , q, bir faktör de 2 pc - 1 . Yana s asal ve q bir faktör değildir 2 1 - 1 , s küçük pozitif tam sayı da x böyle q bir faktördür 2 x 1 - . Bunun bir sonucu olarak, tüm pozitif tam sayılardır için x , q, bir faktördür 2 x - 1 ancak ve ancak p bir faktördür x . Çünkü Bu nedenle, q, bir faktördür 2 q -1 - 1 , s bir faktördür q 1 - böylece q ≡ 1 (mod p ) . Ayrıca, q , tek olan 2 p − 1'in bir faktörü olduğundan, q tektir. Bu nedenle, q ≡ 1 (mod 2 p ) .
- Bir kanıtı Bu olgu açar Öklid teoremi her tek ana için: Öklid tarafından yazılan kanıt farklı asal Sonsuzluk ileri sürerken, p , bölme tüm asal 2 p 1 - daha büyük olan p ; bu nedenle her zaman belirli bir asaldan daha büyük asal sayılar vardır.
- Bu olgudan, her p > 2 asal sayı için, bazı k tam sayıları için 2 kp +1 M p'den küçük veya ona eşit biçiminde en az bir asal olduğu sonucu çıkar .
- Eğer p bir tek asal, o zaman her asal q bu bölme 2 p - 1 ile uyum sergileyecek olan ± 1 (mod 8) .
- Kanıt : 2 p +1 ≡ 2 (mod q ) , yani 2 1/2(p+1) , 2 mod q'nun karekökü. Tarafından karesel karşılıklılık , sayı 2, bir kare kökü olan her ana modülü için uyumlu olan ± 1 (mod 8) .
- Bir Mersenne üssü, bir Wieferich üssü olamaz .
- Kanıt : p = 2 m − 1'in bir Mersenne asal olup olmadığını gösteriyoruz , o zaman 2 p −1 ≡ 1 (mod p 2 ) kongrüansı tutmaz. Fermat'ın küçük teoremi ile, m | p - 1 . Bu nedenle, p − 1 = mλ yazılabilir . Verilen uygunluk sağlanırsa, p 2 | 2 mλ − 1 , dolayısıyla 0 ≡2 mλ − 1/2 m - 1 = 1 + 2 m + 2 2 m + ... + 2 ( λ − 1) m ≡ − λ mod (2 m − 1) . Dolayısıyla 2 m − 1 | λ , ve dolayısıyla λ ≥ 2 m − 1 . Bu, p − 1 ≥ m'ye (2 m − 1) yol açar , ki bu m ≥ 2 olduğundan imkansızdır .
- Eğer m ve n doğal sayılar daha sonra m ve n olan aralarında asal ve ancak eğer 2 m - 1 ve 2 n - 1 aralarında asal bulunmaktadır. Sonuç olarak, bir asal sayı en fazla bir asal üslü Mersenne sayısını böler. Yani, zararlı Mersenne sayıları kümesi ikili asaldır.
- Eğer p ve 2 s + 1 , her iki asal olan (yani , s a, Sophie Germain asal ) ve p olan uyumlu için 3 (mod 4) , daha sonra 2 p + 1 bölme 2 s - 1 .
- Örnek : 11 ve 23'ün ikisi de asaldır ve 11 = 2 × 4 + 3 , yani 23, 2 11 − 1'i böler .
- Korumalı : Let q olmak 2 s + 1 . Fermat'ın küçük teoremine göre, 2 2 p ≡ 1 (mod q ) , yani ya 2 p ≡ 1 (mod q ) ya da 2 p ≡ −1 (mod q ) . İkincisinin doğru olduğunu varsayarsak, sonra 2 p +1 = (21/2( p + 1) ) 2 ≡ -2 (mod q ) , yani -2 ikinci dereceden bir kalıntı mod q olur . Bununla birlikte, p , 3 (mod 4) ile uyumlu olduğundan, q , 7 (mod 8) ile uyumludurve bu nedenle 2, ikinci dereceden bir kalıntı mod q'dur . Ayrıca q , 3 (mod 4) ile uyumlu olduğu için, -1 ikinci derecedenbir kalıntıolmayan mod q'dur , bu nedenle -2 bir kalıntı ile bir kalıntı olmayanın ürünüdür ve dolayısıyla bir kalıntı değildir, bu bir çelişkidir. Bu nedenle, önceki kongrüans doğru olmalı ve 2 p + 1 , M p'yi böler.
- Asal üslü Mersenne sayılarının tüm bileşik bölenleri , taban 2'ye göre güçlü sözde asallardır .
- 1 dışında bir Mersenne sayısı mükemmel bir güç olamaz. Yani ve Mihăilescu'nun teoremine göre , 2 m − 1 = n k denkleminin m , n ve k'nin m > 1 ve k > 1 tamsayıları olduğu hiçbir çözümü yoktur .
Bilinen Mersenne asal sayıların listesi
Ekim 2021 itibariyle, bilinen 51 Mersenne asal sayısı aşağıdaki p için 2 p − 1'dir :
- 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 426409380 5717881,61 82589933. (sekans A000043 olarak OEIS )
Bileşik Mersenne sayılarının çarpanlara ayrılması
Asal sayılar oldukları için Mersenne asalları sadece 1'e ve kendilerine bölünebilir. Ancak, tüm Mersenne sayıları Mersenne asal sayıları değildir. Mersenne sayıları, özel sayı alanı elek algoritması için çok iyi test durumlarıdır , bu nedenle genellikle bu algoritma ile çarpanlara ayrılan en büyük sayı bir Mersenne numarası olmuştur. Haziran 2019 itibariyle, 2 1.193 − 1 rekor sahibidir ve aynı anda birkaç sayının çarpanlara ayrılmasına izin veren özel sayı alanı eleğinin bir varyantı ile çarpanlara ayrılmıştır. Daha fazla bilgiye bağlantılar için tamsayı çarpanlarına ayırma kayıtlarına bakın . Özel sayı alanı eleği, sayıları birden fazla büyük faktörle çarpanlara ayırabilir. Bir sayının yalnızca çok büyük bir faktörü varsa, diğer algoritmalar önce küçük faktörleri bularak ve ardından kofaktör üzerinde bir asallık testi yaparak daha büyük sayıları çarpanlara ayırabilir . Temmuz 2021 olan gibi, en geniş çarpanlara olası asal izin faktörleri olan 2 10.443.557 1 = 37,289,325,994,807 x - q , q, bir 3.143.811 basamaklı muhtemel asal. "fre_games" takma adıyla bir GIMPS katılımcısı tarafından keşfedildi. Temmuz 2021 itibariyle, Mersenne numarası M 1277 , bilinen çarpanları olmayan en küçük bileşik Mersenne sayısıdır; 2 68'in altında asal çarpanı yoktur .
Aşağıdaki tablo, ilk 20 bileşik Mersenne sayısı için çarpanlara ayırmaları göstermektedir ( OEIS'de A244453 dizisi ).
P | M p | M p'nin çarpanlara ayrılması |
---|---|---|
11 | 2047 | 23 × 89 |
23 | 8388607 | 47 × 178.481 |
29 | 536870911 | 233 × 1.103 × 2.089 |
37 | 137438953471 | 223 × 616,318,177 |
41 | 2199023255551 | 13.367 × 164.511.353 |
43 | 8796093022207 | 431 × 9.719 × 2.099.863 |
47 | 140737488355327 | 2.351 × 4.513 × 13.264.529 |
53 | 9007199254740991 | 6.361 × 69.431 × 20.394.401 |
59 | 57646075230343487 | 179.951 × 3.203.431.780.337 (13 basamak) |
67 | 147573952589676412927 | 193.707.721 × 761.838.257.287 (12 hane) |
71 | 2361183241434822606847 | 228.479 × 48.544.121 × 212.885.833 |
73 | 9444732965739290427391 | 439 × 2.298.041 × 9.361.973.132.609 (13 basamak) |
79 | 604462909807314587353087 | 2.687 × 202.029.703 × 1.113.491.139.767 (13 basamak) |
83 | 967140655691...033397649407 | 167 × 57.912.614.113.275.649.087.721 (23 basamak) |
97 | 158456325028...187087900671 | 11.447 × 13.842.607.235.828.485.645.766.393 (26 basamak) |
101 | 253530120045...993406410751 | 7.432.339.208.719 (13 basamak) × 341.117.531.003.194.129 (18 basamak) |
103 | 101412048018...973625643007 | 2.550.183.799 × 3.976.656.429.941.438.590.393 (22 basamak) |
109 | 649037107316...312041152511 | 745.988.807 × 870.035.986.098.720.987.332.873 (24 basamak) |
113 | 103845937170...992658440191 | 3.391 × 23.279 × 65.993 × 1.868.569 × 1.066.818.132.868.207 (16 basamak) |
131 | 272225893536...454145691647 | 263 × 10.350.794.431.055.162.386.718.619.237.468.234.569 (38 basamak) |
İlk 500 Mersenne numaraları için faktörlerin sayısı (sekans bulunabilir A046800 olarak OEIS ).
Doğada ve başka yerlerde Mersenne sayıları
Hanoi Kulesi matematik probleminde , bir n- disk kulesi ile bir bulmacayı çözmek , hata yapılmadığını varsayarak M n adım gerektirir . Bütün satranç tahtası üzerindeki pirinç tanelerinin sayısı buğday ve satranç tahtası problemi olan M 64 .
Küçük gezegen numarası 8191 olan asteroit , Marin Mersenne'den sonra 8191 Mersenne olarak adlandırılmıştır , çünkü 8191 bir Mersenne asaldır ( 3 Juno , 7 Iris , 31 Euphrosyne ve 127 Johanna , 19. yüzyılda keşfedilmiş ve adlandırılmıştır).
İn geometrisi , bir tamsayıdır dik üçgen olan ilkel ve hatta ayağını 2 (gücündedir ≥ 4 ) onun gibi benzersiz bir dik üçgen oluşturur inradius her zaman Mersenne sayıdır. Örneğin, hatta bacak ise, 2 , n + 1 o olduğu tek bacak kısıtlar ilkel olduğu için daha sonra 4 N - 1 , hipotenüs olmak 4 , n + 1 ve inradius olmak 2 , n - 1 .
Mersenne sayıları, 2018'de deterministik olmayan polinom zamanlı Turing makinelerinin kabul eden yollarının toplam sayısına göre incelendi ve ilginç kapanımlar keşfedildi.
Mersenne-Fermat asal sayıları
Bir Mersenne-Fermat sayısı şu şekilde tanımlanır:2 p r − 1/2 p r − 1 − 1, p asal, r doğal sayı ile ve MF( p , r ) olarak yazılabilir . Zaman R 1 = , bir Mersenne sayıdır. Zaman p = 2 , bu ise Fermat sayıları . r > 1 olan tek bilinen Mersenne-Fermat asal sayıları şunlardır:
- MF(2, 2), MF(2, 3), MF(2, 4), MF(2, 5), MF(3, 2), MF(3, 3), MF(7, 2) ve MF(59, 2) .
Aslında, MF ( s , r ) = Φ p r (2) , burada Φ olan devirli polinom .
genellemeler
En basit genelleştirilmiş Mersenne asalları, f (2 n ) biçimindeki asal sayılardır; burada f ( x ) küçük tamsayı katsayılarına sahip düşük dereceli bir polinomdur . Bir örnek 2 64 − 2 32 + 1 , bu durumda n = 32 ve f ( x ) = x 2 − x + 1 ; başka bir örnek 2 192 − 2 64 − 1 , bu durumda n = 64 ve f ( x ) = x 3 − x − 1 .
2 n − 1 biçimindeki asalları b n − 1 biçimindeki asal sayılara genelleştirmeye çalışmak da doğaldır ( b ≠ 2 ve n > 1 için ). Ancak ( yukarıdaki teoremlere de bakın ), b n − 1 her zaman b − 1 ile bölünebilir , bu nedenle ikincisi bir birim değilse, birincisi asal değildir. Bu, b'nin bir tamsayı yerine cebirsel bir tamsayı olmasına izin verilerek giderilebilir :
Karışık sayılar
In halka (tamsayılar gerçek sayılar ise), b - 1 bir olan birim , daha sonra b 2 veya 0. Ama olan 2 n - 1 zamanki Mersenne Asal sayılar ve formül 0 n - 1 şey yol açmaz ilginç (çünkü tüm n > 0 için her zaman -1 ). Böylece, Gauss tamsayıları ve Eisenstein tamsayıları gibi , gerçek sayılar yerine karmaşık sayılar üzerinde bir "tamsayı" halkası düşünebiliriz .
Gauss Mersenne asal sayıları
Gauss tamsayılarının halkasına bakarsak, b = 1 + i ve b = 1 - i durumunu alırız ve ( WLOG ) hangi n sayısının (1 + i ) n - 1 bir Gauss asal olduğunu sorabiliriz. sonra bir Gauss Mersenne üssü olarak adlandırılır .
(1 + i ) n − 1 , aşağıdaki n için bir Gauss asaldır :
- 2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14.699, 27529, 49.207, 77.291, 85237, 106.693, 160.423, 203.789, 364.289, 991.961, 1.203.793, 1.667.321, 3.704.053, 4.792.057, ... (dizi A057429 olarak OEIS )
Her zamanki Mersenne asal sayıları için üs dizisi gibi, bu dizi de yalnızca (rasyonel) asal sayılar içerir.
Tüm Gauss asal sayılarına gelince, bu sayıların normları (yani, mutlak değerlerin kareleri) rasyonel asallardır:
Eisenstein Mersenne asal sayıları
Böyle bir Mersenne asalının aynı zamanda bir Eisenstein asal olduğu , b = 1 + ω ve b = 1 - ω biçiminde olduğu durumlarla karşılaşılabilir . Bu durumlarda, bu tür sayılara Eisenstein Mersenne asalları denir .
(1 + ω ) n − 1 , aşağıdaki n için bir Eisenstein asalıdır :
- 2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827, 2237561, ... (dizi A066408 olarak OEIS )
Bu Eisenstein asallarının normları (yani, mutlak değerlerin kareleri) rasyonel asallardır:
bir tamsayıyı böl
asal sayılar
Diğer yol gerçeği ile başa çıkmak için b n 1 - hep bölünemeyen b - 1 , sadece bu faktör çıkar ve sormak hangi değerleri n marka
asal ol. ( b tamsayısı ya pozitif ya da negatif olabilir.) Örneğin, b = 10 alırsak, aşağıdakilerin n değerini alırız :
- 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86.453, 109.297, 270.343, ... (dizi A004023 olarak OEIS ),
asal 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111 tekabül eden, ... (dizi A004022 olarak OEIS ).
Bu asal sayılara reunit asalları denir. Başka bir örnek, b = -12 aldığımızda, aşağıdakilerin n değerini alırız :
- 2, 5, 11, 109, 193, 1483 11353, 21.419, 21911, 24071, 106.859, 139.739, ... (dizi A057178 olarak OEIS ),
asal -11, 19141, 57154490053 tekabül eden, ....
Mükemmel bir güç olmayan her b tamsayısı için sonsuz sayıda n değeri olduğu varsayımıdır .b , n - 1/b - 1asaldır. ( b mükemmel bir güç olduğunda, en fazla bir n değeri olduğu gösterilebilir .b , n - 1/b - 1 asal)
En az n öyle kib , n - 1/b - 1asaldır ( b = 2 ile başlayarak , böyle bir n yoksa 0 ile başlar )
- 2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 19, 3, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 3, 13, 313, 2, 13, 3, 349, 2, 3, 2, 5, 5, 19, 2, 127, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 0, 19, 2, 19, 5, 3, 2, 3, 2, ... (dizi A084740 içinde OEIS )
Negatif bazlar b için , bunlar ( b = -2 ile başlayarak , eğer böyle bir n yoksa 0 )
- 3, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 3, 11, 2, 3, 11, 0, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 11, 31, 5, 2, 3, 53, 17, 2, 5, 2, 103, 7, 5, 2, 7, 1153, 3, 7, 21.943, 2, 3, 37, 53, 3, 17, 2, 7, 2, 3, 0, 19, 7, 3, 2, 11, 3, 5, 2, ... (dizi A084742 içinde OEIS ) (bu OEIS dizisinin n = 2'ye izin vermediğine dikkat edin )
En küçük baz b öyle kib asal( n ) − 1/b - 1 asal
- 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, ... (dizi A066180 olarak OEIS )
Negatif bazlar b için , bunlar
- 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (dizi A103795 olarak OEIS )
Diğer genelleştirilmiş Mersenne asal sayıları
Başka bir genelleştirilmiş Mersenne sayısı
ile bir , b herhangi aralarında asal tamsayı, bir > 1 ve - bir < b < a . ( a n − b n her zaman a − b ile bölünebildiğinden , asal sayıları bulma şansı olması için bölme gereklidir. Aslında, bu sayı Lucas sayısı U n ( a + b , ab) ile aynıdır. ) beri bir ve b olan kökler arasında kuadratik denklemi x 2 - ( a + b ) x + ab = 0 ve bu sayı 1'e eşit olduğu zaman , n = 1 ) Biz hangi sorabilir n bu sayı asal hale getirir. Bu tür n'nin kendilerinin asal veya 4'e eşit olması gerektiği ve ancak ve ancak a + b = 1 ve a 2 + b 2 asal olduğu takdirde n'nin 4 olabileceği gösterilebilir . (Dan beria 4 - b 4/bir - b= ( a + b )( bir 2 + b 2 ) . Bu nedenle, bu durumda, bir çift ( a , b ) olmalıdır ( x + - 1, x ) ve x 2 + ( x + 1) 2 asal olmalıdır. Kendisine, X olmalıdır OEIS : A027861 bir çifti için bu bir varsayımdır). ( A , b ) örneğin, her doğal sayı için bu r > 1 , bir ve B her ikisi de mükemmel değildir r güçler inci ve -4 ab mükemmel bir dördüncü güç değildir . n'nin sonsuz sayıda değeri vardır, öyle kibir n - b n/bir - basaldır. Zaman ( bir ve b hem de mükemmel r güçler inci bir için r > 1 veya -4 ab mükemmel dördüncü güç, en fazla iki adet olduğu gösterilebilir N çünkü eğer öyleyse, o zaman, bu özelliği ile değerleribir n - b n/bir - bcebirsel olarak çarpanlarına ayrılabilir) Ancak bu, ( a , b ) ' nin herhangi bir tek değeri için kanıtlanmamıştır .
a | B | sayılar n öyle kibir n - b n/bir - basal olan (bazı büyük terimler sadece muhtemel asal , bu n kadar kontrol edilir 100000 için | b | ≤ 5 veya | b | = a - 1 , 20000 için 5 <| b | < a - 1 ) |
OEIS dizisi |
---|---|---|---|
2 | 1 | 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42649380, 571885161, ... 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ... | A000043 |
2 | -1 | 3, 4 * , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807 , 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ... | A000978 |
3 | 2 | 2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503, ... | A057468 |
3 | 1 | 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, ... | A028491 |
3 | -1 | 2 * , 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897 , 1205459, ... | A007658 |
3 | -2 | 3, 4 * , 7, 11, 83, 149, 223, 599, 647, 1373, 8423, 149497, 388897, ... | A057469 |
4 | 3 | 2, 3, 7, 17, 59, 283, 311, 383, 499, 521, 541, 599, 1193, 1993, 2671, 7547, 24019, 46301, 48121, 68597, 91283, 131497, 148663, 184463, 341233, ... | A059801 |
4 | 1 | 2 (başkaları yok) | |
4 | -1 | 2 * , 3 (başkaları yok) | |
4 | -3 | 3, 5, 19, 37, 173, 211, 227, 619, 977, 1237, 2437, 5741, 13463, 23929, 81223, 121271 ... | A128066 |
5 | 4 | 3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, 1663, 5471, 17707, 19609, 35449, 36697, 45259, 91493, 246497, 265007, 289937, ... | A059802 |
5 | 3 | 13, 19, 23, 31, 47, 127, 223, 281, 2083, 5281, 7411, 7433, 19051, 27239, 35863, 70327, ... | A121877 |
5 | 2 | 2, 5, 7, 13, 19, 37, 59, 67, 79, 307, 331, 599, 1301, 12263, 12589, 18443, 20149, 27983, ... | A082182 |
5 | 1 | 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ... | A004061 |
5 | -1 | 5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, ... | A057171 |
5 | -2 | 2 * , 3, 17, 19, 47, 101, 1709, 2539, 5591, 6037, 8011, 19373, 26489, 27427, ... | A082387 |
5 | -3 | 2 * , 3, 5, 7, 17, 19, 109, 509, 661, 709, 1231, 12889, 13043, 26723, 43963, 44789, ... | A122853 |
5 | -4 | 4 * , 5, 7, 19, 29, 61, 137, 883, 1381, 1823, 5227, 25561, 29537, 300893, ... | A128335 |
6 | 5 | 2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, 1039, 1511, 31237, 60413, 113177, 135647, 258413, ... | A062572 |
6 | 1 | 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ... | A004062 |
6 | -1 | 2 * , 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, ... | A057172 |
6 | -5 | 3, 4 * , 5, 17, 397, 409, 643, 1783, 2617, 4583, 8783, ... | A128336 |
7 | 6 | 2, 3, 7, 29, 41, 67, 1327, 1399, 2027, 69371, 86689, 355039, ... | A062573 |
7 | 5 | 3, 5, 7, 113, 397, 577, 7573, 14561, 58543, ... | A128344 |
7 | 4 | 2, 5, 11, 61, 619, 2879, 2957, 24371, 69247, ... | A213073 |
7 | 3 | 3, 7, 19, 109, 131, 607, 863, 2917, 5923, 12421, ... | A128024 |
7 | 2 | 3, 7, 19, 79, 431, 1373, 1801, 2897, 46997, ... | A215487 |
7 | 1 | 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ... | A004063 |
7 | -1 | 3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, ... | A057173 |
7 | -2 | 2 * , 5, 23, 73, 101, 401, 419, 457, 811, 1163, 1511, 8011, ... | A125955 |
7 | -3 | 3, 13, 31, 313, 3709, 7933, 14797, 30689, 38333, ... | A128067 |
7 | -4 | 2 * , 3, 5, 19, 41, 47, 8231, 33931, 43781, 50833, 53719, 67211, ... | A218373 |
7 | -5 | 2 * , 11, 31, 173, 271, 547, 1823, 2111, 5519, 7793, 22963, 41077, 49739, ... | A128337 |
7 | -6 | 3, 53, 83, 487, 743, ... | A187805 |
8 | 7 | 7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, 4357, 44029, 76213, 83663, 173687, 336419, 615997, ... | A062574 |
8 | 5 | 2, 19, 1021, 5077, 34031, 46099, 65707, ... | A128345 |
8 | 3 | 2, 3, 7, 19, 31, 67, 89, 9227, 43891, ... | A128025 |
8 | 1 | 3 (başkaları yok) | |
8 | -1 | 2 * (başkaları yok) | |
8 | -3 | 2 * , 5, 163, 191, 229, 271, 733, 21059, 25237, ... | A128068 |
8 | -5 | 2 * , 7, 19, 167, 173, 223, 281, 21647, ... | A128338 |
8 | -7 | 4 * , 7, 13, 31, 43, 269, 353, 383, 619, 829, 877, 4957, 5711, 8317, 21739, 24029, 38299, ... | A181141 |
9 | 8 | 2, 7, 29, 31, 67, 149, 401, 2531, 19913, 30773, 53857, 170099, ... | A059803 |
9 | 7 | 3, 5, 7, 4703, 30113, ... | A273010 |
9 | 5 | 3, 11, 17, 173, 839, 971, 40867, 45821 ... | A128346 |
9 | 4 | 2 (başkaları yok) | |
9 | 2 | 2, 3, 5, 13, 29, 37, 1021, 1399, 2137, 4493, 5521, ... | A173718 |
9 | 1 | (Yok) | |
9 | -1 | 3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ... | A057175 |
9 | -2 | 2 * , 3, 7, 127, 283, 883, 1523, 4001, ... | A125956 |
9 | -4 | 2 * , 3, 5, 7, 11, 17, 19, 41, 53, 109, 167, 2207, 3623, 5059, 5471, 7949, 21211, 32993, 60251, ... | A211409 |
9 | -5 | 3, 5, 13, 17, 43, 127, 229, 277, 6043, 11131, 11821, ... | A128339 |
9 | -7 | 2 * , 3, 107, 197, 2843, 3571, 4451, ..., 31517, ... | A301369 |
9 | -8 | 3, 7, 13, 19, 307, 619, 2089, 7297, 75571, 76103, 98897, ... | A187819 |
10 | 9 | 2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, 2531, 15787, 66949, 282493, ... | A062576 |
10 | 7 | 2, 31, 103, 617, 10253, 10691, ... | A273403 |
10 | 3 | 2, 3, 5, 37, 599, 38393, 51431, ... | A128026 |
10 | 1 | 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... | A004023 |
10 | -1 | 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... | A001562 |
10 | -3 | 2 * , 3, 19, 31, 101, 139, 167, 1097, 43151, 60703, 90499, ... | A128069 |
10 | -7 | 2 * , 3, 5, 11, 19, 1259, 1399, 2539, 2843, 5857, 10589, ... | |
10 | -9 | 4 * , 7, 67, 73, 1091, 1483, 10937, ... | A217095 |
11 | 10 | 3, 5, 19, 311, 317, 1129, 4253, 7699, 18199, 35153, 206081, ... | A062577 |
11 | 9 | 5, 31, 271, 929, 2789, 4153, ... | A273601 |
11 | 8 | 2, 7, 11, 17, 37, 521, 877, 2423, ... | A273600 |
11 | 7 | 5, 19, 67, 107, 593, 757, 1801, 2243, 2383, 6043, 10181, 11383, 15629, ... | A273599 |
11 | 6 | 2, 3, 11, 163, 191, 269, 1381, 1493, ... | A273598 |
11 | 5 | 5, 41, 149, 229, 263, 739, 3457, 20269, 98221, ... | A128347 |
11 | 4 | 3, 5, 11, 17, 71, 89, 827, 22307, 45893, 63521, ... | A216181 |
11 | 3 | 3, 5, 19, 31, 367, 389, 431, 2179, 10667, 13103, 90397, ... | A128027 |
11 | 2 | 2, 5, 11, 13, 331, 599, 18839, 23747, 24371, 29339, 32141, 67421, ... | A210506 |
11 | 1 | 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ... | A005808 |
11 | -1 | 5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ... | A057177 |
11 | -2 | 3, 5, 17, 67, 83, 101, 1373, 6101, 12119, 61781, ... | A125957 |
11 | -3 | 3, 103, 271, 523, 23087, 69833, ... | A128070 |
11 | -4 | 2 * , 7, 53, 67, 71, 443, 26497, ... | A224501 |
11 | -5 | 7, 11, 181, 421, 2297, 2797, 4129, 4139, 7151, 29033, ... | A128340 |
11 | -6 | 2 * , 5, 7, 107, 383, 17359, 21929, 26393, ... | |
11 | -7 | 7, 1163, 4007, 10159, ... | |
11 | -8 | 2 * , 3, 13, 31, 59, 131, 223, 227, 1523, ... | |
11 | -9 | 2 * , 3, 17, 41, 43, 59, 83, ... | |
11 | -10 | 53, 421, 647, 1601, 35527, ... | A185239 |
12 | 11 | 2, 3, 7, 89, 101, 293, 4463, 70067, ... | A062578 |
12 | 7 | 2, 3, 7, 13, 47, 89, 139, 523, 1051, ... | A273814 |
12 | 5 | 2, 3, 31, 41, 53, 101, 421, 1259, 4721, 45259, ... | A128348 |
12 | 1 | 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ... | A004064 |
12 | -1 | 2 * , 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... | A057178 |
12 | -5 | 2 * , 3, 5, 13, 347, 977, 1091, 4861, 4967, 34679, ... | A128341 |
12 | -7 | 2 * , 3, 7, 67, 79, 167, 953, 1493, 3389, 4871, ... | |
12 | -11 | 47, 401, 509, 8609, ... | A213216 |
* Not: eğer b <0 ve n, daha, sonra sayılar n karşılık gelen OEIS sekansı dahil değildir.
Genelleştirilmiş Mersenne asalları ile ilgili bir varsayım: (varsayım bir sonraki genelleştirilmiş Mersenne asalının nerede olduğunu tahmin eder, eğer varsayım doğruysa, bu tür ( a , b ) çiftlerinin tümü için sonsuz sayıda asal vardır )
Koşulları sağlayan herhangi bir a ve b tamsayıları için :
- a > 1 , - bir < b < bir .
- a ve b aralarında asaldır . (böylece b 0 olamaz)
- Her doğal sayı için r > 1 , bir ve b hem mükemmel değildir r güçler inci. (zamandan beri bir ve B her ikisi de mükemmel r güçler inci, bu gösterilebilir en fazla iki adet olduğu , n bu değer, örneğinbir n - b n/bir - basal ve bu , n değerlerini göstermektedir r kendisi ya da bir kök bölgesinin r ) 2, ya da
- −4 ab tam bir dördüncü kuvvet değildir (eğer öyleyse, o zaman sayının aurifeuille çarpanlarına ayırması vardır ).
formun asal sayıları var
asal p için , asal sayılar en uygun çizgiye yakın dağıtılacaktır
nerede
ve yaklaşık
bu formun asal sayıları N'den küçüktür .
- e , doğal logaritmanın tabanıdır .
- γ olan Euler-Mascheroni sabiti .
- log bir olduğu logaritma olarak baz a .
- R ( a , b ) ( n ) olan , n formun asal sayıbir p - b p/bir - basal p için .
- Cı değişir veri uygun sabit olan bir ve b .
- δ değişir veri uygun sabit olan bir ve b .
- m , a ve − b'nin her ikisinin de 2 m − 1'inci kuvvetler olduğu en büyük doğal sayıdır .
Ayrıca aşağıdaki üç özelliğe sahibiz:
- Formdaki asal sayıların sayısı bir p - b p/bir - b(asal p ile ) n'den küçük veya ona eşit yaklaşık e γ log a (log a ( n )) .
- Formun beklenen asal sayısı bir p - b p/bir - bn ile an arasındaki asal p yaklaşık e γ'dir .
- Formun sayısının olma olasılığı bir p - b p/bir - bis asal ( asal p için ) yaklaşıke y/p günlüğü e ( a ).
Bu varsayım doğruysa, o zaman bu için ( a , b ) çifti, izin q olabilir , n formun asalbir p - b p/bir - b, log a (log a ( q )) ile n'nin grafiği neredeyse doğrusaldır. (Görmek )
Ne zaman bir = b + 1 , bu edilmektedir ( b + 1) n - b , n , iki ardışık de mükemmel bir fark n inci güçler ve eğer bir n - b , n asal olduğunu, daha sonra bir olmalı b + 1'e , bunun nedeni a - b ile bölünebilir .
En az n öyle ki ( b + 1) n − b n asaldır
- 2, 2, 2, 3, 2, 2, 7, 2, 2, 3, 2, 17, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 5, 2, 2, 229, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 7, 2, 3, 37, 2, 3, 5, 58543, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 3, 4663, 54517, 17, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 2, 2, 47, 61, 19, ... (sıra A058013 içinde OEIS )
En az b öyle ki ( b + 1) asal( n ) − b asal( n ) asaldır
- 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 39, 6, 4, 12, 2, 2, 1, 6, 17, 46, 7, 5, 1, 25, 2, 41, 1, 12, 7, 1, 7, 327, 7, 8, 44, 26, 12, 75, 14, 51, 110, 4, 14, 49, 286, 15, 4, 39, 22, 109, 367, 22, 67, 27, 95, 80, 149, 2, 142, 3, 11, ... (dizi A222119 olarak OEIS )
Ayrıca bakınız
- geri ödeme
- Fermat asal
- iki güç
- Erdős–Borwein sabiti
- Mersenne varsayımları
- mersenne bükücü
- Çift Mersenne numarası
- Prime95 / MPPrime
- Harika İnternet Mersenne Prime Search (GIMPS)
- Bilinen en büyük asal sayı
- Titanik asal
- devasa asal
- megaprime
- Wieferich asal
- Wagstaff asal
- Cullen asal
- Woodall asal
- Proth asal
- Solinas asal
- Gillies'in varsayımı
- Williams numarası
Referanslar
Dış bağlantılar
- "Mersenne numarası" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
- GIMPS ana sayfası
- GIMPS Kilometre Taşları Raporu - durum sayfası, bilinen en büyük Mersenne primerlerinin sırasını kanıtlamaya yönelik ilerleme dahil olmak üzere, genellikle her hafta güncellenen, arama ilerlemesi hakkında çeşitli istatistikler verir.
- GIMPS, Mersenne sayılarının bilinen çarpanları
- M q = (8 x ) 2 − (3 qy ) 2 Bileşik olan asal üslü Mersenne sayılarının özelliği (PDF)
- M q = x 2 + d · y 2 matematik tezi (PS)
- Kir, James. "31 ve Mersenne Asal Sayıları" . Numara meraklısı . Brady Haran . Arşivlenmiş orijinal 2013-05-31 tarihinde . 2013-04-06 alındı .
- Orijinal yayınlara köprüler içeren Mersenne ana bibliyografyası
- Mersenne asal sayıları hakkında rapor – ayrıntılı algılama (Almanca)
- GIMPS wiki'si
- Will Edgington'ın Mersenne Sayfası – küçük Mersenne sayıları için çarpanlar içerir
- Mersenne sayılarının bilinen çarpanları
- Mersenne asal sayıların ondalık basamakları ve İngilizce adları
- Asıl merak edilenler: 2305843009213693951
- http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2-.txt Arşivlenen 2014/11/05 at Wayback Machine
- http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2+.txt 2013-05-02 tarihinde Wayback Machine'de arşivlendi
- OEIS (2 ^, n + 1 sol Aurifeuillian ilkel kısım asal sayılar n olacak şekilde) sekansı A250197 - çarpanlara Mersenne numaralarının M n ( n tane 1280)
- Tamamen çarpanlara ayrılmış Mersenne sayılarının çarpanlara ayrılması
- Cunningham projesi, b n ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12'nin çarpanlara ayrılması
- http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/main.htm 2016-03-04 tarihinde Wayback Machine'de arşivlendi
- http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/anbn/main.htm 2016-02-02 tarihinde Wayback Machine'de arşivlendi