Genelliği kaybetmeden - Without loss of generality
Genelliği kaybetmeden (genellikle kısaltılan için WOLOG , wlog veya wlog , daha az yaygın olarak belirtilen herhangi bir genel kayıp olmadan veya genelliği kaybı olmaksızın ) içerisinde sıklıkla kullanılan bir ifadedir matematik . Terim, aşağıdaki varsayımın keyfi olarak seçildiğini belirtmek için kullanılır, öncülü belirli bir duruma daraltır, ancak genel olarak kanıtın geçerliliğini etkilemez. Diğer vakalar, onları kanıtlamanın temelde aynı mantıkla takip ettiği sunulan vakaya yeterince benzer. Sonuç olarak, belirli bir durum için bir kez bir kanıt verildikten sonra,diğer tüm durumlarda sonucu kanıtlamak için onu uyarlamak önemsizdir .
Birçok senaryoda, "genelliği kaybetmeden" kullanımı simetrinin varlığı ile mümkün olmaktadır . Örneğin, gerçek sayıların bazı P ( x , y ) özelliğinin x ve y'de simetrik olduğu biliniyorsa , yani P ( x , y ) P ( y , x ) ile eşdeğerdir , o zaman P ( x ) , y ) her x ve y için geçerlidir , "genelliği kaybetmeden" x ≤ y olduğu varsayılabilir . Bu varsayımda genellik kaybı yoktur, çünkü x ≤ y ⇒ P ( x , y ) durumu kanıtlandıktan sonra, diğer durum x ve y : y ≤ x ⇒ P ( y , x ) ve P'nin simetrisi ile , bu P ( x , y ) anlamına gelir , böylece P ( x , y )'nin tüm durumlar için geçerli olduğunu gösterir.
Öte yandan, eğer böyle bir simetri (veya başka bir eşdeğerlik biçimi) oluşturulamıyorsa, o zaman "genelliği kaybetmeden" kullanımı yanlıştır ve örnekle ispatın bir örneğini teşkil edebilir - bir iddiayı kanıtlamanın mantıksal bir yanılgısı temsili olmayan bir örnek kanıtlayarak.
Örnek
Aşağıdaki teoremi düşünün ( güvercin yuvası ilkesinin bir durumudur ):
Üç nesnenin her biri kırmızı veya mavi olarak boyanırsa, aynı renkte en az iki nesne olmalıdır.
Kanıt:
Genelliği kaybetmeden ilk nesnenin kırmızı olduğunu varsayın. Diğer iki nesneden biri kırmızıysa, işimiz biter; değilse, diğer iki nesnenin ikisi de mavi olmalı ve hala işimiz bitiyor.
Yukarıdaki argüman işe yarar, çünkü alternatif varsayım, yani ilk nesnenin mavi olduğu, ya da benzer şekilde, "kırmızı" ve "mavi" kelimelerinin ifadede serbestçe değiş tokuş edilebileceği varsa, aynı akıl yürütme uygulanabilir. kanıtın. Sonuç olarak "genellik kaybı olmaksızın" kullanımı bu durumda geçerlidir.