Knuth'un yukarı ok gösterimi - Knuth's up-arrow notation

In matematik , Knuth'un yukarı ok gösterimi için gösterim yöntemidir çok büyük tamsayılar tarafından tanıtılan, Donald Knuth 1976 yılında.

1947 tarihli makalesinde RL Goodstein , şimdi hiper işlemler olarak adlandırılan belirli işlem dizisini tanıttı . Goodstein'e da Yunan isimleri önerdi tetrasyon , Pentation ötesinde genişletilmiş operasyonlar için vb üs . Sekansı, bir ile başlar tekli işlemi ( ardıl fonksiyonu ile n = 0), ve devam ikili işlemler arasında ek ( n = 1), çarpma ( n = 2), üs ( n = 3), tetrasyon ( n = 4 ), pentasyon ( n = 5), vb.

Hiper işlemleri temsil etmek için çeşitli gösterimler kullanılmıştır. Böyle bir notasyon . Başka bir gösterim, ASCII için uygun olan bir infix gösterimidir . Gösterim , 'köşeli parantez gösterimi' olarak bilinir. ${\görüntüleme stili H_{n}(a,b)}$${\görüntüleme stili bir[n]b}$${\görüntüleme stili bir[n]b}$

Knuth'un yukarı ok gösterimi alternatif bir gösterimdir. Köşeli parantez içinde oklarla değiştirilerek elde edilir . ${\görüntüleme stili\yukarı }$${\görüntüleme stili [n]}$${\görüntüleme stili n-2}$

Örneğin:

• Tek oklu temsil üs (tekrarlanır çarpma)${\görüntüleme stili\yukarı }$

${\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2[3]4=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}$

• çift ​​ok , tetraasyonu temsil eder (yinelenen üstelleştirme)${\ Displaystyle \ uparrow \uparrow }$

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=H_{4}(2,4)=2[4]4=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{ 2}}}=2^{16}=65536}$

• üçlü ok pentasyonu temsil eder (yinelenen tetratasyonu )${\displaystyle \uparrow \uparrow \uparrow }$

${\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 4=H_{5}(2,4)=2[5]4&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \ uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)\\&=\underbrace { 2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow \dots ))} \\&2\uparrow \uparrow 4{\mbox{ }}2\\\end{aligned}}} kopyası$

Yukarı ok gösteriminin genel tanımı aşağıdaki gibidir ( için ): ${\displaystyle a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0}$

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b}$

Burada, n ok anlamına gelir , yani örneğin ${\görüntüleme stili \uparrow ^{n}}$

${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow ^{4}3}$.

Tanıtım

Hiperişlem doğal uzanan aritmetik işlemleri arasında ilave ve çarpma aşağıdaki gibi.

Eklenen bir tarafından bir doğal sayı tekrarlanan artımının şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}(a,b)=a[1]b=a+b=&a+\underbrace {1+1+\dots +1} \\&b{\mbox{ kopyaları / }}1\end{matris}}}$

Çarpma bir tarafından bir doğal sayı tekrarlanan olarak tanımlanır Ek :

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{2}(a,b)=a[2]b=a\times b=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&b{\mbox{ kopyalar / }}a\end{matris}}}$

Örneğin,

${\displaystyle {\begin{matrix}3\times 4&=&\underbrace {3+3+3+3} &=&12\\&&4{\mbox{ }}3\end{matrix}}} kopyaları$

Doğal bir güç için üs , Knuth'un tek bir yukarı okla gösterdiği yinelenen çarpma olarak tanımlanır: ${\görüntüleme stili b}$

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=H_{3}(a,b)=a[3]b=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ }}a\end{matris}}} kopyaları$

Örneğin,

${\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ }}4\end{ kopyaları matris}}}$

Tetrasyon , Knuth'un "çift ok" ile belirttiği yinelenen üs alma olarak tanımlanır:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b=H_{4}(a,b)=a[4]b=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^ {.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&b{\mbox{ kopyaları }}a&&b{\mbox{ }}a\end{matris}}} kopyaları$

Örneğin,

${\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^ {256}&\yaklaşık &1.34078079\times 10^{154}&\\&3{\mbox{ }}4&&3{\mbox{ }}4\end{matrix}}} kopyaları$

Operatörler sağ ilişkisel olarak tanımlandığı için ifadeler sağdan sola doğru değerlendirilir .

Bu tanıma göre,

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625.597.484.987}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\yaklaşık 1.2580143\times 10^{3638334640024}}$

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987} }\yaklaşık 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}}$

vesaire.

Bu zaten bazı oldukça büyük sayılara yol açar, ancak hiperişlemci dizisi burada bitmez.

Yinelenen tetratasyon olarak tanımlanan Pentation , "üçlü ok" ile temsil edilir:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=H_{5}(a,b)=a[5]b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \ uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ }}a\end{matris}}} kopyaları$

Hexation tekrarlanan Pentation olarak tanımlanır, “ok dörtlü” ile temsil edilir:

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=H_{6}(a,b)=a[6]b=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow ( a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ }}a\end{matris}}} kopyaları$

ve bunun gibi. Genel kural, bir -ok operatörünün, bir sağ ilişkisel ( )-ok operatörleri dizisine genişlemesidir. Sembolik, ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n-1}$

${\displaystyle {\begin{matrix}a\ \alt korse {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\alt korse {a\ \alt korse {\ uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1 }\ (\dots \ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a))} _{b{\text{ }}a'nın kopyaları }\end{matris}}}$

Örnekler:

${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}$

${\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\altkol {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace { kopyaları { 3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625.597.484.987 kopya 3}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{ 3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}} \\&{\mbox{7,625.597.484.987 kopya 3}}\end{matrix} }}$

gösterim

Gibi ifadelerde , üs almanın gösterimi genellikle üssü taban sayısına bir üst simge olarak yazmaktır . Ancak programlama dilleri ve düz metin e-posta gibi birçok ortam üst simge dizgisini desteklemez . İnsanlar bu tür ortamlar için doğrusal gösterimi benimsemiştir ; yukarı ok, 'gücüne yükseltmeyi' önerir. Eğer karakter kümesi bir yukarı ok içermiyor, şapka (^) yerine kullanılır. ${\görüntüleme stili a^{b}}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili bir}$${\displaystyle a\uparrow b}$

Üst simge gösterimi genellemeye pek uygun değil, bu da Knuth'un neden satır içi gösterimden çalışmayı seçtiğini açıklıyor . ${\görüntüleme stili a^{b}}$${\displaystyle a\uparrow b}$

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$n uparrows için daha kısa bir alternatif gösterimdir. Böylece . ${\displaystyle a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

Knuth'un okları oldukça popüler hale geldi, belki de örneğin daha güçlü bir logo olduğu için . ${\görüntüleme stili \uparrow ^{n}}$${\görüntüleme stili [n]}$

Kuvvetler cinsinden yukarı ok gösterimi yazma

Bilinen üst simge gösterimini kullanarak yazmaya çalışmak , bir güç kulesi verir. ${\ Displaystyle a\uparrow \uparrow b}$

Örneğin: ${\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}$

Eğer b bir değişkendir (veya çok büyük), güç kulesi noktalar ve kulenin yüksekliğini gösteren bir not kullanılarak yazılmış olabilir.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}}$

Bu gösterimle devam edersek , her biri üstündekinin boyutunu tanımlayan bu tür güç kulelerinden oluşan bir yığınla yazılabilir. ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{ a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{ .{a}}}}}} _{a}}}}$

Yine, b bir değişkense veya çok büyükse, yığın noktalar ve yüksekliğini gösteren bir not kullanılarak yazılabilir.

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}} _{\underbrace {a^{a^{ .^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\sağ\}b}$

Ayrıca, bu tür güç kulesi yığınlarının birkaç sütunu kullanılarak yazılabilir, her sütun solundaki yığındaki güç kulesi sayısını açıklar: ${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left. \underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{ a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\alt ayraç {\vdots } _{a}}}\sağ\}\alt ayraç {a^{a^{.^{.^ {.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}} \sağ\}a}$

Ve daha genel olarak:

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\alt ayraç {\sol.\sol.\sol.\alt ayraç {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{ a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\alt korse {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\alt korse {\ vdots } _{a}}}\sağ\}\cdots \sağ\}a} _{b}}$

Bu , herhangi bir a , n ve b için yinelenen üs almanın yinelenen üs olarak temsil edilmesi için süresiz olarak gerçekleştirilebilir (her ne kadar açıkça oldukça hantal hale gelse de). ${\displaystyle a\uparrow ^{n}b}$

Tetrasyon kullanma

Tetrasyon notasyonu bize hala geometrik gösterimini kullanan ederken (bu diyebiliriz bu diyagramlar biraz daha basit yapmanızı sağlar tetrasyon kuleleri ). ${\görüntüleme stili ^{b}a}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^ {^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\alt ayraç {\vdots} _{a}}}\sağ\}b}$

Son olarak, örnek olarak dördüncü Ackermann sayısı şu şekilde temsil edilebilir: ${\displaystyle 4\yukarı ok ^{4}4}$

${\displaystyle \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}. }4}4} _{\alt korse {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\alt korse {^{^{^{^{ ^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4 }4}4}4}}}$

genellemeler

Bazı sayılar o kadar büyüktür ki, Knuth'un yukarı ok gösteriminin çoklu okları çok hantal hale gelir; o zaman bir n -ok operatörü (ve ayrıca değişken sayıda ok içeren açıklamalar için) veya eşdeğeri olarak hiper operatörler yararlıdır . ${\görüntüleme stili \uparrow ^{n}}$

Bazı sayılar o kadar büyüktür ki bu notasyon bile yeterli değildir. Conway gösterim ok zincirli üç bileşen bir zincir diğer simgelerin eşdeğerdir ancak dört bir zincir ya da daha çok daha güçlüdür: daha sonra kullanılabilir.

${\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&{\mbox{( hiper işlem)}&&{\mbox{(Conway)}}\end{matris}}}$

${\displaystyle 6\uparrow \uparrow 4}$= , = = , Böylece sonuç ortaya çıkıyor${\displaystyle \underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}}$${\displaystyle 6\uparrow \uparrow 4}$${\ Displaystyle 6^{6^{6^{6}}}}$${\ Displaystyle 6^{6^{46,656}}}$${\displaystyle \underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}}$

${\displaystyle 10\uparrow (3\times 10\uparrow (3\times 10\uparrow 15)+3)}$= veya (Petillion) ${\displaystyle \underbrace {100000...000} _{\underbrace {300000...003} _{\underbrace {300000...003} _{15}}}}$${\displaystyle 10^{3\time 10^{3\time 10^{15}}+3}}$

Not: Phi = = =${\displaystyle \leftarrow 1[1]}$${\displaystyle \sol 1}$${\görüntüleme stili\phi }$

Tanım

Hiper işlem referansı olmadan yukarı ok operatörleri resmi olarak şu şekilde tanımlanabilir:

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{if }}n=1;\\1,&{\text{if }}n> 1{\text{ ve }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{aksi halde }}\end{durumlar }}}$

ile tüm tamsayılar için . ${\görüntüleme stili a,b,n}$${\displaystyle a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0}$

Bu tanım kullanan üs temel durum, ve benzeri gibi tetrasyon tekrar üs olarak. Bu, art arda gelme , toplama ve çarpma gibi üç temel işlemin daha atlanması dışında hiper işlem dizisine eşdeğerdir . ${\displaystyle (a\uparrow ^{1}b=a\uparrow b=a^{b})}$ ${\displaystyle (a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b)}$

Alternatif olarak, temel durum olarak çarpmayı seçebilir ve oradan yinelenebilir. Sonra üs , tekrarlanan çarpma olur. Resmi tanım şöyle olurdu ${\displaystyle (a\uparrow ^{0}b=a\times b)}$

${\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a\times b,&{\text{if }}n=0;\\1,&{\text{if }}n>0 {\text{ ve }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{aksi halde }}\end{durumlar} }}$

ile tüm tamsayılar için . ${\görüntüleme stili a,b,n}$${\displaystyle a\geq 0,n\geq 0,b\geq 0}$

Ancak, Knuth'un "sıfır oku" ( ) tanımlamadığını unutmayın . Notasyon, indekslemedeki gecikme dışında tüm hiper işlem dizisiyle uyumlu olacak şekilde negatif indekslere (n ≥ -2) genişletilebilir: ${\görüntüleme stili \uparrow ^{0}}$

${\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.}$

Yukarı ok işlemi bir sağ ilişkilendirme işlemidir , yani , yerine olduğu anlaşılır . Belirsizlik bir sorun değilse, bazen parantezler bırakılır. ${\displaystyle a\uparrow b\uparrow c}$${\displaystyle a\uparrow (b\uparrow c)}$${\ Displaystyle (a\uparrow b)\uparrow c}$

Değer tabloları

0↑ ⁿ  b hesaplama

Hesaplama sonuçları ${\displaystyle 0\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b}$

0, n = 0  olduğunda

1, n = 1 ve b = 0 olduğunda  

0, n = 1 ve b > 0 olduğunda  

1, n > 1 ve b çift ​​olduğunda (0 dahil)

0, n > 1 ve b tek olduğunda

Hesaplama 2↑ ⁿ  b

Hesaplama , sonsuz bir tablo olarak yeniden ifade edilebilir. Sayıları en üst sıraya yerleştiriyoruz ve sol sütunu 2 değerlerle dolduruyoruz. Tabloda bir sayı belirlemek için, hemen soldaki sayıyı alın, ardından bir önceki satırda istenen sayıyı aşağıdaki konumda arayın. sadece alınan numara. ${\displaystyle 2\yukarı ok ^{n}b}$${\ Displaystyle 2^{b}}$

Değerleri = = = 2 → b → n${\displaystyle 2\yukarı ok ^{n}b}$${\görüntüleme stili H_{n+2}(2,b)}$${\ Displaystyle 2[n+2]b}$

B ⁿ	1	2	3	4	5	6	formül
1	2	4	8	16	32	64	${\ Displaystyle 2^{b}}$
2	2	4	16	65536	${\displaystyle 2^{65\,536}\yaklaşık 2,0\times 10^{19\,728}}$	${\displaystyle 2^{2^{65\,536}}\yaklaşık 10^{6.0\times 10^{19\,727}}}$	${\ Displaystyle 2\uparrow \uparrow b}$
3	2	4	65536	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536 {\mbox{ }}2\end{matris}}} kopyaları$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\ destek {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536{\mbox{ }}2\ kopyası bitiş {matris}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\ destek {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\alt destek {2_{}^{2^{ {}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}} \\65536{\mbox{ }}2\end{matrix}}} kopyaları$	${\ Displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow b}$
4	2	4	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65536 {\mbox{ }}2\end{matris}}} kopyaları$				${\ Displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

Tablo, ve içinde bir kaydırma ve tüm değerlere 3 eklenmesi dışında Ackermann işlevininkiyle aynıdır . ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili b}$

Hesaplama 3↑ ⁿ  b

Sayıları en üst sıraya yerleştiriyoruz ve sol sütunu 3 değerlerle dolduruyoruz. Tabloda bir sayı belirlemek için hemen soldaki sayıyı alın, ardından bir önceki satırda istenen sayıyı aşağıdaki konumda arayın. sadece alınan numara. ${\görüntüleme stili 3^{b}}$

Değerleri = = = 3 → b → n${\displaystyle 3\yukarı ok ^{n}b}$${\görüntüleme stili H_{n+2}(3,b)}$${\ Displaystyle 3[n+2]b}$

B ⁿ	1	2	3	4	5	formül
1	3	9	27	81	243	${\görüntüleme stili 3^{b}}$
2	3	27	7.625.597.484.987	${\displaystyle 3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}$	${\displaystyle 3^{3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}}$	${\displaystyle 3\uparrow \uparrow b}$
3	3	7.625.597.484.987	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7 {,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ }}3\end{matris}}} kopyaları$			${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow b}$
4	3	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7 {,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ }}3\end{matris}}} kopyaları$				${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

4↑ ⁿ  b hesaplama

Sayıları en üst sıraya yerleştiriyoruz ve sol sütunu 4 ile dolduruyoruz. Tabloda bir sayı belirlemek için hemen soldaki sayıyı alın, ardından bir önceki satırda istenen sayıyı aşağıdaki konumda arayın. sadece alınan numara. ${\görüntüleme stili 4^{b}}$

Değerleri = = = 4 → b → n${\displaystyle 4\yukarı ok ^{n}b}$${\displaystyle H_{n+2}(4,b)}$${\ Displaystyle 4[n+2]b}$

B ⁿ	1	2	3	4	5	formül
1	4	16	64	256	1024	${\görüntüleme stili 4^{b}}$
2	4	256	${\görüntüleme stili 1.3407807930\kez 10^{154}}$	${\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}}$	${\displaystyle 4^{4^{1.3407807930\times 10^{154}}}}$	${\displaystyle 4\uparrow \uparrow b}$
3	4	${\displaystyle 4^{1.3407807930\times 10^{154}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4 ^{1.3407807930\times 10^{154}}{\mbox{ }}4\end{matrix}}} kopyaları$			${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow b}$
4	4	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\ destek {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{1.3407807930\times 10^{154} }{\mbox{ }}4\end{matrix}}} kopyası$				${\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

10↑ ⁿ  b hesaplama

Rakamları en üst sıraya yerleştiririz ve sol sütunu 10 değerleri ile doldururuz. Tabloda bir sayı belirlemek için hemen soldaki sayıyı alınız, ardından bir önceki satırda gerekli sayıyı aşağıdaki şekilde verilen konumda arayınız. sadece alınan numara. ${\görüntüleme stili 10^{b}}$

Değerleri = = = 10 → b → n${\displaystyle 10\yukarı ok ^{n}b}$${\displaystyle H_{n+2}(10,b)}$${\ Displaystyle 10[n+2]b}$

B ⁿ	1	2	3	4	5	formül
1	10	100	1.000	10.000	100.000	${\görüntüleme stili 10^{b}}$
2	10	10.000.000.000	${\ Displaystyle 10^{10.000.000.000}}$	${\ Displaystyle 10^{10^{10.000.000.000}}}$	${\displaystyle 10^{10^{10^{10,000,000,000}}}}$	${\displaystyle 10\uparrow \uparrow b}$
3	10	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10 {\mbox{ }}10\end{matris}}} kopyaları$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}} \\\ destek {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ }}10\ kopyaları bitiş {matris}}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\ destek {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\alt destek {10_{}^{10^{ {}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ }}10\end{matrix}}} kopyaları$		${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow b}$
4	10	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ }}10\end{matrix'in kopyaları }}}$	${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10 }.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ }}10\end{matrix}}}'in kopyaları$			${\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}$

2 ≤ için b ≤ 9 sayı numara sırasına olan lexicographical sırası ile n numara sırasına sadece satır-satır olacak şekilde, bu 8 sütun sayıları için, en önemli olarak ortaya çıkmaktadır. Aynısı 3 ≤ b ≤ 99 olan 97 sütundaki sayılar için ve 3 ≤ b ≤ 9,999,999,999 için bile n = 1'den başlarsak geçerlidir . ${\displaystyle 10\yukarı ok ^{n}b}$

Ayrıca bakınız

• ilkel özyineleme
• hiperoperasyon
• meşgul kunduz
• Cutler'ın çubuk gösterimi
• tetrasyon
• tövbe
• Ackermann işlevi
• Graham'ın numarası
• Steinhaus-Moser gösterimi

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Knuth Yukarı Ok Gösterimi" . Matematik Dünyası .
• Robert Munafo, Büyük Sayılar: Daha yüksek hiper operatörler