Hilbert'in programı - Hilbert's program
In matematik , Hilbert'in programı tarafından formüle Alman matematikçi David Hilbert , 20. yüzyılın başlarında, bir çözüm önerisi oldu matematik temel kriz erken girişimleri netleştirmek için, matematik temellerini paradoksları ve tutarsızlıklar muzdarip bulunmuştur. Bir çözüm olarak Hilbert, mevcut tüm teorileri sonlu, eksiksiz bir aksiyomlar setine dayandırmayı ve bu aksiyomların tutarlı olduğuna dair bir kanıt sağlamayı önerdi . Hilbert, gerçek analiz gibi daha karmaşık sistemlerin tutarlılığının daha basit sistemler açısından kanıtlanabileceğini öne sürdü . Nihayetinde, tüm matematiğin tutarlılığı temel aritmetiğe indirgenebilir .
Gödel'in 1931'de yayınlanan eksiklik teoremleri , Hilbert'in programının matematiğin kilit alanları için erişilemez olduğunu gösterdi. Gödel, ilk teoreminde, hesaplanabilir aksiyomlara sahip herhangi bir tutarlı sistemin, aritmetiği ifade edebilen hiçbir zaman tam olamayacağını gösterdi: doğru olduğu gösterilebilen ancak bundan türetilemeyen bir ifade oluşturmak mümkündür. sistemin resmi kuralları. İkinci teoreminde, böyle bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını, dolayısıyla daha güçlü herhangi bir şeyin tutarlılığını kesinlik ile kanıtlamak için kesinlikle kullanılamayacağını gösterdi. Bu, Hilbert'in, kendi tutarlılığını ve dolayısıyla başka herhangi bir şeyi kanıtlamak için sonlu bir sistemin kullanılabileceği varsayımını çürüttü.
Hilbert'in programının açıklaması
Hilbert'in programının temel amacı, tüm matematiğin güvenli temellerini sağlamaktı. Bu özellikle şunları içermelidir:
- Tüm matematiğin bir formülasyonu; diğer bir deyişle, tüm matematiksel ifadeler kesin bir biçimsel dille yazılmalı ve iyi tanımlanmış kurallara göre değiştirilmelidir.
- Tamlık: tüm gerçek matematiksel ifadelerin biçimcilikte kanıtlanabileceğinin bir kanıtı.
- Tutarlılık: Matematiğin biçimciliğinde hiçbir çelişkinin elde edilemeyeceğinin bir kanıtı. Bu tutarlılık ispatı, tercihen sonlu matematiksel nesneler hakkında sadece "sonlu" akıl yürütmeyi kullanmalıdır.
- Koruma: "ideal nesneler" (sayılamayan kümeler gibi) hakkında akıl yürütme kullanılarak elde edilen "gerçek nesneler" hakkında herhangi bir sonucun ideal nesneler kullanılmadan kanıtlanabileceğinin bir kanıtı.
- Karar Verilebilirlik: Herhangi bir matematiksel ifadenin doğruluğuna veya yanlışlığına karar vermek için bir algoritma olmalıdır.
Gödel'in eksiklik teoremleri
Kurt Gödel , Hilbert'in programının hedeflerinin çoğuna ulaşmanın, en azından en bariz şekilde yorumlanırsa, imkansız olduğunu gösterdi. Gödel'in ikinci eksiklik teoremi, tamsayıların toplamasını ve çarpımını kodlayacak kadar güçlü herhangi bir tutarlı teorinin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını gösterir. Bu, Hilbert'in programına bir meydan okumadır:
- Biçimsel bir sistem içinde tüm matematiksel doğru ifadeleri resmileştirmek mümkün değildir , çünkü böyle bir biçimciliğe yönelik herhangi bir girişim, bazı gerçek matematiksel ifadeleri atlayacaktır. Özyinelemeli olarak numaralandırılabilir aksiyomlar kümesine dayanan Peano aritmetiğinin bile tam ve tutarlı bir uzantısı yoktur .
- Peano aritmetiği gibi bir teori kendi tutarlılığını bile kanıtlayamaz, bu yüzden onun sınırlı bir "sonsal" alt kümesi, küme teorisi gibi daha güçlü teorilerin tutarlılığını kesinlikle kanıtlayamaz.
- Peano aritmetiğinin tutarlı herhangi bir uzantısında ifadelerin doğruluğuna (veya kanıtlanabilirliğine) karar verecek bir algoritma yoktur. Kesin konuşmak gerekirse, Entscheidungsproblem için bu olumsuz çözüm Gödel'in teoreminden birkaç yıl sonra ortaya çıktı, çünkü o zamanlar bir algoritma kavramı tam olarak tanımlanmamıştı.
Hilbert'in Gödel'den sonraki programı
Kanıt teorisi ve ters matematik gibi matematiksel mantık alanındaki birçok güncel araştırma , Hilbert'in orijinal programının doğal devamı olarak görülebilir. Birçoğu, hedeflerini biraz değiştirerek kurtarılabilir (Zach 2005) ve aşağıdaki değişikliklerle bazıları başarıyla tamamlandı:
- Tüm matematiği resmileştirmek mümkün olmasa da, esasen herkesin kullandığı tüm matematiği resmileştirmek mümkündür. Özellikle Zermelo-Fraenkel küme teorisi , birinci dereceden mantıkla birleştirildiğinde, hemen hemen tüm güncel matematik için tatmin edici ve genel kabul görmüş bir biçimcilik verir.
- En azından Peano aritmetiğini ifade edebilen (veya daha genel olarak hesaplanabilir aksiyomlar kümesine sahip olan) sistemler için tamlığı kanıtlamak mümkün olmasa da, diğer birçok ilginç sistem için eksiksizlik biçimlerini kanıtlamak mümkündür. Bunun için önemsiz olmayan bir teorinin bir örneği, tamlığı kanıtlanmıştır teorisi cebirsel olarak kapalı alanlara verilen bir özelliğine .
- Güçlü teorilerin sonlu tutarlılık kanıtlarının olup olmadığı sorusuna cevap vermek zordur, çünkü "sonlu kanıt" ın genel olarak kabul edilmiş bir tanımı yoktur. İspat teorisindeki çoğu matematikçi, sonlu matematiği Peano aritmetiğinin içerdiği gibi görür ve bu durumda, makul derecede güçlü teorilerin sonlu kanıtlarını vermek mümkün değildir. Öte yandan Gödel, Peano aritmetiğinde resmileştirilemeyen sonlu yöntemleri kullanarak sonlu tutarlılık kanıtları verme olasılığını öne sürdü, bu nedenle hangi sonlu yöntemlere izin verilebileceği konusunda daha liberal bir görüşe sahip görünüyor. Birkaç yıl sonra Gentzen , Peano aritmetiği için bir tutarlılık kanıtı verdi . Bu ispatın açıkça sonlu olmayan tek kısmı , ordinal ε 0'a kadar belirli bir sonsuz tümevarımdı . Bu sonlu tümevarım sonlu bir yöntem olarak kabul edilirse, Peano aritmetiğinin tutarlılığının sonlu bir kanıtı olduğu ileri sürülebilir. İkinci dereceden aritmetiğin daha güçlü alt kümelerine Gaisi Takeuti ve diğerleri tarafından tutarlılık kanıtları verilmiştir ve bu kanıtların tam olarak ne kadar sonlu veya yapıcı olduğu yine tartışılabilir. (Bu yöntemlerle tutarlı olduğu kanıtlanan teoriler oldukça güçlüdür ve çoğu "sıradan" matematiği içerir.)
- Peano aritmetiğindeki ifadelerin doğruluğuna karar verecek bir algoritma olmamasına rağmen, bu tür algoritmaların bulunduğu birçok ilginç ve önemsiz olmayan teori vardır. Örneğin Tarski, analitik geometride herhangi bir ifadenin doğruluğuna karar verebilecek bir algoritma buldu (daha doğrusu, gerçek kapalı alanlar teorisinin karar verilebilir olduğunu kanıtladı). Cantor-Dedekind aksiyomu göz önüne alındığında , bu algoritma Öklid geometrisindeki herhangi bir ifadenin doğruluğuna karar vermek için bir algoritma olarak kabul edilebilir . Çok az insan Öklid geometrisini önemsiz bir teori olarak gördüğü için bu önemlidir.
Ayrıca bakınız
Referanslar
- G. Gentzen, 1936/1969. Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie Die. Mathematische Annalen 112: 493–565. Gerhard Gentzen'in toplanan kağıtları , ME Szabo (ed.), 1969'da 'Aritmetiğin tutarlılığı' olarak çevrilmiştir .
- D. Hilbert. "Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre". Mathematische Annalen 104: 485–94. W. Ewald tarafından 'The Grounding of Elementary Number Theory' olarak çevrilmiştir, s. 266–273, Mancosu'da (ed., 1998) Brouwer'dan Hilbert'e: 1920'lerde matematiğin temelleri üzerine tartışma , Oxford University Press. New York.
- SG Simpson, 1988. Hilbert'in programının kısmi gerçekleştirimleri . Journal of Symbolic Logic 53: 349–363.
- R. Zach , 2006. Hilbert'in Programı Şimdi ve Şimdi. Mantık Felsefesi 5: 411–447, arXiv: matematik / 0508572 [math.LO].
Dış bağlantılar
- Richard Zach. "Hilbert'in Programı" . Gelen Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Felsefe Ansiklopedisi .