Fermat teoremi (durağan noktalar) - Fermat's theorem (stationary points)

Gelen matematik , Fermat'ın teoremi (aynı zamanda iç ekstrem teoremi ) yerel bulmak için bir yöntemdir maksimum ve minimum ve türevlenebilir fonksiyonları ile ilgili açık kümeler her yerel göstererek ekstrem arasında fonksiyonu a, sabit nokta (işlevin türevi bu noktada sıfırdır ). Fermat teoremi bir olan teoremi de gerçek analiz adını, Pierre de Fermat .

Fermat teoremini, bir fonksiyonun potansiyel uç değerlerini kullanarak bir türevi ile , bir çözerek bulunan denklem içinde . Bazı durağan noktalar bükülme noktaları olduğundan (maksimum veya minimum değil) Fermat teoremi sadece aşırı fonksiyon değerleri için gerekli bir koşul verir . Fonksiyonun ikinci türevi , eğer varsa, bazen bir durağan noktanın maksimum veya minimum olup olmadığını belirlemek için kullanılabilir. ${\ displaystyle \ displaystyle f}$${\ displaystyle \ displaystyle f '}$${\ displaystyle \ displaystyle f '}$

Beyan

Bir işlev yerel varsa devlet Fermat teoremi bir yolu, yani ekstremum bir noktada ve bir türevlenebilir orada, o zaman bu noktada işlevin türevi sıfır olmalıdır. Kesin matematiksel dilde:

Bir fonksiyon olalım ve bunun yerel bir uç noktaya sahip olduğu bir nokta olduğunu varsayalım . Eğer türevlenebilirse , o zaman . ${\ displaystyle f \ iki nokta üst üste (a, b) \ sağ \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f '(x_ {0}) = 0}$

Teoremi anlamanın bir başka yolu da zıt pozitif ifadedir: herhangi bir noktada bir fonksiyonun türevi sıfır değilse, o noktada o noktada yerel bir uç noktası yoktur. Resmen:

Eğer türevlenebilirse ve o zaman yerel bir uç noktası değildir . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$${\ displaystyle f '(x_ {0}) \ neq 0}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f}$

Sonuç

Bir A alanı üzerindeki bir f fonksiyonunun küresel ekstremması yalnızca sınırlarda , türevlenemeyen noktalarda ve durağan noktalarda meydana gelir. Eğer küresel bir ekstremum olan f aşağıdakilerden sonra biri doğrudur: ${\ displaystyle x_ {0}}$

• sınır: A sınırında ${\ displaystyle x_ {0}}$
• non-diferensiable: f , türevlenemez ${\ displaystyle x_ {0}}$
• sabit nokta: f'nin durağan noktasıdır ${\ displaystyle x_ {0}}$

Uzantı

Daha yüksek boyutlarda, tam olarak aynı ifade geçerlidir; ancak kanıt biraz daha karmaşıktır. Tek boyutta kişinin bir noktadan sola veya sağa hareket edebilmesi, daha yüksek boyutlarda ise birçok yöne hareket edebilmesidir. Türev ortadan değildir Bu nedenle, eğer bir olduğunu iddia gereken bazı ve böylece ters yönde fonksiyonu azalır - işlev artar yöndür. İspat veya analizdeki tek değişiklik budur.

İfade ayrıca türevlenebilir manifoldlara da genişletilebilir . Eğer a, türevlenebilir fonksiyonu bir manifold ile , daha sonra yerel maksimum minimum olmalıdır kritik noktalar arasında , özellikle noktalarında, dış türev sıfırdır. ${\ displaystyle f: M \ - \ mathbb {R}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle df}$

Başvurular

Fermat teoremi, maksimum ve minimumları belirleyen hesap yönteminin merkezinde yer alır: bir boyutta, basitçe durağan noktaları ( türevin sıfırlarını hesaplayarak ), türevlenemeyen noktaları ve sınır noktalarını hesaplayarak ekstrema bulunabilir ve daha sonra ekstremayı belirlemek için bu setin araştırılması .

Bunu, her noktada fonksiyonu değerlendirerek ve maksimumu alarak veya türevleri daha fazla analiz ederek, birinci türev testini , ikinci türev testini veya daha yüksek mertebeden türev testini kullanarak yapılabilir .

Sezgisel argüman

Sezgisel olarak, türevlenebilir bir fonksiyon türevi ile yaklaşık olarak tahmin edilir - türevlenebilir bir fonksiyon sonsuz küçük bir şekilde doğrusal bir fonksiyon gibi davranır veya daha doğrusu, Bu nedenle, "eğer f türevlenebilirse ve o zaman kaybolmayan türevi varsa, o zaman bir uç noktaya ulaşmaz. "sezgi de türev eğer ki olumlu, fonksiyon olduğunu artan yakın türev negatifse, işlev iken azalan yakın değeri değişiyor çünkü her iki durumda da bir maksimum veya minimum elde edilemez. Yalnızca "durduğunda" maksimum veya minimuma ulaşabilir - eğer türev kaybolursa (veya türevlenemezse veya sınırın içine girerse ve devam edemezse). Bununla birlikte, "doğrusal bir işlev gibi davranması" nın kesin olması, dikkatli analitik kanıt gerektirir. ${\ displaystyle a + bx,}$${\ displaystyle f (x_ {0}) + f '(x_ {0}) (x-x_ {0}).}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0},}$${\ displaystyle x_ {0}.}$

Daha doğrusu, sezgi şu şekilde ifade edilebilir: eğer türev pozitifse, f'nin daha büyük olduğu yerde sağda bir nokta vardır ve f'nin daha küçük olduğu yerde solda bir nokta vardır ve böylece f ne maksimum ne de a ulaşır. minimumda Tersine, eğer türev negatifse, sağda daha küçük olan bir nokta ve daha büyük olan solda bir nokta vardır. Bu şekilde ifade edildiğinde, kanıt sadece bunu denklemlere çevirmek ve "ne kadar büyük veya daha az" olduğunu doğrulamaktır. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}.}$

Sezgi davranışına dayanmaktadır polinom fonksiyonlar . F fonksiyonunun x _0'da bir maksimuma sahip olduğunu varsayalım , mantık minimum fonksiyon için benzerdir. Eğer daha sonra yerel maksimum, yaklaşık bir (muhtemelen küçük) vardır mahalle bir işlev gibi "daha önce artmaktadır" ve "sonra azaltılması" . Türev artan bir fonksiyon için pozitif ve azalan bir fonksiyon için negatif olduğundan önce pozitif ve sonra negatiftir . değerleri atlamaz ( Darboux teoremine göre ), bu nedenle pozitif ve negatif değerler arasında bir noktada sıfır olması gerekir. O sahip olmak mümkündür mahallede tek nokta olduğunu . ${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0} \ in (a, b)}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ displaystyle f '}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ displaystyle f '}$${\ displaystyle \ displaystyle f '(x) = 0}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$

Teorem (ve aşağıdaki kanıtı), işlevin etrafındaki bir mahalleye göre türevlenebilir olmasını gerektirmediği için sezgiden daha geneldir . Fonksiyonun sadece en uç noktada türevlenebilir olması yeterlidir. ${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$

Kanıt

İspat 1: Kaybolmayan türevler aşırı değil ima eder

Varsayalım ki f noktasında türevli türevi ile K, ve kabul genelliği kaybetmeden bu teğet çizgisi çok olumlu bir eğim (artmaktadır). Sonra bir mahalle var hangi kesen aracılığıyla tüm olumlu eğime sahiptir ve dolayısıyla sağındaki f büyüktür ve solundaki f azdır. ${\ displaystyle x_ {0} \ in (a, b),}$${\ displaystyle K> 0,}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0},}$ ${\ displaystyle x_ {0},}$

İspatın şeması:

• türevi (teğet) etrafında son derece küçük bir ifade de ima ${\ displaystyle x_ {0}}$
• Fark katsayılar hakkında yerel beyanı (kesen) yakın olan ima ${\ displaystyle x_ {0},}$
• hakkında yerel deyimi değeri arasında f yakın ${\ displaystyle x_ {0}.}$

Türev tanımına göre biçimsel olarak şu anlama gelir: ${\ displaystyle f '(x_ {0}) = K}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ ila 0} {\ frac {f (x_ {0} + \ varepsilon) -f (x_ {0})} {\ varepsilon}} = K.}$

Özellikle, yeterince küçük (bazılarından daha az ) için, bölüm en azından sınır tanımına göre olmalıdır . Böylece aralıkta biri vardır: ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle K / 2,}$ ${\ displaystyle (x_ {0} - \ varepsilon _ {0}, x_ {0} + \ varepsilon _ {0})}$

${\ displaystyle {\ frac {f (x_ {0} + \ varepsilon) -f (x_ {0})} {\ varepsilon}}> K / 2;}$

biri yerini almıştır eşitliği bir ile sınırda (son derece küçük bir deyim) eşitsizlik bir mahalle üzerinde (yerel deyimi). Böylece, denklemi yeniden düzenlemek, eğer öyleyse: ${\ displaystyle \ varepsilon> 0,}$

${\ displaystyle f (x_ {0} + \ varepsilon)> f (x_ {0}) + (K / 2) \ varepsilon> f (x_ {0}),}$

yani sağdaki aralıkta, f büyüktür ve eğer öyleyse: ${\ displaystyle f (x_ {0}),}$${\ displaystyle \ varepsilon <0,}$

${\ displaystyle f (x_ {0} + \ varepsilon) <f (x_ {0}) + (K / 2) \ varepsilon <f (x_ {0}),}$

yani soldaki aralıkta, f küçüktür ${\ displaystyle f (x_ {0}).}$

Bu nedenle , yerel veya genel maksimum veya minimum f değildir.${\ displaystyle x_ {0}}$

İspat 2: Extremum türevin kaybolduğunu ima eder

Alternatif olarak, bunun yerel bir maksimum olduğunu varsayarak başlayabilir ve ardından türevin 0 olduğunu ispatlayabiliriz. ${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$

Bunun yerel bir maksimum olduğunu varsayalım ( yerel bir minimum ise benzer bir kanıt geçerlidir ). Sonra vardır öyle ki ve sahip olduğumuz böyle herkes için sahip . Dolayısıyla sahip olduğumuz herhangi biri için ${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle (x_ {0} - \ delta, x_ {0} + \ delta) \ altküme (a, b)}$${\ displaystyle f (x_ {0}) \ geq f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ displaystyle | x-x_ {0} | <\ delta}$${\ displaystyle h \ in (0, \ delta)}$

${\ displaystyle {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})} {h}} \ leq 0.}$

Yana sınırı olarak bu oranın yukarıdan 0'a yakın alır var eşittir ve şu sonuca . Öte yandan, bunun farkına vardık ${\ displaystyle \ displaystyle h}$${\ displaystyle \ displaystyle f '(x_ {0})}$${\ displaystyle f '(x_ {0}) \ leq 0}$${\ displaystyle h \ in (- \ delta, 0)}$

${\ displaystyle {\ frac {f (x_ {0} + h) -f (x_ {0})} {h}} \ geq 0}$

ama yine aşağıdan 0'a yaklaşan limit var ve buna eşittir bizde de var . ${\ displaystyle \ displaystyle h}$${\ displaystyle \ displaystyle f '(x_ {0})}$${\ displaystyle f '(x_ {0}) \ geq 0}$

Dolayısıyla şu sonuca varıyoruz: ${\ displaystyle \ displaystyle f '(x_ {0}) = 0.}$

Uyarılar

Genellikle Fermat teoremi bağlamında tutulan ince bir yanılgı, yerel davranış hakkında yaptığından daha güçlü bir açıklama yaptığını varsaymaktır. Özellikle, Fermat teoremi vermez var değil fonksiyonları (monotonik) "kadar artırmak" ya da yerel bir maksimum "dan aşağı düşürmek" derler. Bu, bir sınırın "monoton olarak bir noktaya yaklaşmak" anlamına geldiği yanılgısına çok benzer. "İyi davranılmış işlevler" için (burada sürekli olarak farklılaştırılabilir anlamına gelir ), bazı sezgiler geçerlidir, ancak genel olarak işlevler aşağıda gösterildiği gibi kötü davranabilir. Ahlaki, türevlerin sonsuz küçük davranışı belirlemesi ve sürekli türevlerin yerel davranışı belirlemesidir .

Sürekli türevlenebilir fonksiyonlar

Eğer f olduğunu sürekli türevlenebilir bir de açık mahalle noktasının ardından demek f bir mahalle üzerinde artmaktadır şöyle. ${\ displaystyle \ sol (C ^ {1} \ sağ)}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f '(x_ {0})> 0}$${\ displaystyle x_ {0},}$

Eğer ve daha sonra türev sürekliliği ile bazı vardır öyle ki tüm . O zaman f bu aralıkta ortalama değer teoremine göre artmaktadır : herhangi bir sekant doğrunun eğimi en azından bazı teğet doğrunun eğimine eşittir. ${\ displaystyle f '(x_ {0}) = K> 0}$${\ displaystyle f \ in C ^ {1},}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}> 0}$${\ displaystyle f '(x)> K / 2}$${\ displaystyle x \ in (x_ {0} - \ varepsilon _ {0}, x_ {0} + \ varepsilon _ {0})}$${\ displaystyle K / 2,}$

Ancak, bir tek o türev verilir Fermat teoremi, genel açıklamada en olumlu, biri yalnızca o kesen sonuca varabiliriz aracılığıyla olumlu eğime sahip olacaktır arasındaki sekant hatlar için, ve yeterli yerlerin yakınında. ${\ displaystyle x_ {0}}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Tersine, eğer f'nin bir noktadaki türevi sıfır ise ( durağan bir nokta ise), genel olarak f'nin yerel davranışı hakkında herhangi bir sonuca varılamaz - bir tarafa artabilir ve diğer tarafa düşebilir (olduğu gibi ), her iki taraf da (olduğu gibi ), her iki tarafa da azalır (olduğu gibi ) veya salınım gibi daha karmaşık şekillerde davranır ( aşağıda tartışıldığı gibi). ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x ^ {3}}$${\ displaystyle x ^ {4}}$${\ displaystyle -x ^ {4}}$${\ displaystyle x ^ {2} \ sin (1 / x)}$

Bir ile sonsuz davranışı analiz ikinci türev testi ve daha yüksek dereceden türevi testi fonksiyonu farklı yeterli ise, ve birinci olmayan ufuk türev ise a, sürekli bir fonksiyon , bir sonra sonucuna varabiliriz yerel davranışı (yani, eğer isimli ilk kaybolmayan türev ve süreklidir, yani ), o zaman kişi f'yi yerel olarak k derece polinomuna yakın olarak kabul edebilir , çünkü yaklaşık olarak davranır, ancak k- inci türevi sürekli değilse, bu tür sonuçlar çıkarılamaz. ve oldukça farklı davranabilir. ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f ^ {(k)} (x_ {0}) \ neq 0}$${\ displaystyle f ^ {(k)}}$${\ displaystyle f \ in C ^ {k}}$ ${\ displaystyle f ^ {(k)} (x_ {0}) (x-x_ {0}) ^ {k},}$

Patolojik fonksiyonlar

İşlev - bu arasında hızla artan bir salınım ve şekilde x Sonuç olarak 0 değerini yaklaşımlar, fonksiyon artan hızla, 0 ile salınır olarak x bir tanımlayarak bu işlevi uzanıyorsa 0 değerini yaklaşımlar genişletilmiş fonksiyon, sürekli ve her yerde türevlenebilir o zaman (en ayırt edilebilirdir 0 türevi 0 ile), ancak 0 yakınında oldukça beklenmedik bir davranışa sahiptir: 0'ın herhangi bir mahallesinde sonsuz kez 0'a ulaşır, ancak aynı zamanda sonsuz sıklıkta (pozitif bir sayıya) eşittir . ${\ displaystyle \ sin (1 / x)}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle f (x) = (1+ \ sin (1 / x)) x ^ {2}}$${\ displaystyle 2x ^ {2}}$${\ displaystyle f (0) = 0}$${\ displaystyle 2x ^ {2}}$

Bu damarda devam edersek , hangisinin ve arasında salınım yaptığı tanımlanabilir . Fonksiyonun yerel ve global minimum değeri vardır , ancak 0'ın hiçbir komşuluğunda 0'a düşmez veya 0'dan yükselmez - 0'a yakın çılgınca salınır. ${\ displaystyle g (x) = (2+ \ sin (1 / x)) x ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle 3x ^ {2}}$${\ displaystyle x = 0}$

Fonksiyonu ise, çünkü bu patoloji anlaşılabilir g yerde türevlenebilir, bu değil sürekli türevlenebilir: sınırı olarak türevi 0'a de sürekli değildir, böylece yok artırmak ve yaklaştıkça azalan değerlere arasındaki salınım yansıtır 0. ${\ displaystyle g '(x)}$${\ displaystyle x \ ila 0}$

Ayrıca bakınız

• Optimizasyon (matematik)
• Maksimum ve minimum
• Türev
• Aşırı değer
• arg max
• Yeterlilik

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• "Fermat Teoremi (durağan noktalar)" . PlanetMath .
• "Fermat Teoreminin Kanıtı (durağan noktalar)" . PlanetMath .