Mısır kesri - Egyptian fraction

Bir Mısır kesri , aşağıdaki gibi farklı birim kesirlerin sonlu bir toplamıdır.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.}$

Yani ifadedeki her kesrin payı 1'e eşit ve paydası pozitif bir tam sayıdır ve tüm paydalar birbirinden farklıdır. Bu tür bir ifadenin değeri pozitif bir rasyonel sayıdır. a/B; örneğin yukarıdaki Mısır fraksiyonu şuna eşittir:43/48. Her pozitif rasyonel sayı bir Mısır kesri ile temsil edilebilir. Bu türden meblağlar ve aşağıdakileri de içeren benzer meblağlar2/3 ve 3/4olarak summands , eski Mısırlılar tarafından rasyonel sayılar için ciddi bir gösterimde olarak kullanılır ve Ortaçağdan içine diğer medeniyetler tarafından kullanılmaya devam edildi. Modern matematiksel gösterimde, Mısır kesirlerinin yerini kaba kesirler ve ondalık gösterim almıştır. Bununla birlikte, Mısır kesirleri, modern sayılar teorisi ve rekreasyonel matematiğin yanı sıra antik matematiğin modern tarihi araştırmalarında bir çalışma nesnesi olmaya devam ediyor .

Uygulamalar

Mısır kesirlerinin tarihsel kullanımlarının ötesinde, kesirli sayıların diğer temsillerine göre bazı pratik avantajları vardır. Örneğin, Mısır kesirleri, yiyecekleri veya diğer nesneleri eşit paylara bölmeye yardımcı olabilir. Örneğin, 5 pizzayı 8 lokantaya eşit olarak bölmek isterse, Mısır kesri

${\displaystyle {\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}}$

örneğin 4 pizzayı 8 yarıya ve kalan pizzayı sekizde sekize bölerek her lokantanın yarım pizza artı bir pizzanın sekizde biri daha alması anlamına gelir.

Benzer şekilde, her lokantaya bir pizza vererek ve kalan pizzayı 12 parçaya bölerek (belki de onu yok ederek) 13 pizzayı 12 lokantaya bölebilirse de, şunu not edebiliriz:

${\displaystyle {\frac {13}{12}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}}$

ve 6 pizzayı ikiye, 4'ü üçte bire ve kalan 3'ü dörde bölün ve ardından her lokantaya bir yarım, üçte bir ve bir çeyrek verin.

Mısır kesirleri, belirli bir sürenin, bir birim zamandan sonra yanan üniform olmayan halatları tutuşturarak ölçüleceği halat yakan bulmacalara bir çözüm sağlayabilir . Bir zaman biriminin herhangi bir rasyonel kesri, kesri birim kesirlerin toplamına genişleterek ve daha sonra her birim kesir için bir ipi yakarak ölçülebilir , böylece her zaman aynı anda yanan noktalara sahip olur. Bu uygulama için birim kesirlerin birbirinden farklı olmasına gerek yoktur. Ancak, bu çözüm sonsuz sayıda yeniden aydınlatma adımı gerektirebilir. ${\görüntüleme stili 1/x}$${\görüntüleme stili x}$

Erken tarih

Mısır kesir gösterimi, Mısır Orta Krallığı'nda geliştirildi . Mısır kesirlerinin göründüğü ilk beş metin Mısır Matematiksel Deri Rulosu , Moskova Matematiksel Papirüsü , Reisner Papirüsü , Kahun Papirüsü ve Akhmim Tahta Tableti idi . Daha sonraki bir metin olan Rhind Matematik Papirüsü , Mısır kesirlerini yazmanın gelişmiş yollarını tanıttı. Rhind papirüsü Ahmes tarafından yazılmıştır ve İkinci Ara Döneme aittir ; rasyonel sayılar için Mısır kesir açılımlarının bir tablosunu içerir2/n, yanı sıra 84 kelime problemleri . Her problemin çözümleri, 84 problemin nihai cevapları Mısır kesir notasyonu ile ifade edilerek, yazı stenografisiyle yazılmıştır.2/nRhind papirüsündekine benzer tablolar diğer bazı metinlerde de görülmektedir. Ancak Kahun Papirüsü'nün gösterdiği gibi, kaba kesirler de yazıcılar tarafından hesaplamalarında kullanılıyordu.

gösterim

Mısırlı kesir gösteriminde kullanılan birim kesirleri hiyeroglif yazısıyla yazmak için Mısırlılar hiyeroglifi yerleştirdiler.

( er , "[bir] arasında" veya muhtemelen re , ağız) bu sayının tersini temsil etmek için bir sayının üzerinde . Benzer şekilde, hiyerarşik yazıyla, sayıyı temsil eden harfin üzerine bir çizgi çizdiler. Örneğin:

${\displaystyle ={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{10}}}$

Mısırlıların özel sembolleri vardı. 1/2, 2/3, ve 3/4 daha büyük sayıların boyutunu küçültmek için kullanılan 1/2bu tür sayılar bir Mısır kesir serisine dönüştürüldüğünde. Bu özel kesirlerden biri çıkarıldıktan sonra kalan sayı, olağan Mısır kesir notasyonuna göre farklı birim kesirlerin toplamı olarak yazılmıştır.

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {3}{4}}}$

Mısırlılar ayrıca, formun özel bir kesirleri kümesini belirtmek için Eski Krallık'tan değiştirilen alternatif bir notasyon kullandılar. 1/2 ^bin( k = 1, 2, ..., 6 için) ve mutlaka ikili rasyonel sayılar olan bu sayıların toplamları . Bunlar bazı bölgelerinde dayalı olduğunu bir teori (Şimdi çıkmış) sonra "Horus Göz fraksiyonlar" denilen edilmiştir Göz Horus'un sembolü. Orta Krallık'ta, Mısır kesirlerinin bir hekat'ı alt bölümlere ayırmak için daha sonraki gösterimi ile bağlantılı olarak, Akhmim Ahşap Tablet'te açıklandığı gibi, tahıl, ekmek ve diğer küçük hacim miktarları için birincil eski Mısır hacim ölçüsü olarak kullanıldılar . Geri kalan kısım, bir hekat Horus fraksiyonlarının Eye bir miktar ifade sonra kalan ise, geriye kalan kısım katları olarak her zamanki Mısır fraksiyon gösterimi kullanılarak yazılmış ro , bir birim için eşit1/320 bir hekat.

Hesaplama yöntemleri

Modern matematik tarihçileri, Mısırlıların Mısır kesirlerini hesaplamada kullandıkları yöntemleri keşfetmek amacıyla Rhind papirüsünü ve diğer antik kaynakları incelediler. Özellikle, bu alandaki çalışma, formun sayıları için açılım tablolarının anlaşılmasına odaklanmıştır.2/nRhind papirüsünde. Bu açılımlar genel olarak cebirsel özdeşlikler olarak tanımlanabilse de Mısırlıların kullandığı yöntemler bu özdeşliklere doğrudan karşılık gelmeyebilir. Ayrıca, tablodaki açılımlar tek bir kimlikle eşleşmiyor; bunun yerine, farklı kimlikler, asal ve bileşik paydaların açılımlarıyla eşleşir ve birden fazla kimlik, her türün sayılarına uyar:

• Küçük tek asal paydalar p için , genişleme

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{\,{\frac {p+1}{2}}\,}}+{\frac {1}{p{\ frak {p+1}{2}}}}}$

kullanıldı.

• Daha büyük asal paydalar için, formun genişletilmesi

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}}}$

A , arasında birçok böleni ( pratik bir sayı gibi ) olan bir sayı olduğu yerde kullanıldı.P/2ve s . kalan dönem2 A - p/Uygulama sayısını temsil ederek genişletildi 2 A - p/UygulamaA'nın bölenlerinin toplamı ve bir kesir oluşturand/Uygulamabu toplamda böyle her bir bölen d için. Örnek olarak, Ahmes'in genişlemesi1/24 + 1/111 + 1/296 için 2/37bu kalıba A = 24 ile uyar ve2 A - p/Uygulama= 11 = 3 + 8 olarak1/24 + 1/111 + 1/296 = 1/24 + 3/24 × 37 + 8/24 × 37. Belirli bir p için bu türün birçok farklı açılımı olabilir ; bununla birlikte, KS Brown'ın gözlemlediği gibi, Mısırlılar tarafından seçilen genişleme, bu modele uyan tüm açılımlar arasında en büyük paydanın mümkün olduğunca küçük olmasına neden olan genişlemeydi.

• p × q olarak çarpanlarına ayrılan bileşik paydalar için, genişletilebilir2/pq kimliği kullanmak

${\displaystyle {\frac {2}{pq}}={\frac {1}{aq}}+{\frac {1}{apq}}\quad {\text{nerede }}a={\frac { p+1}{2}}}$

Örneğin, bu yöntemi pq = 21 için uygulamak , p = 3 , q = 7 ve a = verir.3 + 1/2= 2 , genişlemeyi üretir2/21 = 1/14 + 1/42Rhind papirüsünden. Bazı yazarlar bu açılımı şu şekilde yazmayı tercih etmişlerdir:2/A × A/pqburada A = p + 1 ; bu ürünün ikinci terimini şu şekilde değiştirmekP/pq + 1/pq, dağıtım yasasını ürüne uygulamak ve sadeleştirme, burada açıklanan ilk genişlemeye eşdeğer bir ifadeye yol açar. Bu yöntem Rhind papirüsündeki bileşik sayıların çoğu için kullanılmış gibi görünüyor, ancak istisnalar var, özellikle2/35, 2/91, ve 2/95.

• Bir de genişletebilir 2/pq olarak 1/pr + 1/kare, burada r =p + q/2. Örneğin, Ahmet genişler.2/35 = 1/30 + 1/42, burada p = 5 , q = 7 ve r =5 + 7/2= 6 . Daha sonraki yazıcılar bu genişlemenin daha genel bir biçimini kullandılar.

${\displaystyle {\frac {n}{pq}}={\frac {1}{pr}}+{\frac {1}{qr}}\quad {\text{nerede }}r={\frac { p+q}{n}}}$

p + q , n'nin katı olduğunda çalışır .

• Diğer bazı bileşik paydalar için, genişleme 2/pq için bir genişleme biçimine sahiptir 2/Qher paydanın p ile çarpılmasıyla . Örneğin, 95 = 5 × 19 ve2/19 = 1/12 + 1/76 + 1/114( A = 12 ile asal sayılar yöntemi kullanılarak bulunabileceği gibi ), bu nedenle2/95 = 1/5 × 12 + 1/5 × 76 + 1/5 × 114 = 1/60 + 1/380 + 1/570. Bu ifade sonce basitleştirilebilir1/380 + 1/570 = 1/228, ancak Rhind papirüsü basitleştirilmemiş biçimi kullanır.
• Rhind papirüsündeki son (ana) genişleme, 2/101, bu formların hiçbirine uymuyor, bunun yerine bir genişletme kullanıyor

${\displaystyle {\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}}$

p değerinden bağımsız olarak uygulanabilir . Yani,2/101 = 1/101 + 1/202 + 1/303 + 1/606. Mısır Matematiksel Deri Rulosunda birkaç vaka için ilgili bir genişleme de kullanıldı.

Daha sonra kullanım

Mısır kesir gösterimi erken gibi şikayetlere rağmen, Yunan zamanlarda ve Ortaçağ'da içine kullanılmaya devam Batlamyus 'ın Almagest gibi alternatiflere kıyasla gösterimde çarpıklığı konusunda Babil baz-60 gösterimde . Birim kesirlere ayrışma ile ilgili problemler, 9. yüzyılda Hindistan'da Jain matematikçi Mahāvīra tarafından da incelenmiştir . Ortaçağ Avrupa matematiğinin önemli bir metni olan Pisa'lı Leonardo'nun (daha yaygın olarak Fibonacci olarak bilinen ) Liber Abaci'si (1202) , Orta Çağ'da Mısır kesirlerinin kullanımları hakkında bir fikir verir ve modern çağda önemli olmaya devam eden konuları tanıtır. Bu serilerin matematiksel çalışması.

Liber Abaci'nin birincil konusu, sonunda Mısır kesirlerinin yerini alan ondalık ve kaba kesir gösterimini içeren hesaplamalardır. Fibonacci'nin kendisi , kesirlerin toplamı ile karışık bir sayı tabanı gösteriminin bir kombinasyonunu içeren kesirler için karmaşık bir gösterim kullandı . Fibonacci'nin kitabı boyunca yapılan hesaplamaların çoğu, Mısır kesirleri olarak temsil edilen sayıları içerir ve bu kitabın bir bölümü, kaba kesirlerin Mısır kesirlerine dönüştürülmesine yönelik yöntemlerin bir listesini sağlar. Sayı zaten bir birim kesir değilse, bu listedeki ilk yöntem, payı paydanın bölenlerinin toplamına bölmeye çalışmaktır; bu, payda pratik bir sayı olduğunda mümkündür ve Liber Abaci , 6, 8, 12, 20, 24, 60 ve 100 pratik sayılar için bu tür açılım tablolarını içerir.

Sonraki birkaç yöntem, aşağıdaki gibi cebirsel kimlikleri içerir:

${\displaystyle {\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}}$

Örneğin, Fibonacci kesri temsil eder. 8/11 payı, her biri bir artı paydayı bölen iki sayının toplamına bölerek: 8/11 = 6/11 + 2/11. Fibonacci, yukarıdaki cebirsel özdeşliği bu iki parçanın her birine uygulayarak genişlemeyi üretir.8/11 = 1/2 + 1/22 + 1/6 + 1/66. Fibonacci, birçok faktörlü bir sayıdan iki veya üç eksik olan paydalar için benzer yöntemler tanımlar.

Bu diğer yöntemlerin hepsinin başarısız olduğu nadir bir durumda, Fibonacci, Mısır kesirlerini hesaplamak için "açgözlü" bir algoritma önerir; bu algoritmada , genişletilecek kalan kesirden daha büyük olmayan en küçük paydaya sahip birim kesri tekrar tekrar seçilir: yani, daha modern gösterimde, bir kesri değiştiriyoruzx/y genişleme ile

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac { (-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\sol\lceil {\frac {y}{x}}\sağ\rceil }}}$

burada ⌈ ⌉ tavan fonksiyonunu temsil eder ; çünkü (- y ) mod x < x , bu yöntem, bir sonlu genişleme elde edilir.

Fibonacci, bu tür ilk genişlemeden sonra başka bir yönteme geçmeyi önerir, ancak aynı zamanda bu açgözlü genişlemenin tam bir Mısır kesir genişlemesi inşa edilene kadar yinelendiği örnekler verir: 4/13 = 1/4 + 1/18 + 1/468 ve 17/29 = 1/2 + 1/12 + 1/348.

Eski Mısır açılımları veya daha modern yöntemlerle karşılaştırıldığında, bu yöntem, büyük paydalarla oldukça uzun açılımlar üretebilir ve Fibonacci, bu yöntemle üretilen açılımların garipliğine dikkat çekti. Örneğin, açgözlü yöntem genişler

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}}}$

diğer yöntemler daha kısa genişlemeye yol açarken

${\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}}$

Sylvester'ın 2, 3, 7, 43, 1807, ... dizisi , her adımda paydayı ⌊ seçtiğimiz 1 sayısı için bu türden sonsuz açgözlü bir açılımla oluşturulmuş olarak görülebilir.y/x⌋ + 1 yerine ⌈y/x⌉ ve bazen Fibonacci'nin açgözlü algoritması James Joseph Sylvester'a atfedilir .

Açgözlü algoritmayı tanımladıktan sonra Fibonacci, bir kesri genişleterek başka bir yöntem önerir. a/Bbirçok böleni olan bir c sayısını arayarak ,B/2< c < b , değiştiriliyora/B tarafından AC/M.ÖVe genişleyen ac ait Bölen bir toplamı olarak bc , Hultsch ve Bruins tarafından önerilen yönteme benzer Rhind papirüs açılımları bazı açıklamak.

Modern sayı teorisi

Mısır kesirleri artık matematiğin çoğu pratik uygulamasında kullanılmasa da, modern sayı teorisyenleri bunlarla ilgili birçok farklı problemi incelemeye devam ettiler. Bunlar, Mısır kesir temsillerinde uzunluk veya maksimum paydayı sınırlama, belirli özel formların açılımlarını bulma veya paydaların hepsinin özel bir tür olduğu, Mısır kesir açılımı için çeşitli yöntemlerin sona ermesi ve açılımların herhangi biri için var olduğunu gösterme problemlerini içerir. yeterince yoğun yeterince düzgün sayılar kümesi .

• Paul Erdős'in en eski yayınlarından biri, harmonik bir ilerlemenin bir tamsayının Mısır kesir temsilini oluşturmasının mümkün olmadığını kanıtladı . Bunun nedeni, zorunlu olarak, ilerlemenin en az bir paydasının, başka hiçbir paydayı bölmeyen bir asal sayıya bölünebilmesidir . Erdös'ün ölümünden yaklaşık 20 yıl sonra yayınlanan son yayını, her tamsayının, tüm paydaların üç asal sayının çarpımı olduğu bir temsili olduğunu kanıtlıyor.
• Erdos-Graham varsayım olarak kombinatoryal sayı teorisi 1'den büyük tamsayılardır sonlu sayıda alt-grup halinde bölünmüştür halinde bildiren, daha sonra alt-bir tanıma değerleri toplamının birine kendi sonlu bir alt kümesi vardır. Yani, her r > 0 ve birden büyük tam sayıların her r- renklendirmesi için, bu tam sayıların sonlu bir monokromatik S alt kümesi vardır.

${\displaystyle \sum _{n\S}{\frac {1}{n}}=1}$

Bu varsayım 2003 yılında Ernest S. Croot, III tarafından kanıtlanmıştır .

• Znám'ın problemi ve birincil sahte mükemmel sayılar , formun Mısırlı kesirlerinin varlığıyla yakından ilgilidir.

${\displaystyle \sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1}$

Örneğin, birincil sahte mükemmel sayı 1806, 2, 3, 7 ve 43 asal sayılarının çarpımıdır ve Mısır 1 = kesirini verir.1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1806.

• Mısır kesirleri normalde tüm paydaların farklı olmasını gerektiren şekilde tanımlanır, ancak bu gereklilik tekrarlanan paydalara izin verecek şekilde gevşetilebilir. Bununla birlikte, Mısır kesirlerinin bu rahat formu, tekrarlanan kesirlerle herhangi bir açılım, değiştirmenin tekrar tekrar uygulanmasıyla eşit veya daha küçük uzunluktaki bir Mısır kesrine dönüştürülebileceğinden, herhangi bir sayının daha az kesir kullanılarak temsil edilmesine izin vermez.

${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1) )}}}$

eğer k değiştirerek basitçe garip, ya da1/k + 1/k tarafından 2/keğer k bile olduğunu. Bu sonuç ilk olarak Takenouchi (1921) tarafından kanıtlanmıştır .

• Graham ve Jewett, tekrarlanan paydalarla açılımları (daha uzun) Mısır kesirlerine değiştirme yoluyla dönüştürmenin benzer şekilde mümkün olduğunu kanıtladılar.

${\displaystyle {\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{ \frac {1}{k(k+1)}}.}$

Bu yöntem, aşağıdaki gibi büyük paydalarla uzun açılımlara yol açabilir.

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42} }+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac { 1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}}$

Botts (1967) başlangıçta bu değiştirme tekniğini herhangi bir rasyonel sayının keyfi olarak büyük minimum paydalarla Mısır kesir temsillerine sahip olduğunu göstermek için kullanmıştı.

• herhangi bir kesir x/y maksimum paydanın sınırlandığı bir Mısır kesir temsiline sahiptir

${\displaystyle O\sol(y\log y\sol(\log \log y\sağ)^{4}\sol(\log \log \log y\sağ)^{2}\sağ)}$

ve en fazla ile bir temsil

${\displaystyle O\sol({\sqrt {\log y}}\sağ)}$

terimler. Terim sayısı bazen en azından log log y ile orantılı olmalıdır ; örneğin bu dizideki kesirler için geçerlidir1/2, 2/3, 6/7, 42/43, 1806/1807, ... paydaları Sylvester dizisini oluşturan . O (log log y ) terimlerinin her zaman yeterli olduğu varsayılmıştır . Hem maksimum paydanın hem de terim sayısının küçük olduğu gösterimler bulmak da mümkündür.

• (1964) Graham tüm paydası olan Mısır fraksiyonları ile temsil edilebilir numaraları, özelliği , n inci güçler. Özellikle, q rasyonel sayısı, ancak ve ancak q iki yarı açık aralıktan birinde yer alıyorsa, paydaları kare olan bir Mısır kesri olarak temsil edilebilir.

${\displaystyle \left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}} \Sağ)}$

• Martin (1999) herhangi bir rasyonel sayı kadar payda sabit bir kısmını kullanarak, çok yoğun açılımlar sahip olduğunu göstermiştir , N , yeterince büyük için N .
• Engel açılımı , bazen Mısır çarpımı olarak adlandırılır , her paydanın bir öncekinin katı olduğu bir Mısır kesir açılımı şeklidir:

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{ 2}a_{3}}}+\cdots}$

Ek olarak, a _i çarpanlarının dizisinin azalmaması gerekir. Her rasyonel sayının sonlu bir Engel açılımı vardır, irrasyonel sayıların ise sonsuz bir Engel açılımı vardır.

• Anshel & Goldfeld (1991) , aynı sayıda terim ve aynı payda çarpımı ile birden fazla farklı Mısır kesir temsiline sahip sayıları inceler; örneğin, sağladıkları örneklerden biri

${\displaystyle {\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}}$

Eski Mısırlılardan farklı olarak, bu açılımlarda paydaların tekrarlanmasına izin veriyorlar. Bu problem için sonuçlarını az sayıda sayısal parametre ile Abel gruplarının serbest ürünlerinin karakterizasyonuna uygularlar : komütatör alt grubunun rankı , serbest çarpımdaki terimlerin sayısı ve faktörlerin sıralarının çarpımı.

• Bir sayının farklı n- terimli Mısır kesir gösterimlerinin sayısı , n'nin çift ​​üstel fonksiyonları ile yukarıda ve aşağıda sınırlandırılmıştır .

Açık sorunlar

Matematikçilerin büyük çabalarına rağmen, Mısır kesirleriyle ilgili bazı dikkate değer problemler hala çözülememiştir.

• Erdos-Straus tahmin formunun bir kısmı için en kısa genleşme uzunluğu ile ilgilidir4/n. genişleme yapar mı

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}}$

her n için var mı? Herkes için geçerli olduğu bilinmektedir n <10 ¹⁷ , ve tüm ama olası bir değerler yok denecek kadar küçük bir kısmını n , ancak varsayım genel gerçek bilinmiyor.

• Tek paydalı her kesir için tek bir açgözlü açılım olup olmadığı bilinmiyor . Fibonacci'nin açgözlü yöntemi, her zaman mümkün olan en küçük tek paydayı seçecek şekilde değiştirilirse, bu değiştirilmiş algoritma hangi koşullar altında sonlu bir genişleme üretir? Açık bir gerekli koşul, başlangıç ​​fraksiyonununx/ytek bir payda y var ve bunun da yeterli bir koşul olduğu tahmin ediliyor, ancak bilinmiyor. Bilindiği gibi herx/ytek y ile açgözlü algoritmadan farklı bir yöntem kullanılarak oluşturulan farklı tek birim kesirlere genişlemeye sahiptir.
• Kullanmak mümkündür kaba kuvvet arama belirli bir olası en az şartlarına sayı veya büyük paydayı minimize Mısır kesir gösterimini bulmak için algoritmalar; ancak, bu tür algoritmalar oldukça verimsiz olabilir. Bu problemler için polinom zaman algoritmalarının mevcudiyeti veya daha genel olarak bu problemlerin hesaplama karmaşıklığı bilinmemektedir.

Guy (2004) , bu sorunları daha ayrıntılı olarak açıklar ve çok sayıda ek açık sorunu listeler.

Ayrıca bakınız

• Karşılıklı toplamların listesi

Notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

• Brown, Kevin, Mısır Birim Kesirleri.
• Eppstein, David , Mısır Kesirleri.
• Knott, Ron, Mısır kesirleri.
• Weisstein, Eric W. , "Mısır Kesiri" , MathWorld
• Giroux, André, Mısır Kesirlerive Zeleny, Enrique, Mısır Kesirleri için Algoritmalar, Wolfram Gösteriler Projesi tarafından programlarına dayalı, David Eppstein .