Güç setinin aksiyomu - Axiom of power set

Dahil edilmeye göre sıralanan { x , y , z } kümesinin güç kümesinin elemanları .

In matematik , güç setinin aksiyomu biridir Zermelo-Fraenkel aksiyomlarıyla ait aksiyomatik küme kuramı .

Gelen resmi dili Zermelo-Fraenkel aksiyomların, aksiyomu okur:

${\ displaystyle \ forall x \, \ var y \, \ forall z \, [z \ y \ iff \ forall w \, (w \ in z \ Rightarrow w \ x in)]}$

burada Y bir güç grubu ve x , . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$

İngilizcede bu şöyle diyor:

Herhangi bir verilen grubu X , orada bir dizi bu şekilde herhangi bir grubu göz önüne alındığında, Z , bu set z üyesidir ancak ve ancak her eleman z bir unsuru da x . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$

Daha kısaca: Her küme için , tam olarak alt kümelerinden oluşan bir küme vardır . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$${\ displaystyle x}$

Not alt kümesi ilişki alt kümesi resmi resim teorik olarak ilkel bir ilişki olmadığı gibi resmi tanımı kullanılmaz; daha doğrusu, alt küme açısından tanımlanır ayarlanan üyelik , . By Genişletilebilirlik aksiyomuna set benzersizdir. ${\ displaystyle \ subseteq}$${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$

Güç kümesi aksiyomu, küme teorisinin çoğu aksiyomatizasyonunda görünür. Yapıcı küme teorisi , öngörülebilirlikle ilgili endişeleri gidermek için daha zayıf bir versiyonu tercih etmesine rağmen, genellikle tartışmasız olarak kabul edilir .

Sonuçlar

Güç Kümesi Aksiyomu , iki kümenin Kartezyen çarpımının basit bir tanımını sağlar ve : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle X \ times Y = \ {(x, y): x \ in X \ land y \ in Y \}.}$

Dikkat edin

${\ displaystyle x, y \, X \ fincan Y'de}$

${\ mathcal {P}} içinde {\ displaystyle \ {x \}, \ {x, y \} \ (X \ cup Y)}$

ve örneğin, Kuratowski sıralı çifti kullanan bir model düşünülürse ,

${\ mathcal {P}} içinde {\ displaystyle (x, y) = \ {\ {x \}, \ {x, y \} \} \ ({\ mathcal {P}} (X \ fincan Y)) }$

ve bu nedenle Kartezyen ürün,

${\ displaystyle X \ times Y \ subseteq {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (X \ cup Y))}$

Sonlu kümelerin herhangi bir koleksiyonunun Kartezyen çarpımı yinelemeli olarak tanımlanabilir:

${\ displaystyle X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n} = (X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n-1}) \ times X_ {n}.}$

Kartezyen çarpımının varlığının, Kripke-Platek küme teorisinde olduğu gibi, güç kümesi aksiyomu kullanılmadan kanıtlanabileceğine dikkat edin .

Referanslar

• Paul Halmos , Naif küme teorisi . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Springer-Verlag, New York, 1974 tarafından yeniden basılmıştır. ISBN   0-387-90092-6 (Springer-Verlag baskısı).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN   3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth, 1980. Küme Teorisi: Bağımsızlık Kanıtlarına Giriş . Elsevier. ISBN   0-444-86839-9 .

Bu makale , Creative Commons Attribution / Share-Alike Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerindeki güç seti Axiom'dan gelen materyalleri içermektedir .