Θ (set teori) - Θ (set theory)

Gelen grubu teori , Θ (harf gibi okunur teta ) en sıfır olmayan sıra orada hiçbir şekilde α örten a üzerine reals.

Eğer seçim aksiyomu (AC) (veya reals edilebilir olsa bile tutar wellordered ), sonra Θ basitçe kardinal halefi sürekliliğinin kardinalitesi . Ancak, Θ sıklıkla gibi seçim aksiyomu başarısız metinler içerisinde incelenmiştir modelleri arasında belirli olmasıyla aksiyomuna .

Θ de sup tüm uzunlukları prewellorderings reals.

varoluş Kanıtı

Hatta reals hiçbir örten böyle bir sıra varsa sıra sayıları, çünkü o zaman en az bir olmalıdır (var olduğu üzerine sıfırdan farklı ordinal var olduğu, AC kullanmadan, kanıtlanmış edilebileceği O açık olmayabilir düzenli). Ancak, böyle bir sıra vardı varsayalım. Sonra her sıralı biz uzunluk a olan reals tüm prewellorderings kümesini ilişkilendirmek olabilir a. Bu verecek enjeksiyon gelen sınıfının (ki tekrarlanan uygulama ile bir dizi olduğu görülecek olabilir reals ilgili sıralamaların her setleri seti içine her sıra sayıları arasında Powerset aksiyomu ). Şimdi değiştirme aksiyomu tüm ordinals sınıf aslında bir dizi olduğunu göstermektedir. Ama bu tarafından, imkansız Burali-Forti paradoksu .

Daha kolay, Θ olduğu gösterilebilir tanımı ile bir Hartogs' fonksiyonu olmayan daha düşük ya da eşit en iyi sıralı kardinal rasgele bir dizi eşleştirir.