belirlenim aksiyomu - Axiom of determinacy

In matematik , belirli olmasıyla aksiyomu (olarak kısaltılır AD ) bir mümkündür aksiyomu için küme kuramı tarafından tanıtılan Jan Mycielski ve Hugo Steinhaus Belli iki kişilik atıfta 1962 yılında topolojik oyunlar uzunluğu w . Bir her oyun o AD devletler belirli türde olduğu belirlenmiş ; yani iki oyuncudan birinin kazanma stratejisi vardır .

AD'yi ilginç sonuçlarıyla motive ettiler ve AD'nin , seçim aksiyomunun (AC) yalnızca zayıf bir biçimini kabul eden, ancak tüm gerçek ve tüm sıralıları içeren bir küme teorisinin en küçük doğal modeli L(R)' de doğru olabileceğini öne sürdüler. sayılar . AD'nin bazı sonuçları, Stefan Banach ve Stanisław Mazur ve Morton Davis tarafından daha önce kanıtlanan teoremlerden takip edildi . Mycielski ve Stanisław Świerczkowski bir tane katkı: AD tüm setleri ima gerçek sayılar vardır Lebesgue ölçülebilir . Daha sonra Donald A. Martin ve diğerleri, özellikle tanımlayıcı küme teorisinde daha önemli sonuçlar olduğunu kanıtladılar . 1988'de John R. Steel ve W. Hugh Woodin uzun bir araştırma serisini tamamladı. ' ye benzer bazı sayılamayan kardinal sayıların varlığını varsayarak, Mycielski ve Steinhaus'un AD'nin L(R)'de doğru olduğuna dair orijinal varsayımını kanıtladılar.

Belirlenen oyun türleri

Belirlilik beliti aşağıdaki özel formunun oyun belirtir: bir alt göz önünde A arasında Baire uzay ω w tüm sonsuz dizileri arasında doğal sayılar . İki oyuncu, I ve II , dönüşümlü olarak doğal sayıları seçer

n 0 , n 1 , n 2 , n 3 , ...

Sonsuz sayıda hamleden sonra bir dizi oluşturulur. Oyuncu I , ancak ve ancak oluşturulan dizi A'nın bir öğesiyse oyunu kazanır . Belirlilik aksiyomu, bu tür tüm oyunların belirlenmiş olduğu ifadesidir.

Tüm oyunlar, kararlı olduklarını kanıtlamak için belirlilik aksiyomunu gerektirmez. Set halinde A olan clopen , oyun aslında bir sonlu bir oyun ve bu nedenle belirlenir. Benzer şekilde, A bir olan kapalı bir set , sonra oyun belirlenir. Kazanan seti Borel seti olan oyunların belirlendiği 1975 yılında Donald A. Martin tarafından gösterilmiştir . Yeteri kadar varlığını izler büyük kardinal bir set kazanan Tüm oyun bu yansıtmalı kümesi belirlenir (bkz Yansıtmalı belirsizliği ) ve AD tutan L (R) .

Belirlilik aksiyomu , gerçek sayıların her X alt uzayı için , Banach-Mazur oyunu BM ( X )'in belirlendiğini (ve dolayısıyla her gerçek kümesinin Baire özelliğine sahip olduğunu) ima eder .

Belirlilik aksiyomunun seçim aksiyomu ile uyumsuzluğu

Bir ω-oyunu G'deki tüm ilk oyuncu stratejilerinin S1 kümesi , süreklilik ile aynı kardinaliteye sahiptir . Aynısı, tüm ikinci oyuncu stratejilerinin set S2'si için de geçerlidir. G'de mümkün olan tüm dizilerin SG kümesinin kardinalitesinin de süreklilik olduğuna dikkat edelim . A, ilk oyuncunun kazanmasını sağlayan tüm dizilerin SG'nin alt kümesi olsun. Seçim aksiyomu ile sürekliliği düzenleyebiliriz ; ayrıca, bunu, herhangi bir uygun başlangıç ​​kısmının sürekliliğin kardinalitesine sahip olmadığı bir şekilde yapabiliriz. Bu iyi sıralama altında stratejiler kümesinde transfinit tümevarımla bir karşı örnek oluşturuyoruz :

A tanımsız kümesiyle başlıyoruz. T ekseni uzunluk sürekliliğine sahip "zaman" olsun. Her strateji için diğer oyuncunun kendisine karşı kazanan bir stratejisi olduğundan emin olmak için ilk oyuncunun tüm stratejilerini {s1(T)} ve ikinci oyuncunun tüm stratejilerini {s2(T)} göz önünde bulundurmamız gerekir. Düşünülen oyuncunun her stratejisi için, diğer oyuncuya bir kazanç sağlayan bir dizi oluşturacağız. Ekseni uzunluğu ℵ 0 olan ve her oyun dizisinde kullanılan zaman t olsun .

  1. İlk oyuncunun mevcut stratejisini {s1(T)} düşünün.
  2. (İlk oyuncunun stratejisi s1(T) ile birlikte) bir {a(1), b(2), a(3), b(4),...,a(t) dizisi oluşturarak tüm oyunu gözden geçirin. , b(t+1),...}.
  3. Bu dizinin A'ya ait olmadığına karar verin, yani s1(T) kayıp.
  4. İkinci oyuncunun stratejisini {s2(T)} düşünün.
  5. (İkinci oyuncunun stratejisi s2(T) ile birlikte) {c(1), d(2), c(3), d(4),...,c(t) dizisini oluşturarak sonraki tüm oyun boyunca ilerleyin. ), d(t+1),...}, bu dizinin {a(1), b(2), a(3), b(4),...,a(t) dizisinden farklı olduğundan emin olun ), b(t+1),...}.
  6. Bu dizinin A'ya ait olduğuna karar verin, yani s2(T) kayıp.
  7. Varsa başka stratejilerle tekrar etmeye devam edin, önceden düşünülen dizilerin tekrar oluşturulmadığından emin olun. (Tüm dizilerin kümesinden başlıyoruz ve bir dizi oluşturup bir stratejiyi her çürüttüğümüzde, oluşturulan diziyi ilk oyuncu hamlelerine ve ikinci oyuncu hamlelerine yansıtıyoruz ve sonuçta ortaya çıkan iki diziyi dizi dizimizden alıyoruz.)
  8. Yukarıdaki değerlendirmede yer almayan tüm diziler için keyfi olarak A'ya mı yoksa A'nın tümleyenine mi ait olduklarına karar verin.

Bu yapıldıktan sonra bir G oyunumuz var . Bana bir strateji s1 verirseniz, o zaman bu stratejiyi bir zaman T = T(s1) olarak düşündük. T zamanında , s1'in sonucunun s1 kaybı olacağına karar verdik. Dolayısıyla bu strateji başarısız olur. Ancak bu, keyfi bir strateji için geçerlidir; dolayısıyla belirlenim aksiyomu ve seçim aksiyomu uyumsuzdur.

Sonsuz mantık ve belirlilik aksiyomu

20. yüzyılın sonlarında sonsuz mantığın birçok farklı versiyonu önerildi. Belirlilik aksiyomuna inanmak için verilen bir neden, aşağıdaki gibi yazılabilmesidir (sonsuz mantığın bir versiyonunda):

VEYA

Not: Dizi ( S ) tüm kümesidir ait dizileridir S . Buradaki cümleler , elipslerin göründüğü sayılabilir sonsuz sayıda niceleyici listesiyle sonsuz uzunluktadır .

Büyük kardinaller ve belirlilik aksiyomu

Belirlilik aksiyomunun tutarlılığı, büyük kardinal aksiyomların tutarlılığı sorunuyla yakından ilgilidir . Bir Woodin teoremi ile , Zermelo-Fraenkel seçimsiz küme teorisinin (ZF) ve belirlenim aksiyomunun tutarlılığı, Zermelo-Fraenkel küme teorisinin seçimli tutarlılığına (ZFC) ve sonsuz sayıda Woodin kardinalinin varlığına eşdeğerdir. . Woodin kardinalleri kesinlikle erişilemez olduğundan , eğer AD tutarlıysa, sonsuz sayıda erişilemez kardinal de öyledir.

Üstelik, sonsuz bir Woodin kardinal kümesi hipotezine, hepsinden daha büyük ölçülebilir bir kardinalin varlığı eklenirse, çok güçlü bir Lebesgue ölçülebilir gerçek kümeleri teorisi ortaya çıkar, çünkü o zaman belirlenebilirlik aksiyomunun olduğu kanıtlanabilir. L(R)'de true , ve bu nedenle L(R)'deki her gerçek sayı kümesi belirlenir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma