Hacim formu - Volume form

Gelen matematik , bir birim formu bir ilgili türevlenebilir manifold bir üst-boyutlu bir form olduğu (yani bir diferansiyel bir şekilde üst derece). Bu nedenle, bir manifold üzerinde boyut , hacim bir şekilde bir bir -form, bir bölüm bir hat demeti . Bir manifold, ancak ve ancak yönlendirilebilirse, hiçbir yerde kaybolmayan bir hacim biçimini kabul eder. Bir yönlendirilebilir manifoldu bir işlev tarafından bir birim formu çarparak başka bir birim formu elde edilir, çünkü sonsuz sayıda birim formları bulunmaktadır. Yönlendirilemeyen manifoldlarda, bunun yerine daha zayıf bir yoğunluk kavramı tanımlanabilir . ${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n}$ ${\displaystyle \textstyle \Omega ^{n}(M)={\bigwedge }^{n}(T^{*}M)}$

Bir birim formu tanımlamak için bir yol sağlar integrali a fonksiyonu türevlenebilir manifold üzerinde. Başka bir deyişle, bir hacim formu , uygun Lebesgue integrali ile hangi fonksiyonların entegre edilebileceğine ilişkin bir ölçü verir . Bir hacim formunun mutlak değeri, çeşitli şekillerde bükülmüş hacim formu veya sözde hacim formu olarak da bilinen bir hacim öğesidir . Aynı zamanda bir ölçü tanımlar, ancak yönlendirilebilir veya yönlendirilemez herhangi bir türevlenebilir manifoldda bulunur.

Kähler manifoldu , olan karmaşık manifoldlar , doğal olarak yönlendirilmiş ve bu nedenle bir ses şekilsizdir edilir. Daha genel olarak, bir simplektik manifold üzerindeki simplektik formun inci dış gücü bir hacim formudur. Birçok manifold sınıfı standart hacim formlarına sahiptir: tercih edilen hacim formunun seçilmesine izin veren ekstra bir yapıya sahiptirler. Yönlendirilmiş sözde Riemann manifoldları , ilişkili bir kanonik hacim formuna sahiptir. ${\görüntüleme stili n}$

Oryantasyon

Aşağıdakiler yalnızca türevlenebilir manifoldların yönlendirilebilirliği hakkında olacaktır (herhangi bir topolojik manifoldda tanımlanan daha genel bir kavramdır).

Bir manifold, tüm geçiş fonksiyonlarının pozitif Jacobian determinantlarına sahip olduğu bir koordinat atlasına sahipse yönlendirilebilirdir . Böyle bir maksimal atlasın seçimi, üzerinde bir yönelimdir . Üzerindeki bir hacim formu , üzerindeki koordinat çizelgelerinin atlası , Öklid hacim formunun pozitif bir katına gönderildiğinden , doğal bir şekilde bir oryantasyona yol açar . ${\görüntüleme stili M}$${\ Displaystyle \ omega }$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili M}$${\ Displaystyle \ omega }$${\displaystyle dx^{1}\kama \cdots \kama dx^{n}}$

Bir birim formu, aynı zamanda, tercih edilen bir sınıfı tarifnamede sağlar çerçeveler üzerinde . Eğer teğet vektörlerin bir tabanını sağ elle çağırın:${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$

${\displaystyle \omega (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})>0.}$

Tüm sağ elini çerçeveler derlemesi olduğunu göre hareket tarafından grubun içinde genel doğrusal bir eşleşme pozitif belirleyici içeren boyutları. Bir oluşturan asıl alt demeti arasında doğrusal çerçeve demeti arasında , ve bir birim formuna bağlı yönelim çerçeve demetinin kanonik azalma sağlar, böylece yapı grubu ile bir alt-demetine . Bu bir hacim formu yükselmesi verir yani -Yapı üzerinde . sahip çerçeveler göz önüne alındığında daha fazla küçültme açıkça mümkündür. ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\görüntüleme stili M}$

${\displaystyle \omega (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=1.}$

( 1 )

Böylece bir hacim formu da bir -yapıya yol açar . Tersine, bir -yapı verildiğinde , özel lineer çerçeveler için ( 1 ) uygulanarak ve daha sonra argümanlarında homojenlik istenerek gerekli form için çözülerek bir hacim formu elde edilebilir . ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$${\görüntüleme stili n}$${\ Displaystyle \ omega }$

Bir manifold, ancak ve ancak bir hacim formuna sahipse yönlendirilebilir. Gerçekten de, bir bir deformasyon geri çekme beri , pozitif reals skalar matrisleri olarak gömülmüştür. Böylece her -yapı bir -yapıya indirgenebilir ve -yapılar üzerindeki yönelimlerle çakışır . Daha somut olarak, belirleyici demetin önemsizliği, yönlendirilebilirliğe eşdeğerdir ve bir çizgi demeti, ancak ve ancak hiçbir yerde kaybolmayan bir bölümü varsa önemsizdir. Bu nedenle, bir hacim formunun varlığı, yönlendirilebilirliğe eşdeğerdir. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili \Omega ^{n}(M)}$

Önlemlerle İlişkisi

Yönlendirilmiş bir manifold üzerinde bir hacim formu verildiğinde , yoğunluk , oryantasyonu unutarak elde edilen, yönlendirilmemiş manifold üzerindeki bir hacim sahte formudur . Yoğunluklar, daha genel olarak yönlendirilemez manifoldlarda da tanımlanabilir. ${\ Displaystyle \ omega }$ ${\görüntüleme stili |\omega |}$

Herhangi bir hacim sözde formu (ve dolayısıyla herhangi bir hacim formu), Borel kümelerinde bir ölçü tanımlar . ${\ Displaystyle \ omega }$

${\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .}$

Aradaki fark, bir ölçü bir (Borel) alt kümesi üzerine entegre edilebilirken, bir hacim formu yalnızca yönlendirilmiş bir hücre üzerine entegre edilebilir . Tek değişkenli hesapta yazma , basit bir ölçü değil, bir hacim biçimi olarak kabul edilir ve "hücre üzerinde zıt yönelimli, bazen de belirtilen tümleşik " anlamına gelir. ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$${\görüntüleme stili dx}$${\textstyle \int _{b}^{a}}$${\görüntüleme stili [a,b]}$${\displaystyle {\üzerine çizgi {[a,b]}}}$

Ayrıca, genel ölçülerin sürekli veya pürüzsüz olması gerekmez: bir hacim formu ile tanımlanmaları veya daha resmi olarak, belirli bir hacim formuna göre Radon-Nikodym türevlerinin mutlak olarak sürekli olması gerekmez .

uyuşmazlık

Bir birim formu göz önüne alındığında, ω ile M , tek bir tanımlayabilir sapma a vektör alanı X div ile gösterilen tek skaler değerli fonksiyonu olarak,  X , tatmin edici

${\displaystyle (\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\lrcorner } \omega),}$

burada L _X belirtmektedir Lie türevi boyunca X ve belirtmektedir iç ürünü ya da sol kasılma bölgesinin w boyunca X . Eğer X, a, kompakt desteklenen vektör alanı ve M bir olan sınırı ile manifoldu , daha sonra Stokes teoremi ima ${\displaystyle X\mathbin {\!\lrcorner } \omega }$

${\displaystyle \int _{M}(\operatöradı {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\lrcorner } \omega ,}$

hangi diverjans teoreminin bir genellemesidir .

Selenoid vektör alanları olanlardır div X = 0 . Lie türevinin tanımından, hacim formunun bir solenoidal vektör alanının akışı altında korunduğu sonucu çıkar . Dolayısıyla solenoidal vektör alanları, tam olarak hacmi koruyan akışlara sahip olanlardır. Bu gerçek, örneğin, bir hız alanının diverjansının bir akışkanın sıkıştırılabilirliğini ölçtüğü akışkanlar mekaniğinde iyi bilinmektedir, bu da akışkanın akışları boyunca hacmin ne ölçüde korunduğunu temsil eder.

Özel durumlar

yalan grupları

Herhangi bir Lie grubu için , çeviri ile doğal bir hacim formu tanımlanabilir. Yani, eğer ω _e öğesinin bir öğesiyse , o zaman soldan değişmeyen bir form, L _g'nin sol öteleme olduğu ile tanımlanabilir . Sonuç olarak, her Lie grubu yönlendirilebilir. Bu hacim formu bir skalere kadar benzersizdir ve karşılık gelen ölçü Haar ölçüsü olarak bilinir . ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G}$${\displaystyle \omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e}}$

Simplektik manifoldlar

Herhangi bir simplektik manifold (veya aslında herhangi bir neredeyse simplektik manifold ) doğal bir hacim formuna sahiptir. Eğer M bir 2 N ile boyutlu manifoldu simplektik şekilde w , o zaman ω ⁿ yerde sıfır bir sonucu olarak bir nondegeneracy simplektik formun. Sonuç olarak, herhangi bir simplektik manifold yönlendirilebilir (aslında yönlendirilebilir). Manifold hem simplektik hem de Riemann ise, manifold Kähler ise iki hacim formu aynı fikirdedir .

Riemann hacim formu

Herhangi bir yönlendirilmiş sözde Riemannsal (dahil Riemannsal ) manifoldu doğal birim formu vardır. Olarak yerel koordinat , bu şekilde ifade edilebilir

${\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}$

burada olan 1-formları için bir pozitif yönlendirilmiş temelini oluşturan cotangent demetinin manifold. Burada, manifold üzerindeki metrik tensörün matris gösteriminin determinantının mutlak değeridir . ${\görüntüleme stili dx^{i}}$${\görüntüleme stili |g|}$

Hacim formu çeşitli şekillerde gösterilir.

${\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).}$

Burada ise Hodge yıldız , böylelikle son biçim, hacim formu eşittir manifoldu üzerinde sabit haritanın Hodge ikili olduğunu vurgulayan Levi-Civita tensörü ε . ${\görüntüleme stili {\yıldız }}$${\görüntüleme stili {\yıldız }(1)}$

Yunanca ω harfi hacim biçimini belirtmek için sıklıkla kullanılsa da, bu gösterim evrensel değildir; ω sembolü genellikle diferansiyel geometride (simplektik bir form gibi) birçok başka anlam taşır .

Bir hacim formunun değişmezleri

Hacim formları benzersiz değildir; manifold üzerinde kaybolmayan fonksiyonlar üzerinde aşağıdaki gibi bir torsor oluştururlar . Olmayan bir ufuk işlevi göz önüne alındığında, ön ile M ve bir birim formu , bir birim formudur M . Tersine, iki hacim formu verildiğinde , oranları kaybolmayan bir fonksiyondur (aynı yönelimi tanımlarlarsa pozitif, zıt yönelimler tanımlarlarsa negatif). ${\ Displaystyle \ omega }$${\görüntüleme stili f\omega }$${\görüntüleme stili \omega ,\omega '}$

Koordinatlarda, ikisi de basitçe sıfır olmayan bir fonksiyon çarpı Lebesgue ölçüsüdür ve oranları, koordinat seçiminden bağımsız olan fonksiyonların oranıdır. Özetle, o Radon Nikodym türevi ve ilgili için . Yönlendirilmiş bir manifoldda, herhangi iki hacim formunun orantılılığı, Radon-Nikodym teoreminin geometrik bir formu olarak düşünülebilir . ${\görüntüleme stili \omega '}$${\ Displaystyle \ omega }$

Yerel yapı yok

Bir manifold üzerindeki bir hacim formunun, küçük açık kümelerde verilen hacim formu ile Öklid uzayındaki hacim formu arasında ayrım yapmanın mümkün olmadığı anlamında yerel bir yapısı yoktur ( Kobayashi 1972 ). Kendisine, her bir nokta için p olarak M , bir açık mahalle olduğu , U ve p ve Diffeomorfizm cp arasında U açık set üzerine R ⁿ ses seviyesi oluşturacak şekilde U olan geri çekilme ve birlikte cp . ${\displaystyle dx^{1}\kama \cdots \kama dx^{n}}$

Eğer bir sonucu olarak, E ve K hacim formları ile iki manifoldu, her biri , daha sonra herhangi bir nokta için , açık yakın çevre vardır U ve m ve V arasında , n ve bir harita üzerinde bir hacim oluşturacak şekilde N mahalle sınırlı V geri çeker mahalle U ile sınırlı M üzerinde cilt formuna : . ${\displaystyle \omega _{M},\omega _{N}}$${\görüntüleme stili m\in M,n\N}$${\görüntüleme stili f\kolon U\to V}$${\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}}$

Bir boyutta, kişi bunu şu şekilde kanıtlayabilir: üzerinde bir hacim formu verildiğinde , tanımla ${\ Displaystyle \ omega }$${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega .}$

Daha sonra, standart Lebesgue ölçümü çeker geri üzere altında f : . Somut olarak, . Daha yüksek boyutlarda, herhangi bir nokta verildiğinde , yerel olarak homeomorfik bir komşuluğu vardır ve aynı prosedür uygulanabilir. ${\görüntüleme stili dx}$ ${\ Displaystyle \ omega }$${\displaystyle \omega =f^{*}dx}$${\görüntüleme stili \omega =f'\,dx}$${\görüntüleme stili m\M'de}$${\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n-1}}$

Küresel yapı: hacim

Bağlı bir manifold M üzerindeki bir hacim formunun tek bir global değişmezi vardır, yani (toplam) hacim, ile gösterilir ve hacim formu koruma haritaları altında değişmezdir; bu, Lebesgue ölçüsünde olduğu gibi sonsuz olabilir . Bağlantısı kesilmiş bir manifoldda, bağlı her bileşenin hacmi değişmezdir. ${\görüntüleme stili \mu (M)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$

Semboller olarak, eğer geri çeker manifoldu bir homeomorfizma olduğu için , daha sonra ${\displaystyle f\kolon M\to N}$${\ Displaystyle \ omega _{N}}$${\ Displaystyle \ omega _{M}}$

${\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\ omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,}$

ve manifoldlar aynı hacme sahiptir.

Hacim formları aynı zamanda kaplama haritaları altında geri çekilebilir , bu durumda hacmi fiberin kardinalitesi ile çarparlar (resmi olarak, fiber boyunca entegrasyon yoluyla). Sonsuz tabakalı bir kapak (gibi ) durumunda, sonlu bir hacim manifoldu üzerindeki bir hacim formu, bir sonsuz hacim manifoldu üzerindeki bir hacim formuna geri çekilir. ${\displaystyle \mathbf {R} \to S^{1}}$

Ayrıca bakınız

• Silindirik koordinat sistemi § Çizgi ve hacim öğeleri
• Ölçü (matematik)
• Poincare metriği , karmaşık düzlemde hacim formunun bir incelemesini sağlar
• Küresel koordinat sistemi § Küresel koordinatlarda entegrasyon ve türev alma

Referanslar

• Kobayashi, S. (1972), Diferansiyel Geometride Dönüşüm Grupları , Matematikte Klasikler, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC  31374337.
• Spivak, Michael (1965), Manifoldlar Üzerine Hesap , Reading, Massachusetts: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.