Schwarz feneri -Schwarz lantern

Berlin Alman Teknoloji Müzesi'nde sergilenen Schwarz feneri

Matematikte, Schwarz feneri , düz (eğri) bir yüzeyin alanını çokyüzlü alanlarının sınırı olarak tanımlamanın zorluğunun patolojik bir örneği olarak kullanılan bir silindire çokyüzlü bir yaklaşımdır . Bir antiprizma ile aynı desende her bir halka içinde düzenlenmiş ikizkenar üçgenlerin yığılmış halkalarından oluşur . Ortaya çıkan şekil kağıttan katlanabilir ve adını matematikçi Hermann Schwarz'dan ve silindirik bir kağıt fenere benzerliğinden dolayı almıştır . Aynı zamanda Schwarz'ın çizmesi , Schwarz'ın polihedronu olarak da bilinir.veya Çin feneri .

Schwarz'ın gösterdiği gibi, bir polihedronun yüzey alanının eğri bir yüzeyin yüzey alanına yakınsaması için, sadece halka sayısını ve halka başına ikizkenar üçgen sayısını artırmak yeterli değildir. Halka sayısının halka başına düşen üçgen sayısıyla ilişkisine bağlı olarak, fenerin alanı silindirin alanına, silindirin alanından keyfi olarak daha büyük bir sınıra veya sonsuzluğa yakınsayabilir - başka bir deyişle , alan farklılaşabilir. Schwarz feneri, kavisli bir yüzeyi birbirine yakın noktalarla örneklemenin ve bunları küçük üçgenlerle birleştirmenin, yazılı çokgen zincirlerle yay uzunluğunun doğru bir şekilde tahmin edilmesinin aksine, alanın doğru bir şekilde yakınlaştırılmasını sağlamak için yetersiz olduğunu göstermektedir .

Yakından örneklenen noktaların hatalı alan tahminlerine yol açabileceği fenomeni Schwarz paradoksu olarak adlandırılmıştır . Schwarz feneri kalkülüste öğretici bir örnektir ve bilgisayar grafikleri ve sonlu elemanlar yöntemindeki uygulamalar için bir üçgenleme seçerken dikkatli olunması gerektiğini vurgular .

Tarih ve motivasyon

Merdiven paradoksu : Çokgen uzunluklu zincirler, aynı uzunluğa yakınsamadan, bir köşegen uzunluk parçasına mesafede birleşir.

{\görüntüleme stili 2}

{\sqrt {2}}

Arşimet , dairelerin çevresine , yazılı veya çevrelenmiş düzenli çokgenlerin uzunlukları ile yaklaştı . Daha genel olarak, herhangi bir düzgün veya düzeltilebilir eğrinin uzunluğu, içlerinde yazılı çokgen zincirlerin uzunluklarının toplamı olarak tanımlanabilir . Bununla birlikte, bunun doğru çalışması için, çokgen zincirlerin köşeleri, yalnızca yakınında değil, verilen eğri üzerinde olmalıdır. Aksi takdirde, bazen merdiven paradoksu olarak bilinen bir karşı örnekte , toplam uzunluktaki dikey ve yatay çizgi parçalarının çokgen zincirleri, diyagonal bir çizgi parçasına keyfi olarak yakın olabilir, diyagonal parçaya olan mesafede yakınsayabilir, ancak aynı uzunluğa yaklaşmayabilir. Schwarz feneri, uzunluk yerine yüzey alanı için bir karşı örnek sağlar ve alan için, köşelerin yaklaşık yüzey üzerinde uzanmasını gerektiren doğru bir yaklaşım sağlamak için yeterli olmadığını gösterir. ${\görüntüleme stili 2}$ ${\sqrt {2}}$

Hermann Schwarz'ın fotoğrafı .

Alman matematikçi Hermann Schwarz (1843–1921) 19. yüzyılın sonlarında kendi yapısını JA Serret'in 1868 tarihli Cours de calcul Differentiel et integral adlı kitabında yanlış bir şekilde ifade eden hatalı tanıma karşı bir örnek olarak tasarladı:

Soit une kısmı de yüzey courbe terminée par un kontur ; ${\görüntüleme stili C}$ nous nommerons aire de cette yüzey la limite vers laquelle eğilim l'aire d'une yüzey polyedral inscrite formée yüzler üçgenler ve termine par un kontur poligonal ayant dökme limite le kontur . ${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili \Gama }$ ${\görüntüleme stili C}$

Sınırsız var olan ve olmayan her şeyin en bağımsız halidir. ${\görüntüleme stili S}$

Eğri yüzeyin bir kısmının bir konturla sınırlanmasına izin verin ; bu yüzeyin alanını üçgen yüzlerden oluşan ve limiti kontur olan çokgen bir konturla sınırlanan yazılı çokyüzlü bir yüzeyin alanının eğilimi olarak tanımlayacağız . ${\görüntüleme stili C}$ ${\görüntüleme stili S}$ ${\görüntüleme stili \Gama }$ ${\görüntüleme stili C}$

Sınırın var olduğu ve yazılı çokyüzlü yüzeyin yüzlerinin küçüldüğü yasadan bağımsız olduğu gösterilmelidir. ${\görüntüleme stili S}$

Giuseppe Peano , Schwarz'dan bağımsız olarak aynı karşı örneği buldu. O zamanlar Peano, Schwarz ile iletişimden yüzey alanını tanımlamanın zorluğunu zaten bilen Angelo Genocchi'nin öğrencisiydi . Genocchi, dersinde Serret'in yanlış tanımını kullanan Charles Hermite'i bilgilendirdi . Hermite Schwarz'dan ayrıntıları istedi, kursunu gözden geçirdi ve örneği ders notlarının ikinci baskısında (1883) yayınladı. Schwarz'dan Hermite'e orijinal not, 1890'da Schwarz'ın toplu eserlerinin ikinci baskısına kadar yayınlanmadı.

Analizde dikkatli tanımların değerinin öğretici bir örneği olan Schwarz feneri, bilgisayar grafiklerindeki uygulamalar için bir üçgenleme seçiminde ve bilimsel ve mühendislik simülasyonları için sonlu elemanlar yönteminde dikkatli olunması gerektiğini vurgular. Bilgisayar grafiklerinde, sahneler genellikle üçgen yüzeylerle tanımlanır ve bu yüzeylerin aydınlatmasının doğru bir şekilde oluşturulması, yüzey normallerinin yönüne bağlıdır . Schwarz fenerinde olduğu gibi kötü bir üçgenleme seçimi, normalleri yaklaşık yüzeyin normallerinden uzak olan akordeon benzeri bir yüzey üretebilir ve bu yüzeyin yakın aralıklı keskin kıvrımları da örtüşme ile ilgili sorunlara neden olabilir .

Schwarz fenerlerinin silindirin alanına yakınsama başarısızlığı, yalnızca açıları 180°'ye yakın olan oldukça geniş üçgenler içerdiğinde olur. 180°'den uzağa sınırlandırılmış açılar kullanan kısıtlı Schwarz fener sınıflarında, üçgen sayısı sonsuza kadar büyüdükçe alan silindirle aynı alana yakınsar. Sonlu elemanlar yöntemi , en temel biçiminde, bir üçgenleme üzerinde parçalı-doğrusal bir fonksiyon ile düzgün bir fonksiyona (genellikle, bilim veya mühendislikteki bir fiziksel simülasyon probleminin çözümüne) yaklaşır. Schwarz fenerinin örneği, bir silindirin ekseni boyunca bir düzlemin üzerindeki yüksekliği gibi basit fonksiyonlar için ve fonksiyon değerleri nirengi köşelerinde doğru bir şekilde hesaplandığında bile, 180°'ye yakın açılara sahip bir nirenginin yüksek sonuçlar üretebileceğini göstermektedir. hatalı simülasyon sonuçları. Bu, geniş olmayan ağlar gibi tüm açıların 180°'den sınırlandığı ağ oluşturma yöntemlerini motive eder .

İnşaat

Normal bir 17-gon'a dayanan antiprizma. İki 17 köşeli yüzün atlanması, ve parametreleriyle bir Schwarz feneri üretir . Bu antiprizmanın kopyalarını istifleyerek diğer Schwarz fenerleri elde edilebilir .

{\görüntüleme stili m=1}

{\görüntüleme stili n=17}

{\görüntüleme stili n=17}

{\görüntüleme stili m}

Schwarz tarafından ele alınan ayrık çokyüzlü yaklaşım iki parametre ile tanımlanabilir: , Schwarz fenerindeki üçgen halkalarının sayısı; ve , halka başına üçgen sayısının yarısı . Tek bir halka ( ) için ortaya çıkan yüzey , bir düzen karşıtlığının üçgen yüzlerinden oluşur . Daha büyük değerler için , Schwarz feneri bu antiprizmaların istiflenmesiyle oluşturulur . Verilen bir dik dairesel silindire yaklaşan bir Schwarz feneri oluşturmak için , silindir paralel düzlemlerle uyumlu silindirik halkalara bölünür. Bu halkaların dairesel sınırları vardır - verilen silindirin iki ucunda ve daha fazlası dilimlendiği yerde. Her dairede, Schwarz fenerinin köşeleri eşit aralıklarla yerleştirilmiştir ve düzenli bir çokgen oluşturur . Bu çokgenler bir daireden diğerine bir açıyla döndürülür , böylece normal bir çokgenin her kenarı ve bir sonraki dairedeki en yakın tepe noktası bir ikizkenar üçgenin tabanını ve tepesini oluşturur. Bu üçgenler uçtan uca buluşarak topolojik olarak silindire eşdeğer olan çokyüzlü bir yüzey olan Schwarz fenerini oluşturur. ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili m=1}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili m}$ ${\ Displaystyle m+1}$ ${\görüntüleme stili m-1}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili \pi /n}$

ve ile bir Schwarz fener için Origami kırışık deseni

{\görüntüleme stili m=16}

{\görüntüleme stili n=4}

Francesco del Cossa'nın Saint Florian (1473) tablosundan Yoshimura'nın bükülmesini gösteren bir çizme detayı

Üst ve alt köşeleri göz ardı ederek, her bir köşe , aynı şekildeki üçgenlerle düzlemin bir mozaiklenmesinde olduğu gibi, iki eşit ikizkenar üçgenin iki tepe açısına ve dört taban açısına dokunur . Sonuç olarak, Schwarz feneri, kırışık deseni olarak bu mozaik ile düz bir kağıt parçasından katlanabilir . Bu kırışık deseni, Y. Yoshimura'nın , Schwarz fenerine benzer şekilde olabilen, eksenel sıkıştırma altında silindirik yüzeylerin Yoshimura burkulma deseni üzerinde çalışmasından sonra Yoshimura deseni olarak adlandırılmıştır .

Alan

Schwarz fenerinin alanı, herhangi bir silindir ve herhangi bir özel parametre seçimi için ve , basit bir trigonometri uygulamasıyla hesaplanabilir . Yarıçapı ve uzunluğu olan bir silindirin alanı vardır . ve parametreleri olan bir Schwarz feneri için , her bant , ikizkenar üçgenlerle yaklaşık olarak daha kısa bir silindir uzunluğundadır . Her üçgenin tabanının uzunluğu, bir düzenli -gonun kenar uzunluğu formülünden bulunabilir, yani ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili r}$ ${\görüntüleme stili\el }$ $2\pi r\el$ ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili \el /m}$ ${\ Displaystyle 2n}$ ${\görüntüleme stili n}$

2r\sin {\frac {\pi }{n}}.

Her üçgenin yüksekliği ,

{\görüntüleme stili h}

Pisagor teoremi üçgenin tepe noktası, tabanın orta noktası ve tabanın uç noktalarıyla sınırlanan dairenin yayının orta noktası tarafından oluşturulan bir dik üçgene uygulanarak bulunabilir. Bu dik üçgenin iki tarafı , silindirik bandın uzunluğu ve yayın

{\görüntüleme stili \el /m}

sagittasıdır ve formülü verir.

h^{2}=\left({\frac {\ell }{m}}\sağ)^{2}+\left(r\left(1-\cos {\frac {\pi }{) n}}\sağ)\sağ)^{2}.

Taban ve yükseklikten her üçgenin alanı için formülü ve üçgenlerin toplam sayısını birleştirmek, Schwarz fenerine toplam alanı verir.

{\ Displaystyle 2dk}

A(m,n)=2dk\sol(r\sin {\frac {\pi }{n}}\sağ){\sqrt {\sol({\frac {\ell }{m}}}\ sağ)^{2}+r^{2}\left(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\sağ)^{2}}}.

limitler

İki parametresi arasındaki çeşitli ilişkiler için Schwarz-lantern yakınsamasının (veya eksikliğinin) animasyonu

Her iki parametrenin de büyük değerleri için Schwarz fenerleri, yaklaşık oldukları silindire düzgün bir şekilde yakınsar . Bununla birlikte, iki serbest parametre olduğundan ve , Schwarz fenerinin sınırlama alanı, her ikisi de keyfi olarak genişlediğinden, farklı sonuçlarla farklı sıralamalarda değerlendirilebilir. Büyürken sabitlenirse ve sonuçta ortaya çıkan sınır keyfi olarak büyük seçimler için değerlendirilirse , ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili m}$

\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }A(m,n)=2\pi r\ell,

silindir için doğru alan. Bu durumda, iç sınır zaten aynı değere yakınsar ve dış sınır gereksizdir. Geometrik olarak, her silindirik bandı çok keskin ikizkenar üçgenlerden oluşan bir bantla değiştirmek, alanına doğru bir şekilde yaklaşır.

Öte yandan, limitlerin sırasını tersine çevirmek,

\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }A(m,n)=\infty.

Bu durumda, sabit bir seçim için ,

{\görüntüleme stili n}

büyüdükçe ve her silindirik bandın uzunluğu keyfi olarak küçüldükçe, karşılık gelen her ikizkenar üçgen bandı neredeyse düzlemsel hale gelir. Her üçgen, bir düzenli -genin ardışık iki kenarı tarafından oluşturulan üçgene yaklaşır ve tüm üçgenler bandının alanı, bu düzlemsel üçgenlerden birinin, sonlu bir sayının alanına yaklaşır. Ancak, bu bantların sayısı keyfi olarak büyür; fenerin alanı yaklaşık orantılı olarak büyüdüğünden , aynı zamanda keyfi olarak genişler.

{\görüntüleme stili m}

{\görüntüleme stili \el /m}

{\ Displaystyle 2n}

{\ Displaystyle 2n}

{\görüntüleme stili m}

{\görüntüleme stili m}

Ayrıca ve arasında fonksiyonel bir ilişki kurmak ve bu ilişkiyi koruyarak her iki parametre aynı anda büyüdükçe limiti incelemek de mümkündür . Bu ilişkinin farklı seçimleri, yukarıda açıklanan iki davranıştan birine, doğru alana yakınsamaya veya sonsuza sapmaya yol açabilir. Örneğin, ayarlamak (rasgele bir sabit için ) ve büyük için limiti almak, doğru alana yakınsamaya yol açarken, ayarlamak sapmaya yol açar. Üçüncü bir sınırlayıcı davranış türü ayarlanarak elde edilir . Bu seçim için, ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili m=cn}$ ${\görüntüleme stili c}$ ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili m=cn^{3}}$ ${\görüntüleme stili m=cn^{2}}$

\lim _{n\to \infty }A(cn^{2},n)=2\pi r{\sqrt {\ell ^{2}+{\frac {r^{2}\pi ^{4}c^{2}}{4}}}}.

Bu durumda, bu şekilde parametrelenen Schwarz fenerinin alanı yakınsar, ancak silindirin alanından daha büyük bir değere ulaşır. Sabitin uygun bir seçimi yapılarak istenilen herhangi bir geniş alan elde edilebilir .

{\görüntüleme stili c}

Ayrıca bakınız

Kaleidocycle , yozlaşmış bir Schwarz feneri gibi uçtan uca bağlı dört yüzlü bir zincir. ${\görüntüleme stili n=2}$
Runge fenomeni , yakınsama başarısızlığının bir başka örneği

notlar

Referanslar

Dış bağlantılar

Bogomolni, İskender. "Schwarz Fener Açıklaması" . Düğümü kes .
Marx, Jean-Pierre (17 Eylül 2016). "Schwarz Feneri" . Matematik Karşı Örnekleri .

Languages

In other projects