Karşı örnek - Counterexample

Bir karşı örnek , bir genellemenin istisnasıdır . Gelen mantığı bir counterexample genelleme disproves ve yapar titizlikle alanlarında matematik ve felsefe . Örneğin, "John Smith tembel bir öğrenci değildir" gerçeği, "öğrenciler tembeldir" genellemesinin karşı örneğidir ve "tüm öğrenciler tembeldir" genellemesinin hem karşıt örneği hem de aksini kanıtlamaktadır.

Matematikte, "karşı örnek" terimi de (hafif bir suistimal ile) bir teoremin tam hipotezinin gerekliliğini gösteren örneklere atıfta bulunmak için kullanılır. Bu, çoğunlukla, hipotezin bir bölümünün karşılanmadığı ve teoremin sonucunun geçerli olmadığı bir durum düşünülerek yapılır.

Matematikte

Matematikte, karşı örnekler genellikle olası teoremlerin sınırlarını kanıtlamak için kullanılır. Matematik araştırmacıları, belirli varsayımların yanlış olduğunu göstermek için karşı örnekler kullanarak, çıkmaz sokaklara girmekten kaçınabilir ve kanıtlanabilir teoremler üretmek için varsayımları değiştirmeyi öğrenebilir. Bazen matematiksel gelişimin öncelikle teoremleri ve karşı örnekleri bulmaktan (ve kanıtlamaktan) ibaret olduğu söylenir.

Dikdörtgen örneği

Bir matematikçinin geometri ve şekiller üzerinde çalıştığını ve bunlarla ilgili belirli teoremleri kanıtlamak istediğini varsayalım . O söylemektedir "Tüm bu dikdörtgenler olan kareler " ve o bu ifade doğru veya yanlış olup olmadığını bilmeden ilgilenen edilir.

Bu durumda, tümdengelimli akıl yürütmeyi kullanarak ifadenin doğruluğunu kanıtlamaya çalışabilir veya yanlış olduğundan şüpheleniyorsa ifadenin karşı örneğini bulmaya çalışabilir. İkinci durumda, bir karşı örnek, iki kenarı 5 ve iki kenarı 7 olan bir dikdörtgen gibi kare olmayan bir dikdörtgen olabilir. Ancak, kare olmayan dikdörtgenler bulmuş olmasına rağmen, yaptığı tüm dikdörtgenler. bulmak dört tarafı vardı. Daha sonra "Bütün dikdörtgenlerin dört kenarı vardır" yeni varsayımını yapar. Bu, her karenin dört kenarı olduğundan, ancak her dört kenarlı şekil bir kare olmadığından mantıksal olarak orijinal varsayımından daha zayıftır.

Yukarıdaki örnek - basitleştirilmiş bir şekilde - bir matematikçinin karşı örnekler karşısında varsayımını nasıl zayıflatabileceğini açıkladı, ancak karşı örnekler belirli varsayımların ve hipotezlerin gerekliliğini göstermek için de kullanılabilir . Örneğin, bir süre sonra, yukarıdaki matematikçinin "Dikdörtgen olan ve dört kenarı eşit uzunlukta olan tüm şekiller karedir" yeni varsayımına karar verdiğini varsayalım. Bu varsayımın hipotezin iki kısmı vardır: şekil bir "dikdörtgen" olmalı ve "eşit uzunlukta dört kenara" sahip olmalıdır. Matematikçi daha sonra bu varsayımlardan herhangi birini kaldırıp, varsayımının doğruluğunu sürdürüp sürdüremeyeceğini bilmek ister. Bu, aşağıdaki iki ifadenin doğruluğunu kontrol etmesi gerektiği anlamına gelir:

  1. "Dikdörtgen olan tüm şekiller karedir."
  2. "Dört kenarı eşit uzunlukta olan tüm şekiller karedir".

(1)'e karşı bir örnek yukarıda zaten verilmişti ve (2)'ye bir karşı örnek kare olmayan bir eşkenar dörtgendir . Böylece matematikçi artık her iki varsayımın da gerçekten gerekli olduğunu biliyor.

Diğer matematiksel örnekler

Ayrıca bakınız: Topolojide karşı örnekler ve Minimal karşı örnek

Açıklamada "Tüm A counterexample asal sayılar olan tek sayılar " bir asal sayıdır ama bir tek sayı olmadığı için, sayı 2'dir. 7 veya 10 sayılarının hiçbiri karşı örnek değildir, çünkü ikisi de ifadeyle çelişmek için yeterli değildir. Bu örnekte, 2, ifadeyle çelişmek için tek başına yeterli olsa da, aslında ifadenin tek olası karşı örneğidir. Benzer şekilde, "Bütün doğal sayılar ya asaldır ya da bileşiktir " ifadesi, 1 ne asal ne de bileşik olduğundan, karşı örnek olarak 1 sayısına sahiptir.

Euler'in güçler toplamı varsayımı , karşı örnekle çürütüldü. En azından iddia n n inci güçler diğerine toplamak için gerekli olduğunu , n inci güç. Bu varsayım, 1966'da n  = 5'i içeren bir karşı örnekle çürütüldü ; diğer n  = 5 karşı örnek ve bazı n  = 4 karşı örnek artık bilinmektedir .

Witsenhausen'in karşı örneği , ikinci dereceden bir kayıp fonksiyonunun ve durum değişkeninin evriminin doğrusal bir denkleminin doğrusal olan optimal kontrol yasalarını ima ettiğinin ( kontrol problemleri için ) her zaman doğru olmadığını gösterir .

Diğer örnekler arasında disproofs dahil Seifert varsayım , Polya varsayımı , bir varsayım Hilbert'in on dördüncü sorun , Tait spekülasyonlarına ve Ganea varsayım .

felsefede

In felsefesi , Karşı örnekler genellikle belirli bir felsefi konumu, belirli durumlarda geçerli olmadığını göstererek yanlış olduğunu iddia etmek için kullanılır. Alternatif olarak, ilk filozof, karşı örneğin artık geçerli olmaması için iddiasını değiştirebilir; bu, bir matematikçinin bir karşı örnek nedeniyle bir varsayımı değiştirmesine benzer.

Örneğin, Platon 'ın Gorgias , Callicles , bazı insanlar daha güçlü olanlar iyi olduğunu diğerlerinden daha 'iyi', iddialar olduğunu söylemek ne anlama geldiğini tanımlamaya çalışıyor.

Ancak Sokrates , sayılarının gücü nedeniyle, kitleler ilk bakışta daha kötü karakterde olsalar bile, sıradan ayaktakımı sınıfının mülk sahibi soylular sınıfından daha güçlü olduğunu söyler . Böylece Sokrates, Callicles'ın belki de beklemediği bir alana - bireysel kişilerden ziyade insan gruplarına - bakarak Callicles'ın iddiasına bir karşı örnek önerdi.

Callicles, Sokrates'in karşı örneğine meydan okuyabilir, belki de sıradan ayaktakımının gerçekten soylulardan daha iyi olduğunu veya çok sayıda olmalarına rağmen hala daha güçlü olmadıklarını savunabilir. Ancak Callicles karşı örneği kabul ederse, o zaman ya iddiasını geri çekmeli ya da karşı örneğin artık geçerli olmaması için değiştirmeli. Örneğin, iddiasını yalnızca bireysel kişilere atıfta bulunacak şekilde değiştirebilir ve sıradan insanları bir mafyadan ziyade bireylerin bir toplamı olarak düşünmesini isteyebilir.

Olduğu gibi, hiçbir sayısal üstünlüğün insanları daha akıllı yapamayacağını savunarak, "daha güçlü" yerine "daha akıllı" demek için iddiasını değiştirir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar