Ölçek (tanımlayıcı küme teorisi) - Scale (descriptive set theory)

Matematiksel disiplin olarak açıklayıcı küme teorisinin , bir ölçek bir tanımlı nesnenin belirli bir türüdür kümesi içinde noktalarında bazı Polonyalı alanı (örneğin, bir ölçek bir dizi tanımlanabilir gerçek sayılar ). Terazi orijinal olarak teorik olarak bir kavram olarak izole edilmiştir Bir örnekleme , ancak bu tür olası uzunlukları sınırları kurulması gibi uygulamalar ile, açıklayıcı grubu teorisi geniş uygulama bulmuşlardır wellorderings olduğu (bazı varsayımlar altında), belli bir karmaşıklık ve gösteren belirli karmaşıklıkların en büyük sayılabilir kümeleri .

Resmi tanımlama

Bazı ürün uzaylarında bulunan bir A noktası kümesi verildiğinde

${\ displaystyle A \ subseteq X = X_ {0} \ times X_ {1} \ times \ ldots X_ {m-1}}$

Her nerede X _k ya olan Baire uzay veya sayılabilir sonsuz ayrık seti, biz demek norm üzerinde A dan bir haritasıdır A içine sıra sayıları . Her norm, birincinin normunun ikincinin normundan daha az olması durumunda, A'nın bir öğesinin başka bir öğeden önce geldiği ilişkili bir ön- siparişe sahiptir .

Bir ölçek üzerinde A normlarının bir sayılabilir sonsuz koleksiyon

${\ displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n <\ omega}}$

aşağıdaki özelliklere sahip:

Eğer x _i dizisi öyle ise

x _i , her i doğal sayısı için A'nın bir öğesidir ve

x _i , X çarpım uzayında bir x elemanına yakınsar ve

Her bir doğal sayı n, bir sıra λ olduğu _{, n} , örneğin φ olduğu _N ( X _ı ) = λ _n her yeterince büyük için i , daha sonra

x , A'nın bir öğesidir ve

her n için , φ _n (x) ≤λ _n .

Tek başına, en azından seçim aksiyomu verildiğinde, bir nokta kümesinde bir ölçeğin varlığı önemsizdir, çünkü A iyi sıralanabilir ve her φ _n basitçe A'yı numaralandırabilir . Kavramı faydalı kılmak için, normlara (ayrı ayrı ve birlikte) bir tanımlanabilirlik kriteri empoze edilmelidir. Burada "tanımlanabilirlik", tanımlayıcı küme teorisinin olağan anlamında anlaşılmaktadır; mutlak anlamda tanımlanabilir olması gerekmez, daha çok gerçeklerin bazı nokta sınıflarındaki üyeliği gösterir . Normlar j _n kendileri reals setleri değil, karşılık gelen prewellorderings (en azından özde) bulunmaktadır.

Fikir verilen bir pointclass y için, biz de belirli bir noktanın altında prewellorderings istiyoruz, yani A eşit y bir set olarak hem temsil ve "büyük" bir noktaya göre M'nin çift pointclass içinde biri olarak bir varlık olması A öğesi . Resmi olarak biz φ söylemek _n bir formu ile Γ ölçekli A da bir ölçek oluşturur eğer A ve üçlü ilişkiler vardır S ve T gibi ise, bu y bir elemanıdır A , daha sonra

${\ displaystyle \ forall n \ forall x (\ varphi _ {n} (x) \ leq \ varphi _ {n} (y) \ iff S (n, x, y) \ iff T (n, x, y) )}$

burada S , in içindedir ve T , Γ 'nin ikili nokta sınıfındadır (yani, T'nin tümleyicisi Γ içindedir ). Burada, x ∉ A olduğunda φ _n ( x ) 'in ∞ olduğunu düşündüğümüze dikkat edin ; dolayısıyla y ∈ A için φ _n ( x ) ≤φ _n ( y ) koşulu da x ∈ A anlamına gelir .

Tanım yok değil normlarının toplanması M'nin çift pointclass ile M'nin kesiştiği yerde olduğunu ima. Bunun nedeni, üç yönlü eşdeğerliğin, y'nin A'nın bir öğesi olması koşuluna bağlı olmasıdır . İçin y değil A , bir veya iki olduğu bir durum olabilir , S (n, x, y) veya T (n, x, y) bile, beklemeye başarısız X olan A (ve bu nedenle otomatik φ _N ( x ) ≤φ _n ( y ) = ∞).

Başvurular

Özelliği ölçeklendir

Ölçek özelliği, ön sipariş özelliğinin güçlendirilmesidir . Belirli bir biçime sahip nokta sınıfları için, verilen nokta sınıfındaki ilişkilerin aynı zamanda nokta sınıfında da olan bir tek biçimlendirmeye sahip olduğu anlamına gelir .

Periyodiklik

Notlar

Referanslar

• Moschovakis, Yiannis N. (1980), Tanımlayıcı Küme Teorisi , Kuzey Hollanda, ISBN   0-444-70199-0
• Kechris, Alexander S .; Moschovakis, Yiannis N. (2008), "Ölçek teorisi üzerine notlar", Kechris, Alexander S .; Benedikt Löwe ; Steel, John R. (editörler), Games, Scales and Suslin Cardinals: The Cabal Seminar, Cilt I , Cambridge University Press, s. 28–74, ISBN   978-0-521-89951-2