Simetrik grubun temsil teorisi - Representation theory of the symmetric group

Gelen matematik , simetrik grubun temsil teorisi özel bir durumu olan sonlu grupların temsil teorisi somut ve ayrıntılı teori elde edilebileceği için,. Bu, simetrik fonksiyon teorisinden bir dizi özdeş parçacık için kuantum mekaniği problemlerine kadar geniş bir potansiyel uygulama alanına sahiptir .

Simetrik grup S _n düzeni vardır n !. Onun eşlenik sınıfları tarafından etiketlenen bölümleri arasında n . Bu nedenle, sonlu bir grubun temsil teorisine göre , karmaşık sayılar üzerinden eşdeğer olmayan indirgenemez temsillerin sayısı, n'nin bölüm sayısına eşittir . Sonlu gruplar için genel durumun aksine, aslında, yani arasında bölmeler ile, eşlenik sınıfları parametrize aynı dizi indirgenemez temsillerini parametrize doğal yol vardır , n eşit ya da küçük diyagramları boyutta n .

Bu tür indirgenemez temsillerin her biri aslında tamsayılar üzerinde gerçekleştirilebilir (tamsayı katsayıları olan bir matris tarafından hareket eden her permütasyon); Young diyagramı tarafından verilen Young tabloları tarafından oluşturulan bir uzaya etki eden Young simetriklerinin hesaplanmasıyla açıkça oluşturulabilir . Young diyagramına karşılık gelen gösterimin boyutu , kanca uzunluğu formülü ile verilmektedir . ${\displaystyle d_{\lambda }}$${\ Displaystyle \ lambda }$

Her indirgenemez temsile ρ indirgenemez bir karakter bağlayabiliriz, χ ^ρ . π'nin bir permütasyon olduğu χ ^ρ (π) hesaplamak için, Murnaghan-Nakayama kombinatoryal kuralı kullanılabilir . Not χ bu ^ρ olan eşlenik sınıfları üzerinde sürekli olduğu, χ ^ρ (π) = χ ^ρ (σ ^-1 πσ) Tüm permütasyonlar σ için.

Diğer alanlarda durum çok daha karmaşık hale gelebilir. Eğer alan K sahip karakteristik sıfıra eşit veya daha büyüktür , n o sırada Maschke Teorem bu cebri grubu K S _{, n} yarı basit olup. Bu durumlarda, tamsayılar üzerinde tanımlanan indirgenemez temsiller, indirgenemez temsillerin tam setini verir (gerekirse karakteristik indirgeme modülünden sonra).

Bununla birlikte, simetrik grubun indirgenemez temsilleri keyfi karakteristikte bilinmemektedir. Bu bağlamda, temsillerden ziyade modüllerin dilini kullanmak daha olağandır . Karakteristiğin modulo indirgenmesiyle tamsayılar üzerinden tanımlanan indirgenemez bir gösterimden elde edilen gösterim genel olarak indirgenemez olmayacaktır. Bu şekilde oluşturulan modüllere Specht modülleri denir ve her indirgenemez bu tür bir modülün içinde ortaya çıkar. Artık daha az indirgenemez var ve sınıflandırılabilmelerine rağmen çok az anlaşılmış durumdalar. Örneğin boyutları bile genel olarak bilinmemektedir.

Rasgele bir alan üzerinde simetrik grup için indirgenemez modüllerin belirlenmesi, temsil teorisindeki en önemli açık problemlerden biri olarak kabul edilir.

Düşük boyutlu temsiller

simetrik gruplar

Simetrik grupların en düşük boyutlu temsilleri, ( Burnside 1955 , s. 468)' de yapıldığı gibi açıkça tanımlanabilir . Bu çalışma ( Rasala 1977 )' de en küçük k derecesine (açıkça k =4 ve k =7 için ) ve ( James 1983 )'de rastgele alanlara genişletildi . Karakteristik sıfırdaki en küçük iki derece burada açıklanmıştır:

Her simetrik grup, her öğenin birer birer kimlik matrisi gibi davrandığı önemsiz temsil adı verilen tek boyutlu bir temsile sahiptir . İçin n ≥ 2 olarak adlandırılan derecesi 1 bir başka indirgenemez temsil vardır işaret gösterimi veya alternatif karakter göre giriş ± 1 olan bir matris tarafından birine bir permütasyon alır permütasyon işareti . Tek boyutlu temsilleri değişmeli olarak bu, simetrik gruplarından sadece bir boyutlu temsilleri, ve abelianization simetrik grubun C ₂ , siklik grup 2 seviyesinde.

Tüm n için , n'nin simetrik grubunun n -boyutlu bir temsili vardır ! , aradı nkoordinatın izinverilmesinden oluşan doğal permütasyon gösterimi . Bu, koordinatları eşit olan vektörlerden oluşan önemsiz bir alt temsile sahiptir. Ortogonal tamamlayıcı, koordinatları toplamı sıfır olan vektörlerden oluşur ve n ≥ 2olduğunda, bu altuzaydaki gösterim,standart gösterim olarakadlandırılanbir( n - 1)boyutlu indirgenemezgösterimdir. Başka bir( n − 1)boyutlu indirgenemez temsil, işaret gösterimi ile gerdirilerek bulunur. Standart temsilinbirdış gücü sağlanan indirgenemezdir(Fulton & Harris 2004). ${\ Displaystyle \ Lambda ^{k}V}$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle 0\leq k\leq n-1}$

İçin n ≥ 7 , bu en düşük boyutlu indirgenemez S temsilleridir _n diğer indirgenemez temsilleri en az boyuta sahip - n . Ancak için n = 4 , S örten ₄ S ₃ S sağlar ₄ iki boyutlu bir indirgenemez temsil miras. İçin n = 6 , S gömme olağanüstü geçişli ₅ S içine ₆ beş boyutlu indirgenemez temsilleri başka bir çift üretir.

indirgenemez temsili ${\displaystyle S_{n}}$	Boyut	Boyut genç diyagramı${\görüntüleme stili n}$
önemsiz temsil	${\görüntüleme stili 1}$	${\görüntüleme stili (n)}$
İşaret temsili	${\görüntüleme stili 1}$	${\görüntüleme stili (1^{n})=(1,1,\noktalar,1)}$
Standart temsil ${\görüntüleme stili V}$	${\görüntüleme stili n-1}$	${\görüntüleme stili (n-1,1)}$
Dış güç ${\ Displaystyle \ Lambda ^{k}V}$	${\displaystyle {\binom {n-1}{k}}}$	${\görüntüleme stili (nk,1^{k})}$

Alternatif gruplar

Beş tetrahedra bileşiği , burada A ₅ , 3-boyutlu bir temsilini veren hareket eder.

İşaret temsili ortadan kalksa da, alternatif grupların temsil teorisi benzerdir. İçin n ≥ 7 , düşük boyutlu indirgenemez temsilleri boyutu birinde önemsiz temsilidir ve ( n - 1) daha yüksek bir boyuta sahip tüm diğer indirgenemeyen gösterimler ile permütasyon temsilin toplam kısmı, gelen boyutlu temsili fakat orada küçük n için istisnalar .

n ≥ 5 için alternatif gruplar sadece bir tek boyutlu indirgenemez temsile, önemsiz gösterime sahiptir. İçin n = 3, 4 : amacıyla 3 siklik grubu haritalarına karşılık gelen iki ek tek boyutlu indirgenemez temsilleri, orada bir ₃ ≅ Cı ₃ ve bir ₄ → bir ₄ / V ≅ Cı ₃ .

• For n 7'den ≥ orada derece sadece bir indirgenemez temsilidir n - 1 ve bu önemsiz olmayan bir indirgenemez temsilinin en küçük derecesidir.
• İçin n = 3 ve belirgin bir analog ( n - 1) boyutlu temsili indirgenebilir - normal temsiliyle permütasyon temsil çakışmaktadır ve bu nedenle de, üç tek boyutlu temsilleri içine kırılır bir ₃ ≅ C ₃ değişmeli olduğu; bkz ayrık Fourier dönüşümü siklik grupları temsil teorisine.
• İçin n = 4 , sadece bir tane N - 1 indirgenemez temsil ancak boyut 1 olağanüstü indirgenemez temsilleri vardır.
• İçin n = 5 , olarak harekete karşılık gelen bir boyut 3 iki çift indirgenemez temsilleri vardır ikosahedral simetri .
• İçin n = 6 , katıştırma olağanüstü geçişli tekabül eden boyutta 5 ekstra indirgenemez temsil olduğu A ₅ içinde  A ₆ .

Temsillerin tensör ürünleri

Kronecker katsayıları

Tensör ürün iki temsilleri Genç diyagramları tekabül indirgenemez temsilleri bir kombinasyonudur , ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \lambda ,\mu }$${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }\cong \sum _{\nu }C_{\lambda ,\mu ,\nu }V_{\nu }}$

Katsayılara simetrik grubun Kronecker katsayıları denir . Temsillerin karakterlerinden hesaplanabilirler ( Fulton & Harris 2004 ): ${\displaystyle C_{\lambda \mu \nu }\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\rho }{\frac {1}{z_{\rho }}}\chi _{\lambda }(C_{\rho }) \chi _{\mu }(C_{\rho })\chi _{\nu }(C_{\rho })}$

Toplam bölüm üzerinde bir ile ilgili eşlenik sınıfları. Karakterlerin değerleri Frobenius formülü kullanılarak hesaplanabilir . katsayıları şunlardır ${\görüntüleme stili \rho }$${\görüntüleme stili n}$${\ Displaystyle C_{\rho }}$${\displaystyle \chi _{\lambda }(C_{\rho })}$${\displaystyle z_{\rho }}$

${\displaystyle z_{\rho }=\prod _{j=0}^{n}j^{i_{j}}i_{j}!={\frac {n!}{|C_{\rho }| }}}$

burada kaç kez görünür , yani . ${\görüntüleme stili i_{j}}$${\görüntüleme stili j}$${\görüntüleme stili \rho }$${\displaystyle \sum i_{j}j=n}$

Young diyagramları cinsinden yazılmış birkaç örnek ( Hamermesh 1989 ):

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-1,1)\cong (n)+(n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1) }$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,2){\underset {n>4}{\cong }}(n-1,1)+(n-2,2)+(n -2,1,1)+(n-3,3)+(n-3,2,1)}$

${\displaystyle (n-1,1)\otimes (n-2,1,1)\cong (n-1,1)+(n-2,2)+(n-2,1,1)+( n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)}$

${\displaystyle {\begin{hizalı}(n-2,2)\otimes (n-2,2)\cong &(n)+(n-1,1)+2(n-2,2)+( n-2,1,1)+(n-3,3)\\&+2(n-3,2,1)+(n-3,1,1,1)+(n-4,4) +(n-4,3,1)+(n-4,2,2)\end{hizalı}}}$

Herhangi bir Young diyagramı için hesaplama yapmak için basit bir kural vardır ( Hamermesh 1989 ): sonuç, katsayıları kendisi dışında bir olan ve katsayıları bir olan bir kutunun çıkarılması ve ardından bir kutu eklenmesiyle elde edilen tüm Young diyagramlarının toplamıdır. olan , yani, farklı sıra uzunlukları eksi bir sayısı. ${\displaystyle (n-1,1)\otimes \lambda }$${\ Displaystyle \ lambda }$${\ Displaystyle \ lambda }$${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle \#\{\lambda _{i}\}-1}$

is'in indirgenemez bileşenleri üzerinde bir kısıtlama ( James & Kerber 1981 ) ${\displaystyle V_{\lambda }\otimes V_{\mu }}$

${\displaystyle C_{\lambda ,\mu ,\nu }>0\ima eder |d_{\lambda }-d_{\mu }|\leq d_{\nu }\leq d_{\lambda }+d_{\mu }}$

burada bir Young diyagramının derinliği , ilk satıra ait olmayan kutuların sayısıdır. ${\displaystyle d_{\lambda }=n-\lambda _{1}}$

Azaltılmış Kronecker katsayıları

İçin ve Young diyagramı , boyutta bir küçük diyagramıdır . O zaman sınırlı, azalmayan bir fonksiyondur ve ${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle n\geq \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda [n]=(n-|\lambda |,\lambda )}$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$${\görüntüleme stili n}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\lim _{n\to \infty }C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n ]}}$

denen düşük Kronecker'in katsayısı veya stabil Kronecker'in katsayısı . Sınırına ulaştığı yerin değeri konusunda bilinen sınırlar vardır . İndirgenmiş Kronecker katsayıları, ile ile temsil edilen Deligne kategorilerinin yapı sabitleridir . ${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle C_{\lambda [n],\mu [n],\nu [n]}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {C} -\mathbb {N} }$

Kronecker katsayılarının aksine, azaltılmış Kronecker katsayıları, aynı boyutta olması gerekmeyen herhangi bir Young diyagramı üçlüsü için tanımlanır. Eğer , o zaman Littlewood-Richardson katsayısı ile çakışır . İndirgenmiş Kronecker katsayıları, simetrik fonksiyonların uzayında tabanların değişmesi yoluyla Littlewood-Richardson katsayılarının lineer kombinasyonları olarak yazılabilir, bu da açıkça pozitif olmasa da açıkça integral olan ifadelere yol açar. İndirgenmiş Kronecker katsayıları, Littlewood formülü ile Kronecker ve Littlewood-Richardson katsayıları cinsinden de yazılabilir.${\displaystyle |\nu |=|\lambda |+|\mu |}$${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }}$ ${\displaystyle c_{\lambda ,\mu }^{\nu }}$${\displaystyle c_{\alpha \beta \gamma }^{\lambda }}$

${\displaystyle {\bar {C}}_{\lambda ,\mu ,\nu }=\sum _{\lambda ',\mu ',\nu ',\alpha ,\beta ,\gamma }C_{\ lambda ',\mu ',\nu '}c_{\lambda '\beta \gamma }^{\lambda }c_{\mu '\alpha \gamma }^{\mu }c_{\nu '\alpha \beta }^{\nu }}$

Tersine, Kronecker katsayılarını, indirgenmiş Kronecker katsayılarının doğrusal kombinasyonları olarak elde etmek mümkündür.

İndirgenmiş Kronecker katsayıları, SageMath bilgisayar cebir sisteminde uygulanmaktadır .

Ayrıca bakınız

• alternatif polinomlar
• simetrik polinomlar
• Schur işlevi
• Robinson-Schensted yazışmaları
• Schur-Weyl ikiliği
• Jucys-Murphy öğesi

Notlar

Referanslar

• Burnside, William (1955), Sonlu düzen grupları teorisi , New York: Dover Publications , MR  0069818
• Fulton, William; Harris, Joe (2004). "Temsil Teorisi". Matematikte Lisansüstü Metinler . New York, NY: Springer New York. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN'si 978-3-540-00539-1. ISSN  0072-5285 .
• Hamermesh, M (1989). Grup teorisi ve fiziksel problemlere uygulanması . New York: Dover Yayınları. ISBN'si 0-486-66181-4. OCLC  20218471 .
• James, Gordon; Kerber, Adalbert (1981), Simetrik grubun temsil teorisi, Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları, 16 , Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass., ISBN 978-0-201-13515-2, MR  0644144
• James, GD (1983), "Simetrik grupların indirgenemez temsillerinin minimal boyutlarında", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 94 (3): 417–424, Bibcode : 1983MPCPS..94..417J , doi : 10.1017 /S0305004100000803 , ISSN  0305-0041 , MR  0720791
• Rasala, Richard (1977), "Sn'nin minimum karakter dereceleri üzerine", Journal of Algebra , 45 (1): 132–181, doi : 10.1016/0021-8693(77)90366-0 , ISSN  0021-8693 , MR  0427445