Sıralama-sıralama - Rank-into-rank

Gelen grubu teori , bir dalı matematik , bir seviye-içine-rank gömme a, büyük ana özelliği aşağıdaki dört biri ile tanımlanır aksiyomların tutarlılık mukavemetini artırmak amacıyla verilmiştir. (Bir sıra < λ kümesi , von Neumann hiyerarşisinin V λ kümesinin öğelerinden biridir .)

  • Aksiyom I3: V λ'nın kendi içine önemsiz olmayan bir temel katıştırması vardır .
  • Aksiyom I2: V λ'yı içeren geçişli bir M sınıfına V'nin önemsiz olmayan bir temel katıştırması vardır; burada λ, kritik noktanın üzerindeki ilk sabit noktadır .
  • Aksiyom I1: V λ+1'in kendi içine önemsiz olmayan bir temel katıştırması vardır .
  • Aksiyom I0: Kritik noktası λ'nın altında olan L(V λ+1 )'in kendi içine önemsiz olmayan bir temel yerleştirmesi vardır .

Bunlar esasen, ZFC'de tutarsız olduğu bilinmeyen, bilinen en güçlü büyük ana aksiyomlardır ; Reinhardt kardinalleri için aksiyom daha güçlüdür, ancak seçim aksiyomu ile tutarlı değildir .

Eğer j, bu aksiyomlardan birinde bahsedilen temel gömme ise ve κ onun kritik noktası ise, n, ω'ye giderken λ limitidir . Eğer Daha genel olarak, bir seçim aksiyomu tutar, V aşikar olmayan temel gömme varsa bu kanıtlanabilir olan a kendi içine daha sonra α ya bir sınır sıra bir cofinality co veya bir sıralı halefi.

I0, I1, I2 ve I3 aksiyomlarının ilk başta tutarsız olduklarından şüphelenildi ( ZFC'de) , Kunen'in Reinhardt kardinallerinin seçim aksiyomu ile tutarsız olduğu tutarsızlık teoreminin onlara genişletilebileceği düşünüldü, ancak bu mümkün olmadı. yine de oldu ve şimdi genellikle tutarlı olduklarına inanılıyor.

Her I0 kardinal κ (burada j'nin kritik noktasından bahsediliyor ) bir I1 kardinaldir.

Her I1 kardinal κ (bazen ω-dev kardinaller olarak adlandırılır) bir I2 kardinaldir ve altında sabit bir I2 kardinal kümesine sahiptir.

Her I2 kardinal κ bir I3 kardinaldir ve altında sabit bir I3 kardinali vardır.

Başka I3 kardinal vardır κ Her I3 kardinal yukarıda bir o ve bir n - büyük kardinal her için n <w.

Aksiyom I1, V λ+1'in (eşdeğer olarak, H(λ + )) V=HOD'u sağlamadığını ima eder . V λ+1'de tanımlanabilen bir S coλ kümesi yoktur (V λ parametrelerinden ve <λ + ' dan bile ), λ ve |S|<λ'da S eş sonlu, yani λ'nın tekil olduğuna dair böyle bir S tanık yoktur. Ve benzer şekilde aksiyomu I0 ve L sıra tanımlanabilirlik (V λ + 1 (V bile parametrelerinden) X ). Ancak global olarak ve hatta V λ ' da bile V=HOD, Aksiyom I1 ile nispeten tutarlıdır.

I0'ın bazen bir "Icarus seti" eklenerek daha da güçlendirildiğine dikkat edin.

  • Aksiyom Icarus kümesi: L(V λ+1 , Icarus)'un kritik noktası λ'nın altında olacak şekilde kendi içine önemsiz olmayan bir temel yerleştirmesi vardır .

Icarus kümesi V λ+2 − L(V λ+1 ) içinde olmalıdır, ancak tutarsızlık yaratmamak için seçilmelidir. Örneğin, V λ+1'in iyi sıralanmasını kodlayamaz . Daha fazla ayrıntı için Dimonte'nin 10. bölümüne bakın.

Notlar

Referanslar

  • Dimonte, Vincenzo (2017), "I0 ve sıraya göre aksiyomlar", arXiv : 1707.02613 [ matematik.LO ].
  • Gaifman, Haim (1974), "Küme teorisi ve bazı alt teorilerin modellerinin temel yerleştirmeleri", Aksiyomatik küme teorisi , Proc. Sempozyum. Pure Math., XIII, Part II, Providence RI: Amer. Matematik. Soc., s. 33–101, MR  0376347
  • Kanamori, Akihiro (2003), Yüksek Sonsuz: Başlangıçlarından Küme Teorisinde Büyük Kardinaller (2. baskı), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
  • Laver, Richard (1997), "Güçlü büyük kardinal aksiyomlar arasındaki çıkarımlar", Ann. Saf Uygulama Mantık , 90 (1–3): 79–90 , doi : 10.1016/S0168-0072(97)00031-6 , MR  1489305.
  • Solovay, Robert M. ; Reinhardt, William N. ; Kanamori, Akihiro (1978), "Güçlü sonsuzluk aksiyomları ve temel yerleştirmeler", Annals of Mathematical Logic , 13 (1): 73–116, doi : 10.1016/0003-4843(78)90031-1.