Açık haritalama teoremi (karmaşık analiz) - Open mapping theorem (complex analysis)

Olarak karmaşık analiz , açık dönüşüm teoremi halinde bildiren u a, alan ve kompleks düzlem C ve f  : U → Cı olmayan bir sabittir holomorfik fonksiyonu daha sonra, f bir olduğunu açık bir harita (yani açık alt kümelerini gönderir U açık için C alt kümeleri ve etki alanı değişmezliğine sahibiz .).

Açık haritalama teoremi, holomorf ve gerçek türevlenebilirlik arasındaki keskin farka işaret ediyor. Üzerinde gerçek hattı , örneğin, türevlenebilir fonksiyonu f ( x ) = x 2 görüntü olarak, açık bir haritası değildir açık aralığı (-1, 1) yarı açık aralığı [0, 1) 'dir.

Örneğin teoremi bir sabit olmayan anlamına gelir holomorfik işlev açık diski eşleyemezsiniz üzerine kompleks düzlemde gömülü bir hattın bir bölümü. Holomorfik fonksiyonların görüntüleri sıfır gerçek boyutta (sabitse) veya iki (sabit değilse) olabilir, ancak hiçbir zaman 1. boyutta olabilir.

Kanıt

Siyah noktalar g ( z ) 'nin sıfırlarını temsil eder . Siyah halkalar kutupları temsil eder. Açık U kümesinin sınırı kesikli çizgi ile verilmiştir. Tüm kutupların açık setin dışında olduğuna dikkat edin. Daha küçük kırmızı disk B'dir ve z 0'da ortalanır .

F  : U → C'nin sabit olmayan bir holomorfik fonksiyon olduğunu ve U'nun karmaşık düzlemin bir alanı olduğunu varsayalım . Her göstermek zorunda noktası içinde f ( U ) bir olan iç nokta arasında f ( U ), yani her nokta, f ( U da olduğu) bir mahalle (açık diski) sahip f ( U ).

Rasgele bir göz önünde w 0 olarak f ( U ). Daha sonra bir nokta da mevcuttur z 0 içinde U , öyle ki W 0 = f ( z 0 ). Yana U açıktır bulabilecegimizin d , kapalı bir disk 0 olacağı şekilde> B çevresinde z 0 yarıçapı ile d tamamen içerdiği U . G ( z ) = f ( z ) - w 0 fonksiyonunu düşünün . Not bu z 0 a, kök fonksiyonunun.

G ( z ) 'nin sabit ve holomorfik olmadığını biliyoruz . Kökleri g izole edilir kimlik teoremi ve ayrıca görüntü disket yarıçapını azaltarak d , bunu temin edilebilir g ( z ) 'de, sadece tek bir köke sahiptir B (bu tek kök 1'den çokluğu daha büyük olsa da) .

Sınırı B bir daire ve dolayısıyla bir olan kompakt kümesi üzerinde | g ( z ) | pozitif bir sürekli fonksiyondur , bu nedenle uç değer teoremi , pozitif minimum e'nin varlığını garanti eder , yani e , minimum | g ( z ) | için z sınırına B ve e > 0.

D ile w 0 etrafındaki açık diski e yarıçapı ile belirtin . Tarafından Rouche teoremi , fonksiyon g ( Z ) = f ( Z -) ağırlık 0 aynı içinde (çok sayıda ile sayılır) köklerin numarası olacaktır B olarak h ( z =:) f ( Z -) w 1 herhangi w 1 içinde D . Bunun nedeni, h ( z ) = g ( z ) + ( w 0 - w 1 ) ve B sınırındaki z için , | g ( z ) | ≥ e > | w 0 - w 1 |. Bu durumda, her için ağırlık , 1 içinde D , en azından bir vardır z 1 de B bu tür f ( Z 1 ) = w 1 . Bu, D diskinin f ( B ) içinde bulunduğu anlamına gelir .

B topunun görüntüsü , f ( B ) U , f ( U ) görüntüsünün bir alt kümesidir . Böylece w 0 , f ( U ) 'nun bir iç noktasıdır . Yana ağırlık 0 keyfi olarak f ( u ) bildiğimiz f ( U ) açıktır. Yana U keyfi olduğu, fonksiyon f açıktır.

Başvurular

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Rudin, Walter (1966), Gerçek ve Karmaşık Analiz , McGraw-Hill, ISBN   0-07-054234-1