Merkezi olmayan ki-kare dağılımı - Noncentral chi-squared distribution

merkezi olmayan ki-kare

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu
parametreler	${\görüntüleme stili k>0\,}$ özgürlük derecesi ${\displaystyle \lambda >0\,}$ merkezi olmayan parametre
Destek	${\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda }}\sağ)^{k/4-1/ 2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$
CDF	${\displaystyle 1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\sağ)}$ile Marcum S-fonksiyon ${\ Displaystyle Q_{M}(a,b)}$
Anlamına gelmek	${\displaystyle k+\lambda\,}$
Varyans	${\ Displaystyle 2(k+2\lambda )\,}$
çarpıklık	${\displaystyle {\frac {2^{3/2}(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{3/2}}}}$
Eski. Basıklık	${\displaystyle {\frac {12(k+4\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}}$
MGF	${\displaystyle {\frac {\exp \left({\frac {\lambda t}{1-2t}}\sağ)}{(1-2t)^{k/2}}}{\text{ for } }2t<1}$
CF	${\displaystyle {\frac {\exp \sol({\frac {i\lambda t}{1-2it}}\sağ)}{(1-2it)^{k/2}}}}$

Gelen olasılık teorisi ve istatistik , konsolide bütçe dışında kalan ki-kare dağılımı (veya konsolide bütçe dışında kalan ki-kare dağılımı, konsolide bütçe dışında kalan dağılım${\displaystyle \chi ^{2}}$ ) bir olan konsolide bütçe dışında kalan genelleme içinde ki-kare dağılımı . Genellikle , boş dağılımın (belki asimptotik olarak) bir ki-kare dağılımı olduğu istatistiksel testlerin güç analizinde ortaya çıkar ; Bu tür testlerin önemli örnekleri olabilirlik-oran testleridir .

Arka plan

Izin olmak k bağımsız olarak , normal dağılım aracı ile rastgele değişkenler ve birim sapma. Daha sonra rastgele değişken ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i},\ldots ,X_{k})}$ ${\görüntüleme stili \mu _{i}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}X_{i}^{2}}$

merkezi olmayan ki-kare dağılımına göre dağıtılır. İki parametresi vardır: serbestlik derecesi sayısını (yani sayısını ) belirten ve rastgele değişkenlerin ortalaması ile ilgili olan : ${\görüntüleme stili k}$${\displaystyle X_{i}}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}^{2}.}$

${\ Displaystyle \ lambda }$bazen merkezi olmayan parametre olarak adlandırılır . Bazı referansların , yukarıdaki toplamın yarısı veya karekökü gibi başka şekillerde tanımlandığını unutmayın . ${\ Displaystyle \ lambda }$

Bu dağılım, çok değişkenli istatistiklerde çok değişkenli normal dağılımın bir türevi olarak ortaya çıkar . Merkezi da ki-kare dağıtım kare olan bir norm a rasgele vektör ile dağıtım (yani, o dağılımdan rasgele alınmış bir noktaya kökenli kare uzaklık), merkezi olmayan rasgele vektörün kare norm ile dağıtım. Burada uzunluğu sıfır vektörüdür k , ve bir birim matris boyutu k . ${\displaystyle N(0_{k},I_{k})}$${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle N(\mu ,I_{k})}$${\ Displaystyle 0_{k}}$${\displaystyle \mu =(\mu _{1},\ldots ,\mu _{k})}$${\ Displaystyle I_{k}}$

Tanım

Olasılık yoğunluk fonksiyonu (pdf) ile verilir

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda /2}(\lambda/2)^{ i}}{i!}}f_{Y_{k+2i}}(x),}$

burada serbestlik dereceli ki-kare olarak dağıtılır . ${\görüntüleme stili Y_{q}}$${\görüntüleme stili q}$

Bu gösterimden, merkezi olmayan ki-kare dağılımının, merkezi ki-kare dağılımlarının Poisson ağırlıklı bir karışımı olduğu görülmektedir . Rastgele değişken olduğunu varsayalım J bir sahiptir Poisson dağılımına ortalama ile , ve koşullu dağılımı ve Z verilen J  =  I ki-kare ile k  + 2 i serbestlik derecesi. O zaman Z'nin koşulsuz dağılımı , k serbestlik derecesi ve merkezi olmayan parametre ile merkezi olmayan ki-karedir . ${\displaystyle \lambda/2}$${\ Displaystyle \ lambda }$

Alternatif olarak, pdf şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={\frac {1}{2}}e^{-(x+\lambda )/2}\left({\frac {x}{\lambda) }}\sağ)^{k/4-1/2}I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}})}$

tarafından verilen birinci türden değiştirilmiş bir Bessel işlevi nerede${\ Displaystyle I_{\nu }(y)}$

${\displaystyle I_{\nu }(y)=(y/2)^{\nu }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{ j}}{j!\Gama (\nu +j+1)}}.}$

Bessel fonksiyonları ve hipergeometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi kullanarak, pdf şu şekilde de yazılabilir:

${\displaystyle f_{X}(x;k,\lambda )={{\rm {e}}^{-\lambda /2}}_{0}F_{1}(;k/2;\lambda x /4){\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}{\rm {e}}^{-x/2}x^{k/2-1}. }$

Siegel (1979), k  = 0 durumunu spesifik olarak tartışır ( sıfır serbestlik derecesi ), bu durumda dağılımın sıfırda ayrı bir bileşeni vardır.

Özellikler

Moment üreten fonksiyon

Moment-üreten fonksiyon ile verilir

${\displaystyle M(t;k,\lambda )={\frac {\exp \sol({\frac {\lambda t}{1-2t}}\sağ)}{(1-2t)^{k/ 2}}}.}$

anlar

İlk birkaç ham an :

${\displaystyle \mu '_{1}=k+\lambda }$

${\displaystyle \mu '_{2}=(k+\lambda )^{2}+2(k+2\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{3}=(k+\lambda )^{3}+6(k+\lambda )(k+2\lambda )+8(k+3\lambda )}$

${\displaystyle \mu '_{4}=(k+\lambda )^{4}+12(k+\lambda )^{2}(k+2\lambda )+4(11k^{2}+44k\lambda +36\lambda ^{2})+48(k+4\lambda )}$

İlk birkaç merkezi an :

${\displaystyle \mu _{2}=2(k+2\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=8(k+3\lambda )\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=12(k+2\lambda )^{2}+48(k+4\lambda )\,}$

N inci kümülant olan

${\displaystyle K_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda ).\,}$

Buradan

${\displaystyle \mu '_{n}=2^{n-1}(n-1)!(k+n\lambda )+\sum _{j=1}^{n-1}{\frac { (n-1)!2^{j-1}}{(nj)!}}(k+j\lambda )\mu '_{nj}.}$

Kümülatif dağılım fonksiyonu

Yine merkezi ve merkezi olmayan ki-kare dağılımları arasındaki ilişki kullanılarak kümülatif dağılım fonksiyonu (cdf) şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=e^{-\lambda/2}\;\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda/2)^{j }}{j!}}Q(x;k+2j)}$

nerede merkezi ki-kare dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonu olan k verilir serbestlik derecesine ${\görüntüleme stili Q(x;k)\,}$

${\displaystyle Q(x;k)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}$

ve burada bir alt tamamlanmamış gama fonksiyonu .${\görüntüleme stili \gama (k,z)\,}$

Marcum S fonksiyonlu da CDF temsil etmek için kullanılabilir. ${\ Displaystyle Q_{M}(a,b)}$

${\displaystyle P(x;k,\lambda )=1-Q_{\frac {k}{2}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\sağ)}$

Yaklaşım (kuantiller dahil)

Abdel-Aty, merkezi olmayan bir Wilson-Hilferty yaklaşımı ("ilk yaklaşık" olarak) türetir:

${\displaystyle \left({\frac {\chi '^{2}}{k+\lambda }}\sağ)^{\frac {1}{3}}}$yaklaşık olarak normal dağılır , yani ${\displaystyle \sim {\mathcal {N}}\left(1-{\frac {2}{9f}},{\frac {2}{9f}}\sağ),}$

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\yaklaşık \Phi \sol\{{\frac {\sol({\frac {x}{k+\lambda }}\sağ)^{1/3}-\ sol(1-{\frac {2}{9f}}\sağ)}{\sqrt {\frac {2}{9f}}}}\sağ\},{\text{nerede }}\ f:={ \frac {(k+\lambda )^{2}}{k+2\lambda }}=k+{\frac {\lambda ^{2}}{k+2\lambda }},}$

ki bu oldukça doğru ve merkezsizliğe iyi uyum sağlıyor. Ayrıca, olur için , (merkezi) ki-kare durumda. ${\displaystyle f=f(k,\lambda )}$${\görüntüleme stili f=k}$${\displaystyle \lambda =0}$

Sankaran , kümülatif dağılım fonksiyonu için bir dizi kapalı form yaklaşımını tartışıyor . Daha önceki bir makalede, aşağıdaki yaklaşımı türetmiş ve ifade etmiştir:

${\displaystyle P(x;k,\lambda )\yaklaşık \Phi \left\{{\frac {({\frac {x}{k+\lambda }})^{h}-(1+hp(h- 1-0.5(2-h)mp))}{h{\sqrt {2p}}(1+0.5mp)}}\sağ\}}$

nerede

${\displaystyle \Phi \lbrace \cdot \rbrace \,}$belirtmektedir kümülatif dağılım fonksiyonu arasında , standart normal dağılım ;

${\displaystyle h=1-{\frac {2}{3}}{\frac {(k+\lambda )(k+3\lambda )}{(k+2\lambda )^{2}}}\, ;}$

${\displaystyle p={\frac {k+2\lambda }{(k+\lambda )^{2}}};}$

${\görüntüleme stili m=(h-1)(1-3h)\,.}$

Bu ve diğer yaklaşımlar daha sonraki bir ders kitabında tartışılacaktır.

Belirli bir olasılık için, bu formüller, yaklaşık nicelikleri hesaplamak için karşılık gelen yaklaşıklığı sağlamak üzere kolayca tersine çevrilir . ${\görüntüleme stili x}$

pdf'nin türetilmesi

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun türetilmesi en kolay şekilde aşağıdaki adımlar gerçekleştirilerek yapılır:

1. Yana birimi varyansları var, ortak dağıtım konum kayması kadar, küresel simetriktir.${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$
2. Küresel simetri, o zaman, dağılımının sadece kare uzunluğu aracılığıyla araçlara bağlı olduğunu ima eder . Genelliği kaybetmeden, bu nedenle ve alabiliriz .${\displaystyle X=X_{1}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$${\displaystyle \lambda =\mu _{1}^{2}+\cdots +\mu _{k}^{2}}$${\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {\lambda }}}$${\displaystyle \mu _{2}=\cdots =\mu _{k}=0}$
3. Şimdi yoğunluğunu türetelim (yani k  = 1 durumu). Rastgele değişkenlerin basit dönüşümü şunu gösterir:${\displaystyle X=X_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x,1,\lambda )&={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\left(\phi ({\sqrt { x}}-{\sqrt {\lambda }})+\phi ({\sqrt {x}}+{\sqrt {\lambda }})\sağ)\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh({\sqrt {\lambda x}}),\end{hizalanmış}}}$

standart normal yoğunluk nerede .${\displaystyle \phi (\cdot )}$

1. Bir Taylor serisinde cosh terimini genişletin . Bu hareketsiz yoğunluğun Poisson ağırlıklı karışım gösterimini verir k  seri ki-kare rastgele değişkenler endeksleri yukarıda 1 + 2 olduğu = 1 i , bu durumda.
2. Son olarak, genel durum için. Biz o, genelliği kaybetmeden varsaydım standart normal, ve bu yüzden bir sahiptir merkezi (ile ki-kare dağılımı k  - 1) bağımsız serbestlik derecesi, . için poisson ağırlıklı karışım gösteriminin kullanılması ve ki-kare rasgele değişkenlerin toplamının da bir ki-kare olduğu gerçeği, sonucu tamamlar. Serideki indeksler gerektiği gibi (1 + 2 i ) + ( k  − 1) =  k  + 2 i şeklindedir.${\displaystyle X_{2},\ldots ,X_{k}}$${\displaystyle X_{2}^{2}+\cdots +X_{k}^{2}}$${\displaystyle X_{1}^{2}}$${\displaystyle X_{1}^{2}}$

İlgili dağılımlar

• Eğer bir ki-kare dağıtılan sonra olmayan santral ki-kare de olarak dağılımı:${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle V\sim \chi _{k}^{2}}$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(0)}$
• Bağımsız, merkezi olmayan ki-kare değişkenlerinin doğrusal bir kombinasyonu , genelleştirilmiş ki-kare dağılımıdır .${\displaystyle \xi =\sum _{i}\lambda _{i}Y_{i}+c,\quad Y_{i}\sim \chi '^{2}(m_{i},\delta _{ ben}^{2})}$
• Eğer ve ve bağımsız ise, o zaman merkezi olmayan bir F- dağıtılmış değişken şu şekilde geliştirilir:${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(0)}$${\görüntüleme stili V_{1}}$${\ Displaystyle V_{2}}$${\displaystyle {\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F'_{k_{1},k_{2}}(\lambda )}$
• eğer , o zaman${\displaystyle J\sim \mathrm {Poisson} \left({{\frac {1}{2}}\lambda }\sağ)}$${\displaystyle \chi _{k+2J}^{2}\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$
• Eğer , o zaman alır Pirinç dağıtım parametresi .${\displaystyle V\sim {\chi '}_{2}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle {\sqrt {V}}}$${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$
• Normal yaklaşım: if , o zaman ya veya olarak dağılımda .${\displaystyle V\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda )}$${\displaystyle {\frac {V-(k+\lambda )}{\sqrt {2(k+2\lambda )}}}\to N(0,1)}$${\ Displaystyle k\to \infty }$${\displaystyle \lambda \to \infty }$
• Eğer ve , nerede bağımsızsa, o zaman nerede .${\displaystyle V_{1}\sim {\chi '}_{k_{1}}^{2}(\lambda _{1})}$${\displaystyle V_{2}\sim {\chi '}_{k_{2}}^{2}(\lambda _{2})}$${\displaystyle V_{1},V_{2}}$${\displaystyle W=(V_{1}+V_{2})\sim {\chi '}_{k}^{2}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}$${\displaystyle k=k_{1}+k_{2}}$
• Genel olarak, sonlu bir küme için , bu merkezi olmayan ki-kare dağıtılmış rasgele değişkenlerin toplamı, burada dağılıma sahiptir . Bu, aşağıdaki gibi moment üreten fonksiyonlar kullanılarak görülebilir: rasgele değişkenlerin bağımsızlığı ile . Geriye merkezi olmayan ki-kare dağılımları için MGF'yi eklemek ve yeni MGF'yi hesaplamak kalır - bu bir alıştırma olarak bırakılmıştır. Alternatif olarak, yukarıdaki arka plan bölümündeki yorum yoluyla, varyansları 1 ve belirtilen ortalamalarla bağımsız normal dağılmış rastgele değişkenlerin karelerinin toplamı olarak görülebilir.${\displaystyle V_{i}\sim {\chi '}_{k_{i}}^{2}(\lambda _{i}),i\in \sol\{1..N\sağ\}}$${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}V_{i}}$${\displaystyle Y\sim {\chi '}_{k_{y}}^{2}(\lambda _{y})}$${\displaystyle k_{y}=\sum _{i=1}^{N}k_{i},\lambda _{y}=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i} }$${\displaystyle M_{Y}(t)=M_{\sum _{i=1}^{N}V_{i}}(t)=\prod _{i=1}^{N}M_{V_{ o)}$${\görüntüleme stili V_{i}}$
• Karmaşık konsolide bütçe dışında kalan ki-kare dağılımı radyo iletişim ve radar sistemlerinde uygulamaları vardır. Merkezi olmayan dairesel simetri, ortalamaları ve birim varyansları olan bağımsız skaler karmaşık rastgele değişkenler olsun : . Daha sonra gerçek rastgele değişken , karmaşık merkezi olmayan ki-kare dağılımına göre dağıtılır:${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{k})}$${\görüntüleme stili \mu _{i}}$${\displaystyle \operatöradı {E} \left|z_{i}-\mu _{i}\sağ|^{2}=1}$${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{k}\left|z_{i}\sağ|^{2}}$

${\displaystyle f_{S}(S)=\sol({\frac {S}{\lambda }}\sağ)^{(k-1)/2}e^{-(S+\lambda )}I_{ k-1}(2{\sqrt {S\lambda }})}$

nerede ${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{k}\sol|\mu _{i}\sağ|^{2}.}$

Dönüşümler

Sankaran (1963) formun dönüşümlerini tartışır . O açılımlarını analiz kümülantların ait vadede yukarı ve gösterileri olduğu aşağıdaki seçenekler üretmek makul sonuçlar: ${\displaystyle z=[(Xb)/(k+\lambda )]^{1/2}}$${\görüntüleme stili z}$${\ Displaystyle O((k+\lambda )^{-4})}$${\görüntüleme stili b}$

• ${\görüntüleme stili b=(k-1)/2}$yaklaşık olarak bağımsız ikinci kümülatı yapar${\görüntüleme stili z}$${\ Displaystyle \ lambda }$
• ${\görüntüleme stili b=(k-1)/3}$üçüncü kümülatı yaklaşık olarak bağımsız yapar${\görüntüleme stili z}$${\ Displaystyle \ lambda }$
• ${\görüntüleme stili b=(k-1)/4}$dördüncü kümülatı yaklaşık olarak bağımsız yapar${\görüntüleme stili z}$${\ Displaystyle \ lambda }$

Ayrıca, ortalama ve varyansa sahip rasgele bir değişken üreten bir varyans dengeleyici dönüşüm olarak daha basit bir dönüşüm kullanılabilir . ${\displaystyle z_{1}=(X-(k-1)/2)^{1/2}}$${\displaystyle (\lambda +(k-1)/2)^{1/2}}$${\ Displaystyle O((k+\lambda )^{-2})}$

Bu dönüşümlerin kullanılabilirliği, negatif sayıların kareköklerini alma ihtiyacı nedeniyle engellenebilir.

Çeşitli ki ve ki-kare dağılımları

İsim	istatistik
ki-kare dağılımı	${\displaystyle \sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\sağ)^{2}}$
merkezi olmayan ki-kare dağılımı	${\displaystyle \sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\sağ)^{2}}$
chi dağılımı	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\sağ)^{ 2}}}}$
merkezi olmayan chi dağılımı	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{1}^{k}\left({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}}\sağ)^{2}}}}$

Olaylar

Tolerans aralıklarında kullanım

Merkezi olmayan ki-kare dağılımına dayalı olarak iki taraflı normal regresyon tolerans aralıkları elde edilebilir. Bu, belirli bir güven düzeyiyle, örneklenen popülasyonun belirli bir oranının içine düştüğü istatistiksel bir aralığın hesaplanmasını sağlar.

Notlar

Referanslar

• Abramowitz, M. ve Stegun, IA (1972), Handbook of Mathematical Functions , Dover. Bölüm 26.4.25.
• Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995), Sürekli Tek Değişkenli Dağılımlar, Cilt 2 (2. Baskı) , Wiley. ISBN  0-471-58494-0
• Muirhead, R. (2005) Çok Değişkenli İstatistik Teorisinin Yönleri (2. Baskı). Wiley. ISBN  0-471-76985-1
• Siegel, AF (1979), "Sıfır serbestlik dereceli merkezi olmayan ki-kare dağılımı ve tekdüzelik testi", Biometrika , 66, 381-386
• Press, SJ (1966), "Merkezi olmayan ki-kare değişkenlerinin doğrusal kombinasyonları", The Annals of Mathematical Statistics , 37 (2) : 480–487 , doi : 10.1214/aoms/117769951 , JSTOR  2238621