Genelleştirilmiş ki-kare dağılımı - Generalized chi-squared distribution

Genelleştirilmiş ki-kare dağılımı

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu
gösterim	${\displaystyle {\tilde {\chi }}^{2}({\boldsymbol {w}},{\boldsymbol {k}},{\boldsymbol {\lambda }},m,s)}$
parametreler	${\displaystyle {\boldsymbol {w}}}$, merkezi olmayan ki-kare bileşenlerinin ağırlık vektörü , merkezi olmayan ki-kare bileşenlerinin serbestlik derecesi vektörü , ki-kare bileşenlerinin merkezi olmayan parametrelerinin vektörü , normal terimin ortalaması , normal terimin sd'si ${\ Displaystyle {\boldsymbol {k}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}}$ ${\görüntüleme stili m}$ ${\görüntüleme stili s}$
Destek	${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$
Anlamına gelmek	${\displaystyle \sum _{j}w_{j}(k_{j}+\lambda _{j})+m}$
Varyans	${\displaystyle 2\sum _{j}w_{j}^{2}(k_{j}+2\lambda _{j})+s^{2}}$
CF	${\displaystyle {\frac {\exp \left(it\sum _{j}{\frac {w_{j}\lambda _{j}}{1-2iw_{j}t}})-{\frac {s ^{2}t^{2}}{2}}\sağ)}{\prod _{j}\left(1-2iw_{j}t\sağ)^{k_{j}/2}}}}$

Gelen Olasılık teorisi ve istatistik , genelleştirilmiş ki-kare dağılımı (ya da genel ki-kare dağılımı ) bir dağılımı kuadratik formda a multinormal değişken (normal vektör) veya farklı normal değişkenler ve normal değişkenlerin kareler lineer bir kombinasyonu. Eşdeğer olarak, aynı zamanda bağımsız, merkezi olmayan ki-kare değişkenleri ile normal bir değişkenin lineer toplamıdır . Aynı terimin bazen kullanıldığı birkaç başka genelleme vardır; bazıları burada tartışılan ailenin özel durumlarıdır, örneğin gama dağılımı .

Tanım

Genelleştirilmiş ki-kare değişkeni birden çok şekilde tanımlanabilir. Biri, onu bağımsız, merkezi olmayan ki-kare değişkenleri ve normal bir değişkenin doğrusal toplamı olarak yazmaktır:

${\displaystyle \xi =\sum _{i}w_{i}y_{i}+x,\quad y_{i}\sim \chi '^{2}(k_{i},\lambda _{i} ),\quad x\sim N(m,s^{2}).}$

Burada parametreler , kurucu ki-karelerin ağırlıkları , serbestlik dereceleri ve merkeziyetsizlikleri ve normal parametreler ve . Bunun bazı önemli özel durumları aynı işaretin tüm ağırlıklarına sahiptir veya merkezi ki-kare bileşenlerine sahiptir veya normal terimi atlar. ${\displaystyle w_{i}}$${\görüntüleme stili k_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili s}$${\displaystyle w_{i}}$

Merkezi olmayan bir ki-kare değişkeni, farklı ortalamalara sahip normal değişkenlerin karelerinin toplamı olduğundan, genelleştirilmiş ki-kare değişkeni ayrıca, bağımsız normal değişkenlerin kareleri artı bir bağımsız normal değişkenin toplamı olarak tanımlanır: yani, normal değişkenlerde ikinci dereceden.

Başka bir eşdeğer yol, onu normal bir vektörün ikinci dereceden bir formu olarak formüle etmektir : ${\ Displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

${\displaystyle \xi =q({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}'\mathbf {Q_{2}} {\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {q_{1}} }'{\boldsymbol {x}}+q_{0}}$.

İşte bir matris, bir vektör ve bir skalerdir. Bunlar, normal vektörün ortalama ve kovaryans matrisi ile birlikte dağılımı parametreleştirir. İlk ifadenin parametreleri (merkezi olmayan ki-kareler, bir normal ve bir sabit cinsinden), sonraki ifadenin parametreleri (bir normal vektörün ikinci dereceden biçimi) cinsinden hesaplanabilir. Eğer (ve sadece) bu formülasyondaki pozitif-belirli ise , o zaman ilk formülasyondaki tüm ifadeler aynı işarete sahip olacaktır. ${\displaystyle \mathbf {Q_{2}} }$${\displaystyle {\boldsymbol {q_{1}}}}$${\displaystyle q_{0}}$${\ Displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$${\ Displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle \mathbf {Q_{2}} }$${\displaystyle w_{i}}$

En genel durumda, aşağıdaki formun bir temsili kullanılarak ortak bir standart forma yönelik bir indirgeme yapılabilir:

${\displaystyle X=(z+a)^{\mathrm {T} }A(z+a)+c^{\mathrm {T} }z=(x+b)^{\mathrm {T} }D (x+b)+d^{\mathrm {T} }x+e,}$

burada D bir köşegen matristir ve burada x , ilişkisiz standart normal rastgele değişkenlerin bir vektörünü temsil eder .

pdf/cdf/ters cdf/rastgele sayıların hesaplanması

Genelleştirilmiş bir ki-kare değişkeninin olasılık yoğunluğu, kümülatif dağılım ve ters kümülatif dağılım fonksiyonları, basit kapalı biçimli ifadelere sahip değildir. Ancak bunlardan bazılarını değerlendirmek ve rastgele örnekler oluşturmak için sayısal algoritmalar ve bilgisayar kodu ( Fortran ve C , Matlab , R ) yayınlanmıştır.

Uygulamalar

Genelleştirilmiş ki-kare, aşağıdaki örneklerde olduğu gibi, olağan istatistiksel teorinin tutmadığı durumlarda istatistiksel tahminlerin dağılımıdır .

Model uydurma ve seçiminde

Bir durumunda tahmin modeli ile donatılmıştır , en küçük kareler , ancak artıklar ya sahip otokorelasyon veya heteroskedastisiyi ardından alternatif modelleri (de karşılaştırılabilir model seçimi değişiklikleri ile ilgili olarak) karelerinin toplamının bir üzere asimptotik geçerli genel bir ki-kare dağılımı.

Gauss diskriminant analizini kullanarak normal vektörleri sınıflandırma

Eğer normal bir vektör ise, kendi günlük olabilirlik bir olan karesel formu ait ve dolayısıyla bir genelleştirilmiş ki-kare olarak dağıtılır. Bir normal dağılımdan diğerine karşı ortaya çıkan log olabilirlik oranı da ikinci dereceden bir formdur , dolayısıyla genelleştirilmiş bir ki-kare olarak dağıtılır. ${\ Displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\ Displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\ Displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

Gauss diskriminant analizinde, çok normal dağılımlardan alınan numuneler, ikinci dereceden bir sınıflandırıcı , ikinci dereceden bir fonksiyon olan bir sınır (örneğin, iki Gauss'un 1'e olabilirlik oranını ayarlayarak tanımlanan eğri) kullanılarak en uygun şekilde ayrılır . Farklı tiplerdeki sınıflandırma hata oranları (yanlış pozitifler ve yanlış negatifler), bu sınıflandırıcı tarafından tanımlanan ikinci dereceden bölgeler içindeki normal dağılımların integralleridir. Bu, normal bir vektörün ikinci dereceden bir formunun integraline matematiksel olarak eşdeğer olduğundan, sonuç, genelleştirilmiş bir ki-kare değişkeninin integralidir.

sinyal işlemede

Aşağıdaki uygulama bağlamında ortaya Fourier analizi de sinyal işleme , yenileme teorisi olarak olasılık teorisi ve çok antenli sistemleri olarak kablosuz iletişim . Bu alanların ortak faktörü, üstel olarak dağıtılmış değişkenlerin toplamının (veya aynı şekilde, dairesel simetrik merkezli karmaşık Gauss değişkenlerinin kare büyüklüklerinin toplamının ) önemli olmasıdır.

Eğer olan k bağımsız olarak , dairesel simetrik karmaşık Gauss merkezli rasgele değişkenler , ortalama 0 ve varyans , daha sonra rastgele değişken ${\displaystyle Z_{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}=\sum _{i=1}^{k}|Z_{i}|^{2}}$

belirli bir formun genelleştirilmiş bir ki-kare dağılımına sahiptir. Standart ki-kare dağılımından farkı, karmaşık olan ve farklı varyanslara sahip olabilen ve daha genel genelleştirilmiş ki-kare dağılımından farkı, ilgili ölçeklendirme matrisi A'nın köşegen olmasıdır. Eğer herkes için i , daha sonra , tarafından küçültülmüş (yani çarpılır ), bir sahiptir ki-kare dağılımı , aynı zamanda bir olarak bilinen Erlang dağılımı . Tüm i için farklı değerler varsa , o zaman pdf ${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle \mu =\sigma _{i}^{2}}$${\görüntüleme stili {\tilde {Q}}}$${\görüntüleme stili \mu/2}$${\ Displaystyle 2/\mu }$${\displaystyle \chi ^{2}(2k)}$${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$${\görüntüleme stili {\tilde {Q}}}$

${\displaystyle f(x;k,\sigma _{1}^{2},\ldots ,\sigma _{k}^{2})=\sum _{i=1}^{k}{\frac {e^{-{\frac {x}{\sigma _{i}^{2}}}}}{\sigma _{i}^{2}\prod _{j=1,j\neq i} ^{k}\left(1-{\frac {\sigma _{j}^{2}}{\sigma _{i}^{2}}}\sağ)}}\quad {\text{için } }x\geq 0.}$

Arasında tekrarlanan varyans kümeleri varsa, bunların her biri belirli bir varyans değerini temsil eden M kümeye bölündüklerini varsayalım . Her gruptaki tekrar sayısı olarak belirtin . Diğer bir deyişle, m, inci grubu içeren varyans değişkenleri Bağımsız bir rastgele, doğrusal kombinasyonunu temsil farklı serbestlik derecelerine sahip -Dağıtık rastgele değişkenler: ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}}$${\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},r_{2},\dots,r_{M})}$${\görüntüleme stili r_{m}}$${\displaystyle \sigma _{m}^{2}.}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

${\displaystyle {\tilde {Q}}=\sum _{m=1}^{M}\sigma _{m}^{2}/2*Q_{m},\quad Q_{m}\sim \ chi ^{2}(2r_{m})\,.}$

Pdf DİR ${\görüntüleme stili {\tilde {Q}}}$

${\displaystyle f(x;\mathbf {r} ,\sigma _{1}^{2},\dots \sigma _{M}^{2})=\prod _{m=1}^{M} {\frac {1}{\sigma _{m}^{2r_{m}}}}\sum _{k=1}^{M}\sum _{l=1}^{r_{k}}{ \frac {\Psi _{k,l,\mathbf {r} }}{(r_{k}-l)!}}(-x)^{r_{k}-l}e^{-{\frac {x}{\sigma _{k}^{2}}}},\quad {\text{ for }}x\geq 0,}$

nerede

${\displaystyle \Psi _{k,l,\mathbf {r} }=(-1)^{r_{k}-1}\sum _{\mathbf {i} \in \Omega _{k,l} }\prod _{j\neq k}{\binom {i_{j}+r_{j}-1}{i_{j}}}\left({\frac {1}{\sigma _{j}^ {2}}}\!-\!{\frac {1}{\sigma _{k}^{2}}}\sağ)^{-(r_{j}+i_{j})},}$

ile kümesinden tüm bölmelerin ile ( olarak tanımlanır) ${\displaystyle \mathbf {i} =[i_{1},\ldots ,i_{M}]^{T}}$${\displaystyle \Omega _{k,l}}$${\görüntüleme stili l-1}$${\displaystyle i_{k}=0}$

${\displaystyle \Omega _{k,l}=\left\{[i_{1},\ldots ,i_{m}]\in \mathbb {Z} ^{m};\sum _{j=1} ^{M}i_{j}\!=l-1,i_{k}=0,i_{j}\geq 0{\text{ tümü }}j\right\} için.}$

Ayrıca bakınız

• Serbestlik dereceleri (istatistik)#Alternatif
• Merkezi olmayan ki-kare dağılımı
• Ki-kare dağılımı

Referanslar

Dış bağlantılar

• Davies, RB: "Ki-kare rasgele değişkenlerin doğrusal kombinasyonu" için Fortran ve C kaynak kodu
• Das, A: Genelleştirilmiş ki-kare dağılımının istatistiklerini, pdf, cdf, ters cdf ve rastgele sayılarını hesaplamak için MATLAB kodu.