Erlang dağıtımı - Erlang distribution

Erlang

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu
parametreler	${\displaystyle k\in \{1,2,3,\ldots \},}$ şekil oranı alt.: ölçek ${\displaystyle \lambda \in (0,\infty ),}$ ${\displaystyle \beta =1/\lambda ,}$
Destek	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}}$
CDF	${\displaystyle P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k- 1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}}$
Anlamına gelmek	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}}$
Medyan	Basit kapalı form yok
mod	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}(k-1)}$
Varyans	${\displaystyle {\frac {k}{\lambda ^{2}}}}$
çarpıklık	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Eski. Basıklık	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Entropi	${\displaystyle (1-k)\psi (k)+\ln \sol[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\sağ]+k}$
MGF	${\displaystyle \sol(1-{\frac {t}{\lambda }}\sağ)^{-k}}$ için ${\displaystyle t<\lambda }$
CF	${\displaystyle \sol(1-{\frac {it}{\lambda }}\sağ)^{-k}}$

Erlang dağılımı sürekli bir iki parametreli ailedir olasılık dağılımları ile destek . İki parametre şunlardır: ${\displaystyle x\in [0,\infty ]}$

• pozitif bir tamsayı "şekil" ve${\görüntüleme stili k,}$
• pozitif bir gerçek sayı "oran". Oranın karşılığı olan "ölçek" bazen bunun yerine kullanılır.${\ Displaystyle \ lambda ,}$${\görüntüleme stili \beta,}$

Şekil parametreli Erlang dağılımı , üstel dağılımı basitleştirir . Bu, dağılımın şeklinin ayrık olduğu gama dağılımının özel bir durumudur . Her birinin ortalaması olan bağımsız üstel değişkenlerin toplamının dağılımıdır . ${\görüntüleme stili k=1}$${\görüntüleme stili k}$ ${\displaystyle 1/\lambda }$

Erlang dağıtımı, AK Erlang tarafından , santrallerin operatörlerine aynı anda yapılabilecek telefon görüşmelerinin sayısını incelemek için geliştirilmiştir . Telefon trafiği mühendisliği üzerindeki bu çalışma, genel olarak kuyruk sistemlerinde bekleme sürelerini dikkate alacak şekilde genişletildi . Dağılım, stokastik süreçler alanında da kullanılmaktadır .

karakterizasyon

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Olasılık yoğunluk fonksiyonu Erlang dağılımının olduğu

${\displaystyle f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{ }}x,\lambda \geq 0,} için$

k parametresine şekil parametresi ve parametreye oran parametresi denir. ${\ Displaystyle \ lambda }$

Alternatif, ancak eşdeğer bir parametreleştirme , oran parametresinin (yani, ) karşılığı olan ölçek parametresini kullanır : ${\görüntüleme stili \beta }$${\displaystyle \beta =1/\lambda }$

${\displaystyle f(x;k,\beta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k -1)!}}\quad {\mbox{için }}x,\beta \geq 0.}$

Ölçek parametresi 2'ye eşit olduğunda, dağılım 2 k serbestlik dereceli ki-kare dağılımına basitleşir . Bu nedenle , çift sayıda serbestlik derecesi için genelleştirilmiş bir ki-kare dağılımı olarak kabul edilebilir . ${\görüntüleme stili \beta }$

Kümülatif dağıtım işlevi (CDF)

Kümülatif dağılım fonksiyonu Erlang dağılımının olduğu

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\ gama (k,\lambda x)}{(k-1)!}},}$

burada düşük olan tamamlanmamış gama fonksiyonu ve bir alt düzgünleştirilmiş gamma fonksiyonu . CDF ayrıca şu şekilde ifade edilebilir: ${\görüntüleme stili \gama }$${\görüntüleme stili P}$

${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\ lambda x)^{n}.}$

Medyan

Katsayıların hesaplanabildiği ve sınırların bilindiği bir Erlang dağılımının medyanı için asimptotik bir genişleme bilinmektedir. Bir yaklaşıklık, yani ortalamanın altındadır${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}\sol(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\sağ),}$${\displaystyle {\frac {k}{\lambda }}.}$

Erlang tarafından dağıtılan rastgele değişkenler oluşturma

Erlang-dağıtılmış rasgele değişkenler , aşağıdaki formül kullanılarak düzgün dağılmış rasgele sayılardan ( ) oluşturulabilir: ${\displaystyle U\in [0,1]}$

${\displaystyle E(k,\lambda )=-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}U_{i}=-{\frac {1}{ \lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln U_{i}}$

Uygulamalar

bekleme süreleri

Bir ortalama hız ile bağımsız olarak meydana gelen olaylar, bir Poisson süreci ile modellenmiştir . Olayın k oluşu arasındaki bekleme süreleri Erlang dağıtılır. (Belirli bir zaman miktarındaki olay sayısı ile ilgili soru Poisson dağılımı ile tanımlanır .)

Gelen aramalar arasındaki süreyi ölçen Erlang dağılımı, erlang cinsinden ölçülen trafik yükü hakkında bilgi üretmek için gelen aramaların beklenen süresi ile birlikte kullanılabilir. Bu, engellenen çağrıların iptal edilip edilmediği (Erlang B formülü) veya hizmet verilene kadar kuyruğa alınıp alınmadığı (Erlang C formülü) hakkında yapılan çeşitli varsayımlara göre paket kaybı veya gecikme olasılığını belirlemek için kullanılabilir. Erlang-B ve C formülleri böyle tasarımı gibi uygulamalar için trafik modelleme için günlük kullanım hala çağrı merkezleri .

Diğer uygulamalar

Kanser insidansının yaş dağılımı genellikle Erlang dağılımını takip ederken, şekil ve ölçek parametreleri sırasıyla sürücü olaylarının sayısını ve bunlar arasındaki zaman aralığını tahmin eder. Daha genel olarak, Erlang dağılımı, çok aşamalı modellerin bir sonucu olarak, hücre döngüsü süresi dağılımının iyi bir tahmini olarak önerilmiştir.

Ayrıca satın alma zamanlarını tanımlamak için işletme ekonomisinde de kullanılmıştır.

Özellikler

• Eğer o zaman ile${\displaystyle X\sim \operatör adı {Erlang} (k,\lambda )}$${\displaystyle a\cdot X\sim \operatöradı {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\sağ)}$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$
• Eğer ve sonra eğer bağımsızlarsa${\displaystyle X\sim \operatöradı {Erlang} (k_{1},\lambda )}$${\displaystyle Y\sim \operatöradı {Erlang} (k_{2},\lambda )}$${\displaystyle X+Y\sim \operatöradı {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )}$${\görüntüleme stili X,Y}$

İlgili dağılımlar

• Erlang dağılımı , her biri bir üstel dağılıma sahip olan k adet bağımsız ve aynı şekilde dağılmış rastgele değişkenin toplamının dağılımıdır . Etkinlik beklentisine karşılıklıdır meydana geldiği uzun dönemli oranı yani, Erlang dağılımının (yaş belirli bir olay) oranı için, bir monotonik olarak 0 ile artan için olarak sonsuza eğilimindedir. ${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili \lambda /k.}$${\görüntüleme stili k>1,}$${\görüntüleme stili x,}$${\görüntüleme stili x=0,}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\görüntüleme stili x}$
  • Yani: eğer öyleyse${\displaystyle X_{i}\sim \operatöradı {Üssel} (\lambda),}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}{X_{i}}\sim \operatöradı {Erlang} (k,\lambda )}$
• PDF ve CDF'nin paydasındaki faktöriyel fonksiyon nedeniyle , Erlang dağılımı yalnızca k parametresi pozitif bir tam sayı olduğunda tanımlanır . Aslında, bu dağıtım bazen denir Erlang- k dağılımını (örneğin bir Erlang-2 dağıtım ile bir Erlang dağıtımıdır ). Gama dağılımı sağlayarak Erlang dağılımı genelleştirir k kullanarak, herhangi bir pozitif reel sayı olmak gama fonksiyonu yerine faktöryel fonksiyonunu. ${\görüntüleme stili k=2}$
  • Yani: k bir tamsayıysa ve sonra${\displaystyle X\sim \operatöradı {Gama} (k,\lambda ),}$${\displaystyle X\sim \operatör adı {Erlang} (k,\lambda )}$
• eğer ve sonra${\displaystyle U\sim \operatöradı {Üslü} (\lambda )}$${\displaystyle V\sim \operatöradı {Erlang} (n,\lambda )}$${\displaystyle {\frac {U}{V}}+1\sim \operatöradı {Pareto} (1,n)}$
• Erlang dağılımı, Pearson tip III dağılımının özel bir halidir.
• Erlang dağılımı, ki-kare dağılımı ile ilgilidir . eğer o zaman${\displaystyle X\sim \operatöradı {Erlang} (k,\lambda ),}$${\displaystyle 2\lambda X\sim \chi _{2k}^{2}.}$
• Erlang dağılımı ile ilgilidir Poisson dağılımının tarafından Poisson süreci : Eğer böyle sonra ve farklılıkları alarak üzerinde Poisson dağılımını verir.${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle X_{i}\sim \operatöradı {Üssel} (\lambda),}$${\displaystyle S_{n}\sim \operatöradı {Erlang} (n,\lambda )}$${\displaystyle \operatöradı {Pr} (N(x)\leq n-1)=\operatöradı {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{X}(x;n,\lambda )=\ toplam _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.}$${\görüntüleme stili n}$

Ayrıca bakınız

• Coxian dağılımı
• Enstrüman hesaplaması
• Erlang B formülü
• Erlang birimi
• Faz tipi dağıtım
• Trafik oluşturma modeli

Notlar

Referanslar

• Ian Angus "Erlang B ve Erlang C'ye Giriş" , Telemanagement #187 (PDF Belgesi - Terimler ve formüller artı kısa biyografi içerir)
• Stuart Harris "Erlang Hesaplamalarına Karşı Simülasyon"

Dış bağlantılar

• Erlang Dağıtım
• Erlang-B ve Erlang-C Kullanarak Kaynak Boyutlandırma