Nambu – Harekete geç - Nambu–Goto action

Nambu-Sayfaya işlem en basit değişmez eylem içinde bozonik sicim teorisi ve ayrıca dizi-benzeri nesnelerin (örneğin, araştırmak diğer teoriler kullanılan kozmik şeritler ). Lagrange mekaniği ilkelerini kullanarak sıfır kalınlıkta (sonsuz ince) sicim davranışının analizinin başlangıç noktasıdır . Bir serbest nokta parçacığının hareketi, uygun zamanı ile orantılı olduğu gibi - yani , dünya çizgisinin "uzunluğu" - göreli bir dizginin hareketi, dizginin uzayzaman boyunca hareket ederken izlediği tabaka alanıyla orantılıdır.

Japon fizikçiler Yoichiro Nambu ve Tetsuo Goto'nun adını almıştır .

Arka fon

Göreli Lagrange mekaniği

Lagrange mekaniğinin temel ilkesi olan durağan hareket ilkesi, dış etkilere maruz kalan bir nesnenin belirli bir miktarı, eylemi , bir uç noktayı oluşturan bir yolu "seçeceğidir" . Eylem, tüm bir yolu izleyen ve tek bir sayı üreten işlevsel , matematiksel bir ilişkidir. Fiziksel yolu nesnesi aslında, aşağıda daha, eylem "sabit" (veya uç değer) olduğu yolu: Fiziksel birinden yolunun herhangi bir küçük değişimi belirgin bir biçimde harekete değiştirmez. (Genellikle bu, fiziksel yolun eylemin minimum olduğu yol olduğunu söylemeye eşdeğerdir.) Eylemler genellikle nesnenin uzayda ve / veya zamanda belirli bir noktadaki durumuna bağlı olan formüller olan Lagrangians kullanılarak yazılır. Relativistik olmayan mekanik olarak, örneğin bir nokta parçacığın Lagrange kinetik ve potansiyel enerji arasındaki farkı: . Genellikle yazılan eylem, bu miktarın başlangıç zamanından bitiş zamanına kadar olan integralidir: ${\ displaystyle L = KU}$ ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle S = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} L \, dt.}

(Tipik olarak, Lagrangianları kullanırken, parçacığın başlangıç ve bitiş konumlarını bildiğimizi varsayarız ve kendimizi parçacığın bu konumlar arasında gittiği yolla ilgileniriz.)

Mekaniğe yönelik bu yaklaşım, kolayca genişletilmesi ve genelleştirilmesi avantajına sahiptir. Örneğin, göreli bir parçacık için, parçacık ışık hızına yakın hareket etse bile geçerli olacak bir Lagrangian yazabiliriz . Lorentz değişmezliğini korumak için , eylem yalnızca tüm (Lorentz) gözlemciler için aynı olan miktarlara bağlı olmalıdır, yani eylem bir Lorentz skaler olmalıdır . Böylesi en basit miktar, doğru zamandır , parçacığın taşıdığı bir saatle ölçülen zamandır. Özel göreliliğe göre, bir parçacık hareketini izleyen tüm Lorentz gözlemcileri, miktar için aynı değeri hesaplayacaktır.

{\ displaystyle -ds ^ {2} = - (c \, dt) ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}, \}

ve o zaman sonsuz küçük bir uygun zamandır. Dış kuvvetlere maruz kalmayan bir nokta parçacık için ( yani , eylemsizlik hareketine maruz kalan), göreli eylem şu şekildedir : ${\ displaystyle ds / c}$

{\ displaystyle S = -mc \ int ds.}

Dünya sayfaları

Sıfır boyutlu bir noktanın uzay-zaman diyagramında bir dünya çizgisini izlemesi gibi, tek boyutlu bir dize de bir dünya sayfasıyla temsil edilir . Tüm dünya sayfaları iki boyutlu yüzeylerdir, bu nedenle bir dünya sayfasında bir noktayı belirtmek için iki parametreye ihtiyacımız var. String teorisyenleri sembolleri ve bu parametreler için kullanırlar . Görünüşe göre, sicim teorileri aşina olduğumuz 3B dünyasından daha yüksek boyutlu uzaylar içerir; bozonik sicim teorisi, 25 uzamsal boyut ve bir zaman ekseni gerektirir. Eğer mekansal boyutta sayısıdır, vektörün bir noktayı temsil edebilir ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle d}$

{\ displaystyle x = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {d}).}

Parametre uzayındaki ( , ) bir konumu uzayzamandaki bir noktaya eşleyen işlevleri kullanarak bir dizeyi tanımlarız . Her bir ve değeri için , bu işlevler benzersiz bir uzay-zaman vektörü belirtir: ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ tau}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ displaystyle X (\ tau, \ sigma) = (X ^ {0} (\ tau, \ sigma), X ^ {1} (\ tau, \ sigma), X ^ {2} (\ tau, \ sigma ), \ ldots, X ^ {d} (\ tau, \ sigma)).}

Fonksiyonlar , dünya sayfasının alacağı şekli belirler. Farklı Lorentz gözlemcileri, dünya sayfasındaki belirli noktalara atadıkları koordinatlar konusunda hemfikir olmayacaklar, ancak hepsi dünya sayfasının sahip olduğu toplam uygun alan konusunda hemfikir olmalılar . Nambu – Goto eylemi, bu toplam uygun alanla orantılı olacak şekilde seçilir. ${\ displaystyle X ^ {\ mu} (\ tau, \ sigma)}$

Izin vermek boyutsal uzayzaman üzerindeki metrik olsun . Sonra, ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle (d + 1)}$

{\ displaystyle g_ {ab} = \ eta _ {\ mu \ nu} {\ frac {\ kısmi X ^ {\ mu}} {\ kısmi y ^ {a}}} {\ frac {\ kısmi X ^ {\ nu}} {\ kısmi y ^ {b}}} \}

, dünya sayfasındaki indüklenmiş metriktir , nerede ve . ${\ displaystyle a, b = 0,1}$ ${\ displaystyle y ^ {0} = \ tau, y ^ {1} = \ sigma}$

İçin bölgede şu tutan dünya sacın: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {A}} = \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {-g}}}

nerede ve ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma = \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} \ tau}$ ${\ displaystyle g = \ mathrm {det} \ sol (g_ {ab} \ sağ) \}$

Şu gösterimi kullanarak:

{\ displaystyle {\ dot {X}} = {\ frac {\ kısmi X} {\ kısmi \ tau}}}

ve

{\ displaystyle X '= {\ frac {\ kısmi X} {\ kısmi \ sigma}},}

metrik yeniden yazılabilir : ${\ displaystyle g_ {ab}}$

{\ displaystyle g_ {ab} = \ left ({\ begin {array} {cc} {\ dot {X}} ^ {2} & {\ dot {X}} \ cdot X '\\ X' \ cdot { \ nokta {X}} & X '^ {2} \ end {dizi}} \ sağ) \}

{\ displaystyle g = {\ nokta {X}} ^ {2} X '^ {2} - ({\ nokta {X}} \ cdot X') ^ {2}}

Nambu – Goto eylemi şu şekilde tanımlanır:

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} \}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int d {\ mathcal {A}}}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {-g}}}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {({\ dot {X}} \ cdot X ') ^ { 2} - ({\ nokta {X}}) ^ {2} (X ') ^ {2}}}, \}

nerede . İntegralden önceki faktörler, eyleme doğru birimleri verir, enerji zamanla çarpılır. ipteki gerilim ve ışık hızıdır. Tipik olarak, sicim kuramcıları 1'e ayarlanan "doğal birimlerde" çalışırlar (Planck sabiti ve Newton sabiti ile birlikte ). Ayrıca, kısmen tarihsel nedenlerden dolayı, bunun yerine "eğim parametresini" kullanırlar . Bu değişikliklerle, Nambu – Goto eylemi ${\ displaystyle X \ cdot Y: = \ eta _ {\ mu \ nu} X ^ {\ mu} Y ^ {\ nu}}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle \ hbar}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ alpha '}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - {\ frac {1} {2 \ pi \ alpha '}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {({\ nokta {X }} \ cdot X ') ^ {2} - ({\ nokta {X}}) ^ {2} (X') ^ {2}}}.}

Bu iki form elbette tamamen eşdeğerdir: birini diğerine tercih etmek bir gelenek ve rahatlık meselesidir.

Diğer iki eşdeğer form

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - {\ frac {1} {2 \ pi \ alpha '}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {{\ dot {X} } ^ {2} - {X '} ^ {2}}},}

ve

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - {\ frac {1} {4 \ pi \ alpha '}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma ({\ dot {X}} ^ { 2} - {X '} ^ {2}).}

Tipik olarak, Nambu-Goto eylemi henüz sicimlerin kuantum fiziğini çalışmak için uygun bir forma sahip değildir. Bunun için, bir nokta parçacığının hareketine benzer şekilde değiştirilmelidir. Bu, klasik olarak eksi kütle çarpı uzay zamandaki değişmez uzunluğa eşittir, ancak aynı klasik değere sahip ikinci dereceden bir ifade ile değiştirilmelidir. Teller için analog düzeltme, klasik olarak Nambu – Goto eylemine eşdeğer olan, ancak 'doğru' kuantum teorisini veren Polyakov eylemi tarafından sağlanır . Bununla birlikte, ışık koni göstergesindeki Nambu – Goto eyleminden bir kuantum teorisi geliştirmek mümkündür .

Ayrıca bakınız

Dirac membranı

Referanslar

daha fazla okuma

Ortin, Thomas, Gravity and Strings , Cambridge Monographs, Cambridge University Press (2004). Mayıs ISBN 978-0-521-03546-0 .

Languages

In other projects