Ürdün normal formu - Jordan normal form

Olarak lineer cebir , bir Ürdün, normal bir şekilde olarak da bilinen, Ürdün meydana kanonik veya JCF , bir bir üst üçgen matris olarak adlandırılan belirli bir formunun Ürdün matrisi bir temsil lineer operatör bir ilgili sonlu boyutlu vektör alan bazı ile ilgili olarak esas . Böyle bir matris, ana köşegenin hemen üstünde ( süper köşegen üzerinde ) ve bunların solunda ve altında özdeş köşegen girişleri olan 1'e eşit sıfır olmayan her köşegen dışı girişe sahiptir .

Let V aşkın bir vektör uzayı alan K . O halde, matrisin gerekli forma sahip olduğu bir temel, ancak ve ancak matrisin tüm özdeğerleri K'de bulunuyorsa veya eşdeğer olarak operatörün karakteristik polinomu K üzerinde doğrusal faktörlere bölünüyorsa var olur . Bu durum her zaman memnun olduğunu K edilir cebirsel kapalı (örneğin o alanı ise, karmaşık sayılar ). Normal formun köşegen girişleri (operatörün) özdeğerleridir ve her bir özdeğerin meydana gelme sayısına özdeğerin cebirsel çokluğu denir .

Operatör ilk olarak bir tarafından verilir ise kare matris M , daha sonra Ürdün, normal bir şekilde, aynı zamanda, Ürdün, normal formu olarak adlandırılan M . Katsayılar alanı, matrisin tüm özdeğerlerini içeren bir alana genişletilirse, herhangi bir kare matris bir Jordan normal formuna sahiptir. Adına rağmen, belirli bir M için normal form tamamen benzersiz değildir, çünkü Jordan bloklarından oluşan bir blok diyagonal matrisidir , sırası sabit değildir; aynı özdeğer için blokları birlikte gruplamak gelenekseldir, ancak özdeğerler arasında veya belirli bir özdeğer için bloklar arasında herhangi bir sıralama uygulanmaz, ancak ikincisi örneğin zayıf bir şekilde azalan boyuta göre sıralanabilir.

Ürdün-Chevalley ayrışma operatörü, Ürdün, normal şeklinde olduğu için, bir tabana göre özellikle basittir. Köşegenleştirilebilir matrislerin köşegen formu , örneğin normal matrisler , Jordan normal formunun özel bir halidir.

Ürdün normal formu, Ürdün ayrışma teoremini ilk kez 1870'de ifade eden Camille Jordan'ın adını almıştır .

genel bakış

gösterim

Bazı ders kitaplarında alt köşegen üzerinde olanlar bulunur ; yani, üst köşegen yerine ana köşegenin hemen altında. Özdeğerler hala ana köşegen üzerindedir.

Motivasyon

Bir n- X , n matris bir olan köşegenleştirilebilir Aygen boyutları toplamı, ancak ve ancak, eğer , n . Ya da eşdeğeri olan ancak ve ancak A sahiptir n doğrusal bağımsız özvektörler . Tüm matrisler köşegenleştirilebilir değildir; köşegenleştirilemeyen matrislere kusurlu matrisler denir . Aşağıdaki matrisi göz önünde bulundurun:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&- 1&2\end{dizi}}\sağ].}$

Çok sayıda dahil, özdeğer A λ = 1, 2, 4, 4 olan boyutu , yani özdeğer 4'e tekabül eden eigenspace 1 (ve 2) 'nin bir köşegenleştirilebilir değildir. Bununla birlikte, tersi matrisim p şekilde J = p ^-1 AP ,

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

J matrisi neredeyse köşegendir. Bu, A'nın Jordan normal biçimidir . Aşağıdaki Örnek bölümü , hesaplamanın ayrıntılarını doldurur.

karmaşık matrisler

Genel olarak, bir kare kompleks matris A , bir blok köşegen matrise benzer

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{p}\end{bmatrix}}}$

burada her J _i bloğu , formun kare matrisidir

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{i}&\ddots &\;\\\;&\; &\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{i}\end{bmatrix}}.}$

Böylece tersinir matris vardır P şekilde p ^-1 AP = J sadece sıfır olmayan girişleri şekildedir J çapraz ve superdiagonal vardır. J olarak adlandırılan Ürdün, normal bir şekilde bir A . Her J _i denen Ürdün bloğu arasında A . Verilen bir Jordan bloğunda, üst köşegen üzerindeki her giriş 1'dir.

Bu sonucu varsayarak, aşağıdaki özellikleri çıkarabiliriz:

• Çoklukları, bir öz sayma J , ve bu yüzden de , A , köşegen girişleri vardır.
• Bir özdeğer verilen λ _I , onun geometrik çokluğu Ker (boyutudur bir - λ _I I ), bir bir birim matris ve karşılık gelen Ürdün blokların sayısıdır X _i .
• Bir özdeğer λ _i'ye karşılık gelen tüm Jordan bloklarının boyutlarının toplamı , cebirsel çokluğudur .
• Bir her özdeğer için, ancak ve ancak, eğer diyagonal λ arasında A , geometrik ve cebirsel çoklukları örtüşmektedir. Özellikle, bu durumda Jordan blokları 1 × 1 matrislerdir; yani skaler.
• Karşılık gelen Ürdün blok X formdadır λI + K , K a, nilpotentlik matris olarak tanımlanan N _ij = δ _{i , j -1} (δ burada Kronecker'in ö ). Arasında Nilpotensi N hesaplanırken yararlanılabilir f ( A ) burada f , bir kompleks analitik fonksiyonudur. Örneğin, prensipte Ürdün formu, üstel exp( A ) için kapalı form ifadesi verebilir .
• En az j boyutunda λ'ya karşılık gelen Jordan bloklarının sayısı dim Ker( A − λI ) ^j − dim Ker( A - λI ) ^{j -1} . Böylece, ebat Ürdün blok sayısı j olduğu

  ${\displaystyle 2\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j+1}-\dim \ker (A-\lambda _{i}I)^{j-1}}$

• Bir özdeğer λ _i verildiğinde , minimal polinomdaki çokluğu en büyük Jordan bloğunun boyutudur.

Örnek

Önceki bölümdeki örnekteki matrisi düşünün . Jordan normal formu, bazı benzerlik dönüşümleri ile elde edilir: ${\görüntüleme stili A}$

${\ Displaystyle P^{-1}AP=J;}$ yani, ${\görüntüleme stili AP=PJ.}$

Izin kolon vektörleri , daha sonra ${\görüntüleme stili P}$${\displaystyle p_{i}}$${\görüntüleme stili i=1,\ldots ,4}$

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3 }&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\başlangıç{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{ 3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatris}}.}$

bunu görüyoruz

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\ Displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\ Displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\görüntüleme stili (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

İçin elimizdeki olduğunu, bir eigenvector Özdeğer tekabül . Çünkü her iki tarafı da verir ile çarparsak${\görüntüleme stili i=1,2,3}$${\displaystyle p_{i}\in \operatöradı {Ker} (A-\lambda _{i}I)}$${\displaystyle p_{i}}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\görüntüleme stili i=4}$${\görüntüleme stili (A-4I)}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

Ama , yani ${\ Displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

Böylece, ${\displaystyle p_{4}\in \operatöradı {Ker} (A-4I)^{2}.}$

Vektörler, örneğin, adlandırılır genelleştirilmiş özvektörler ve A . ${\görüntüleme stili p_{4}}$

Örnek: Normal formun elde edilmesi

Bu örnek, verilen bir matrisin Jordan normal formunun nasıl hesaplanacağını gösterir.

matrisi düşünün

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{bmatrix}}}$

hangi makalenin başında bahsedilmiştir.

Karakteristik polinomu ve A olduğu

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda IA)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2} -64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{hizalı}}}$

Bu da cebirsel çokluğa göre özdeğerlerin 1, 2, 4 ve 4 olduğunu göstermektedir. Özdeğer 1'e karşılık gelen özuzay, Av = λ v denklemi çözülerek bulunabilir . Sütun vektörü v = (−1, 1, 0, 0) ^{T tarafından yayılır} . Benzer şekilde, özdeğer 2'ye karşılık gelen özuzay, w = (1, -1, 0, 1) ^{T ile yayılır} . Son olarak, özdeğer 4'e karşılık gelen özuzay da tek boyutludur (bu bir çift özdeğer olmasına rağmen) ve x = (1, 0, -1, 1) ^{T ile yayılır} . Dolayısıyla, üç özdeğerin her birinin geometrik çokluğu (yani, verilen özdeğerin özuzayının boyutu) birdir. Bu nedenle, 4'e eşit iki özdeğer, tek bir Jordan bloğuna karşılık gelir ve A matrisinin Jordan normal formu , doğrudan toplamıdır.

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\başlangıç{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{ bmatris}}.}$

Üç Jordan zinciri var . İkisinin uzunluğu bir: { v } ve { w }, sırasıyla 1 ve 2 özdeğerlerine karşılık gelir. Özdeğer 4'e karşılık gelen iki uzunlukta bir zincir var. Bu zinciri bulmak için aşağıdakileri hesaplayın.

${\displaystyle \ker {(A-4I)}^{2}=\operatöradı {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\0\\0\end{bmatrix}} ,{\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}\sağ\}}$

burada I , 4 × 4 birim matrisidir. Yukarıdaki yayılma alanında A  -4 I'in çekirdeğinde olmayan bir vektör seçin ; örneğin, y = (1,0,0,0) ^T . Şimdi, ( A  − 4 I ) y = x ve ( A  − 4 I ) x = 0, yani { y , x } özdeğer 4'e karşılık gelen iki uzunlukta bir zincirdir.

Geçiş matrisi P , öyle ki p ^-1 AP = J aşağıdaki şekilde birbirine Bu vektörler koyarak oluşturulmaktadır

${\displaystyle P=\left[{\begin{dizi}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{dizi}}\sağ]={\begin{bmatrix}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0& -1&0\\0&1&1&0\end{bmatris}}.}$

Bir hesaplama, P ^-1 AP = J denkleminin gerçekten de geçerli olduğunu gösteriyor.

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\başlangıç{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Zincir vektörlerinin ortaya çıktığı sırayı, yani v , w ve { x , y } sırasını birlikte değiştirerek değiştirmiş olsaydık, Jordan blokları yer değiştirirdi. Ancak, Ürdün formları eşdeğer Ürdün formlarıdır.

genelleştirilmiş özvektörler

Bir özdeğer λ verildiğinde, karşılık gelen Jordan bloğu bir Jordan zincirine yol açar . Jeneratör veya kurşun vektör , diyelim ki p _r zinciri, bir genel özvektör öyle ki ( A - λ I ) ^r p _r = 0, r Ürdün blok boyutudur. Vektör p ₁ = ( A - λ I ) ^{r -1} p _r X karşılık gelen bir özvektördür. Genel olarak, p _i , A − λ I altında p _{ben −1'in} bir ön görüntüsüdür . Böylece öncü vektör, ( A − λ I ) ile çarpma yoluyla zinciri oluşturur .

Bu nedenle, her A kare matrisinin Jordan normal biçimine alınabileceği ifadesi, yalnızca A'nın özvektörlerinden ve genelleştirilmiş özvektörlerinden oluşan bir temelin var olduğu iddiasına eşdeğerdir .

Kanıt

Bir elde endüksiyon ile ispat herhangi bir karmaşık-değerli matrisi Ürdün normal formda konulabilir ki. 1 × 1 durum önemsizdir. Let bir bir olması , n x n matrisi. Herhangi al Özdeğer ait  A . Aralığı içinde A - λ I Ran ile gösterilen, ( A - λ I ), bir bir değişmez alt uzay içinde A . Λ bir özdeğeridir Aynı zamanda, A , Ran boyutu ( A - λ I ), R , kesinlikle daha az olan n . Let A ' bir kısıtlama ifade A Ran ( A - λ I ), endüktif hipotezi tarafından, bir vardır temel { p ₁ , ..., p _r şekilde} A' , bu esasa göre ifade, Ürdün, normal olduğu biçim.

Sonra çekirdeği , yani Ker( A − λ I ) alt uzayını düşünün . Eğer

${\displaystyle \mathrm {Ran} (A-\lambda I)\cap \mathrm {Ker} (A-\lambda I)=\{0\},}$

istenen sonuç, sıra-boşluk teoreminden hemen sonra gelir . Bu, örneğin, bu durum geçerli olacaktır A idi Hermitik .

Aksi takdirde, eğer

${\displaystyle Q=\mathrm {Ran} (A-\lambda I)\cap \mathrm {Ker} (A-\lambda I)\neq \{0\},}$

boyutu izin Q olduğu S ≤ r . Q'daki her vektör, λ özdeğerine karşılık gelen bir A' özvektörüdür . Ürdün şekilde Böylece A' içermelidir s tekabül Ürdün zincirleri s lineer bağımsız özvektörler. Bu nedenle, { p ₁ , ..., p _r } temeli s vektörlerini içermelidir , diyelim ki { p _{r − s +1} , ..., p _r }, Ürdün normal biçiminden bu Jordan zincirlerindeki öncü vektörlerdir. A' . Bu öncü vektörlerin ön görüntülerini alarak "zincirleri uzatabiliriz". (Bu, argümanın kilit adımıdır; genel olarak, genelleştirilmiş özvektörlerin Ran( A − λ I ) içinde olması gerekmez .) q _i öyle olsun ki

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ for }}i=r-s+1,\ldots ,r.}$

Açıkça, q _i'nin önemsiz olmayan hiçbir lineer kombinasyonu Ker( A − λ I ) içinde yer alamaz . Bundan başka, herhangi bir önemsiz olmayan bir doğrusal kombinasyonu q _i Ran olabilir ( bir - λ I ), her bir varsayım çelişir için p _i Bir Jordan zincirinde bir kurşun vektördür. A − λ I altında lineer bağımsız { p _i } kümesinin ön görüntüleri olan { q _i } kümesi de lineer olarak bağımsızdır.

Son olarak, yayılan herhangi bir doğrusal bağımsız { z ₁ , ..., z _t } kümesini seçebiliriz.

${\displaystyle \;\mathrm {Ker} (A-\lambda I)/Q.}$

Yapısal olarak, { p ₁ , ..., p _r }, { q _{r − s +1} , ..., q _r } ve { z ₁ , ..., z _t } kümesinin birleşimi şu şekildedir: Doğrusal bağımsız. Birleşimdeki her vektör, A'nın bir özvektörü veya genelleştirilmiş bir özvektörüdür . Son olarak, sıra-boşluk teoremi ile birliğin kardinalitesi n'dir . Başka bir deyişle, A'nın özvektörlerinden ve genelleştirilmiş özvektörlerinden oluşan bir temel bulduk ve bu, A'nın Jordan normal formuna konabileceğini gösteriyor.

benzersizlik

Verilen bir A matrisinin Jordan normal formunun Jordan bloklarının sırasına kadar benzersiz olduğu gösterilebilir .

Özdeğerler cebirsel ve geometrik çoklukları bilmek Ürdün normal formu belirlemek için yeterli değildir , A . Bir özdeğer λ'nın cebirsel çokluğunun m (λ) bilindiği varsayılarak, Jordan formunun yapısı ( A − λ I ) ^{m (λ)} kuvvetlerinin rankları analiz edilerek belirlenebilir . Bunu görmek için, bir n × n matris A'nın yalnızca bir özdeğeri λ olduğunu varsayalım . Yani m (λ) = n . En küçük tamsayı k ₁ öyle ki

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

A'nın Ürdün biçimindeki en büyük Ürdün bloğunun boyutudur . (Bu k ₁ sayısı aynı zamanda λ indisi olarak da adlandırılır . Bir sonraki bölümdeki tartışmaya bakınız.)

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

k ₁ boyutundaki Jordan bloklarının sayısıdır . Benzer şekilde, rütbe

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

k ₁ boyutundaki Jordan bloklarının sayısı artı k ₁ -1 boyutundaki Jordan bloklarının sayısının iki katıdır . Genel durum benzer.

Bu, Jordan formunun benzersizliğini göstermek için kullanılabilir. Let J ₁ ve J ₂ iki Ürdün normal formlar olabilir A . Daha sonra J ₁ ve J ₂ benzerdir ve özdeğerler cebirsel çokluklar de dahil olmak üzere, aynı spektrum bilgisi. Bu matrislerin yapısını belirlemek için önceki paragrafta özetlenen prosedür kullanılabilir. Bir matrisin seviye benzerlik dönüşümü ile korunmuş olduğu için, Ürdün bloklar arasında bir bijection vardır J ₁ ve J ₂ . Bu, ifadenin benzersizlik kısmını kanıtlar.

Gerçek matrisler

Eğer bir gerçek matris, onun Jordan formu halen olmayan gerçek olabilir. Yukarıda tartışıldığı gibi, üst köşegen üzerinde karmaşık özdeğerler ve 1'ler ile temsil etmek yerine, gerçek bir tersine çevrilebilir P matrisi vardır, öyle ki P ^-1 AP = J , her bloğu gerçek bir Jordan bloğu olan gerçek bir blok köşegen matrisidir . Gerçek bir Jordan bloğu ya karmaşık bir Jordan bloğuyla aynıdır (karşılık gelen özdeğer gerçekse) ya da formun 2×2 bloklarından ( verilen cebirsel çokluğa sahip gerçek olmayan özdeğer için) oluşan bir blok matrisidir.${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}=a_{i}+ib_{i}}$

${\displaystyle C_{i}={\başlangıç{bmatrix}a_{i}&-b_{i}\\b_{i}&a_{i}\\\end{bmatrix}}}$

ve karmaşık düzlemde ile çarpmayı tanımlar . Süper köşegen bloklar 2×2 özdeşlik matrisleridir ve bu nedenle bu temsilde matris boyutları karmaşık Jordan formundan daha büyüktür. Tam gerçek Ürdün bloğu tarafından verilir ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle J_{i}={\başlangıç{bmatrix}C_{i}&I&&\\&C_{i}&\ddots &\\&&\ddots &I\\&&&C_{i}\\\end{bmatrix}}. }$

Bu gerçek Jordan formu, karmaşık Jordan formunun bir sonucudur. Gerçek bir matris için gerçek olmayan özvektörler ve genelleştirilmiş özvektörler her zaman karmaşık eşlenik çiftler oluşturmak üzere seçilebilir . Gerçel ve sanal kısmı (vektör ve eşleniğinin lineer birleşimi) alındığında, matris yeni temele göre bu forma sahiptir.

Bir alanda girişleri olan matrisler

Jordan indirgemesi , girdileri K alanında bulunan herhangi bir M kare matrisine genişletilebilir . Herhangi bir bu sonuç durumları M bir toplamı olarak yazılabilir D + N D olan yarı basit , N olan üstel sıfır ve DN = ND . Buna Jordan-Chevalley ayrışması denir . Her K özdeğer içerir M olduğunda, özellikle de K olduğu cebirsel kapalı normal bir şekilde olarak açık bir şekilde ifade edilebilir direkt toplamı Ürdün blok.

Duruma benzer K (taneleri boyutlarını bildikten, karmaşık sayılar olup M - λ I ) ^k 1 ≤ için k ≤ m , m, bir cebirsel çokluğu , özdeğer λ Ürdün şeklini belirlemek için bir izin verir ve M . Temeldeki V vektör uzayını , x'in V üzerindeki hareketini M'nin uygulaması olarak kabul ederek ve K- doğrusallığı ile genişleterek bir K [ x ]- modülü olarak görebiliriz. O zaman ( x  − λ) ^k polinomları M'nin temel bölenleridir ve Jordan normal formu, M'yi temel bölenlerle ilişkili bloklar cinsinden temsil etmekle ilgilidir.

Jordan normal formunun ispatı genellikle , bir asal ideal alan üzerinde sonlu olarak üretilmiş modüller için yapı teoreminin K [ x ] halkasına bir uygulama olarak gerçekleştirilir ve bunun bir sonucu olarak gerçekleştirilir.

Sonuçlar

Jordan normal formunun esasen kare matrisler için bir sınıflandırma sonucu olduğu görülebilir ve lineer cebirden elde edilen birkaç önemli sonuç, sonuçları olarak görülebilir.

Spektral haritalama teoremi

Ürdün, normal formu, doğrudan hesap için bir spektral dönüşüm teoremi verir polinom fonksiyonel hesap : Let bir bir olması , n x n özdeğerler λ matris ₁ , ..., λ _{, n} , daha sonra herhangi bir polinom için p , p ( A ) olan özdeğerler p (λ ₁ ), ..., p (λ _n ).

karakteristik polinom

Karakteristik polinomu ve A olduğu . Benzer matrisler aynı karakteristik polinoma sahiptir. Bu nedenle, , burada olduğu I inci kök ve bu açıkça Ürdün formunun karakteristik polinom olduğu için, farklılığı olan A . ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda IA)}$${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\textstyle p_{J}}$${\displaystyle m_{i}}$

Cayley-Hamilton teoremi

Cayley-Hamilton teoremi her matris iddia bir tatmin karakteristik denklemi: Eğer p olan karakteristik polinomu ve A , daha sonra . Bu, Ürdün formunda doğrudan hesaplama yoluyla gösterilebilir, çünkü eğer çokluğun bir özdeğeri ise , Ürdün bloğu açıkça tatmin eder . Diyagonal blokların birbirine etkilemez olarak, i diyagonal blok th olup ; dolayısıyla . ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\görüntüleme stili m}$${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$${\ Displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$

Jordan formu üzerinde, örneğin, matris temel alan uzanan bir alan üzerine var olduğu kabul edilebilir bölme alanına ait p ; bu alan uzantısı, p ( A ) matrisini hiçbir şekilde değiştirmez.

minimal polinom

Minimal polinom bir kare matris P A benzersizdir mghorta polinom az derecesi, m , öyle ki p ( A ) Alternatif olarak 0 değerini =, yok etmesi gereken bir verilen polinomların grubu bir ideal bir form I içinde C [ X ], temel ideal alan karmaşık katsayılı polinomlar. I'i oluşturan monik öğe tam olarak P'dir .

Λ olsun ₁ , ..., λ _q, belirgin özdeğerler olarak A ve s _ı X karşılık gelen en yüksek Ürdün bloğunun boyutu _i . Jordan normal formundan, A'nın minimal polinomunun Σ s _i derecesine sahip olduğu açıktır .

Jordan normal formu minimal polinomu belirlerken, tersi doğru değildir. Bu, temel bölenler kavramına yol açar . A kare matrisinin temel bölenleri , Jordan bloklarının karakteristik polinomlarıdır. Minimal polinom m'nin çarpanları, farklı özdeğerlere karşılık gelen en büyük derecenin temel bölenleridir.

Temel bir bölenin derecesi, karşılık gelen Jordan bloğunun boyutudur, dolayısıyla karşılık gelen değişmez alt uzayın boyutudur. Tüm temel bölenler doğrusal ise, A köşegenleştirilebilir.

Değişmez alt uzay ayrışmaları

Bir Ürdün şekilde n x n matris A diagonal ve bu nedenle bir ayrışmasını sağlar , n içine boyutlu Öklid alan değişmez bölme odasının bir A . Her Jordan bloğu J _i değişmez bir X _i alt uzayına karşılık gelir . Sembolik olarak koyduk

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

burada her bir X, _I karşılık gelen Ürdün zincirinin yayılma ve k Ürdün zincirlerinin sayısıdır.

Jordan formu aracılığıyla biraz farklı bir ayrıştırma da elde edilebilir. Bir özdeğer λ Verilen _I , en büyük karşılık gelen Ürdün blok boyutu s _ı olarak adlandırılan indeks λ arasında _i ve ile gösterilen cyclotron frekansının (λ _i ). (Dolayısıyla, minimal polinomun derecesi tüm indekslerin toplamıdır.) Y _i alt uzayını şu şekilde tanımlayın :

${\displaystyle Y_{i}=\operatöradı {Ker} (\lambda _{i}IA)^{\nu (\lambda _{i})}.}$

Bu ayrışma sağlar

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

burada L belirgin özdeğerler sayısıdır A . Sezgisel olarak, aynı özdeğere karşılık gelen Jordan bloğu değişmez alt uzaylarını bir araya toplarız. A'nın birim matrisinin bir katı olduğu uç durumda , k = n ve l = 1'e sahibiz .

Üzerine çıkıntı Y _i ve diğer tüm boyunca Y _j ( j ≠ i ) olarak adlandırılır spektral çıkıntı A λ de _i ve genellikle ile gösterilir P (λ _i  ; A ) . Spektral izdüşümler, eğer ben ≠ j ise P (λ _i  ; A ) P (λ _j  ; A ) = 0 anlamında karşılıklı olarak ortogonaldir . Ayrıca A ile yer değiştirirler ve toplamları birim matristir. Her λ değiştirilmesi _i Ürdün matrisinin J tek ve diğer tüm kayıtlar sıfırlanması veren P (λ _i  ; J dahası eğer) Uju ^-1 bu benzerlik dönüşüm olduğunu bir = Uju ^-1 sonra P (λ _i  ; A ) = YUKARI (λ _ben  ; J ) U ^-1 . Sonlu boyutlarla sınırlı değildirler. Kompakt operatörlere uygulamaları için aşağıya ve daha genel bir tartışma için holomorfik fonksiyonel analize bakın.

İki ayrıştırmayı karşılaştırarak, genel olarak l ≤ k olduğuna dikkat edin . A normal olduğunda , ilk ayrıştırmadaki X _i alt uzayları tek boyutludur ve karşılıklı olarak diktir. Bu, normal operatörler için spektral teoremdir . İkinci ayrıştırma, Banach uzaylarında genel kompakt operatörler için daha kolay genelleştirilir.

Burada ν ( λ ) indeksinin bazı özelliklerini not etmek ilginç olabilir . Daha genel olarak, karmaşık bir λ sayısı için indeksi, negatif olmayan en küçük tamsayı ν (λ) olarak tanımlanabilir, öyle ki

${\displaystyle \mathrm {Ker} (\lambda -A)^{\nu (\lambda )}=\operatöradı {Ker} (\lambda -A)^{m},\;\forall m\geq \nu ( \lambda ).}$

Yani ν (Â)> 0 ancak ve ancak λ bir özdeğeridir ise A . Sonlu boyutlu durumda, ν (λ) ≤ λ'nın cebirsel çokluğu.

Düzlem (düz) normal form

Jordan formu, normal matrislerin ortam matris uzayında düşük sabit dereceli bir cebirsel çeşitlilik oluşturacak şekilde eşlenikliğe kadar normal bir matris biçimi bulmak için kullanılır.

Jordan normal formu veya genel olarak rasyonel kanonik formlar için matris eşlenik sınıflarının temsilcilerinin kümeleri, ortam matris uzaylarında doğrusal veya afin alt uzaylar oluşturmaz.

Vladimir Arnold bir problem ortaya koydu: Matris eşlenik sınıflarının temsilcileri kümesinin afin lineer alt uzayların (düzler) birleşimi olduğu bir alan üzerinde kanonik bir matris formu bulun. Başka bir deyişle, matris eşlenik sınıfları kümesini ilk matris kümesine dolaylı olarak eşleyin, böylece bu yerleştirmenin görüntüsü -tüm normal matrislerin kümesi, mümkün olan en düşük dereceye sahip olur- kaydırılmış doğrusal alt uzayların bir birleşimi olur.

Cebirsel olarak kapalı alanlar için Peteris Daugulis tarafından çözüldü. Bir matrisin benzersiz bir şekilde tanımlanmış düzlem normal biçiminin inşası , Ürdün normal biçimini dikkate alarak başlar.

matris fonksiyonları

Ürdün zincirinin yinelenmesi, çeşitli uzantıları daha soyut ayarlara motive eder. Sonlu matrisler için matris fonksiyonları elde edilir; bu, aşağıda daha ayrıntılı olarak açıklandığı gibi, kompakt operatörlere ve holomorfik fonksiyonel analize genişletilebilir.

Jordan normal formu, matris işlevlerinin hesaplanması için en uygun olanıdır (bilgisayar hesaplamaları için en iyi seçenek olmasa da). Let f ( Z ) kompleks argüman analitik bir fonksiyonu. İşlevi, özdeğeri λ olan bir n × n Jordan bloğu J'ye uygulamak, bir üst üçgen matrisle sonuçlanır:

${\displaystyle f(J)={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f'(\lambda )&{\tfrac {f''(\lambda )}{2}}&\cdots &{\tfrac { f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f'(\lambda )&\cdots &{\tfrac {f^{(n- 2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&f(\lambda )&f'(\lambda )\\0&0&0&f( \lambda )\end{bmatris}},}$

öylesine elemanlarının k inci superdiagonal elde edilen matris vardır . Genel Jordan normal formunun bir matrisi için yukarıdaki ifade her bir Jordan bloğuna uygulanacaktır. ${\displaystyle {\tfrac {f^{(k)}(\lambda )}{k!}}}$

Aşağıdaki örnek, f ( z )= z ⁿ güç fonksiyonuna uygulamayı gösterir :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\ lambda _{2}\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^ {n-1}&{\tbinom {n}{2}}\lambda _{1}^{n-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{ 1}}\lambda _{1}^{n-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{n}&0&0\\0&0&\lambda _{2}^{n}&{\tbinom {n} {1}}\lambda _{2}^{n-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{n}\end{bmatrix}},}$

burada binom katsayıları olarak tanımlanır . Tamsayı pozitif n için katsayıların standart tanımına indirgenir. Negatif n için kimlik kullanılabilir. ${\textstyle {\binom {n}{k}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}}}$${\textstyle {\binom {-n}{k}}=\sol(-1\sağ)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}}$

Kompakt operatörler

Jordan normal formuna benzer bir sonuç , bir Banach uzayındaki kompakt operatörler için geçerlidir . Biri, kompakt operatörlerle sınırlıdır, çünkü bir kompakt operatör T'nin spektrumundaki her x noktası bir özdeğerdir; Tek istisna, x'in spektrumun sınır noktası olmasıdır. Bu, genel olarak sınırlı operatörler için geçerli değildir. Bu genelleme hakkında bir fikir vermek için, önce Ürdün ayrıştırmasını işlevsel analiz dilinde yeniden formüle ediyoruz.

Holomorfik fonksiyonel hesap

Let X'in Banah alanı olabilir L ( X sınırlanmış operatörler) X ve σ ( T ) belirtir spektrum bölgesinin T ∈ L ( X ). Holomorfik fonksiyonel taşı , aşağıdaki gibi tanımlanır:

Sınırlı bir işleci düzeltin T . σ ( T ) içeren bazı açık G kümesinde holomorfik olan karmaşık fonksiyonların Hol( T ) ailesini düşünün . Γ = {olsun γ _i } sonlu bir toplama olabilir Ürdün eğrileri bu şekilde σ ( T olarak) yalan içinde M'nin, tanımladığımızı f ( T ) ile

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(zT)^{-1}dz.}$

Açık küme G , f ile değişebilir ve bağlanmasına gerek yoktur. İntegral, skaler durumda olduğu gibi Riemann toplamlarının limiti olarak tanımlanır. Sürekli f için integral mantıklı olsa da , klasik fonksiyon teorisinden (örneğin, Cauchy integral formülü) makineyi uygulamak için holomorfik fonksiyonlarla sınırlandırıyoruz. σ ( T )'nin Γ'nin içinde yer aldığı varsayımı, f ( T )'nin iyi tanımlanmış olmasını sağlar ; Γ seçimine bağlı değildir. Fonksiyonel hesap, Hol( T ) 'den L ( X )'e aşağıdaki şekilde verilen Φ eşlemesidir .

${\görüntüleme stili \;\Phi (f)=f(T).}$

Bu fonksiyonel hesabın aşağıdaki özelliklerine ihtiyacımız olacak:

1. Φ polinom fonksiyonel hesabı genişletir.
2. Spektral eşleme teoremi tutar: σ ( f ( T )) = f ( σ ( T )).
3. Φ bir cebir homomorfizmidir.

sonlu boyutlu durum

Sonlu boyutlu durumda, σ ( T ) = {λ _i } karmaşık düzlemde sonlu ayrık bir kümedir. e _i , λ _{i'nin bir} açık komşuluğunda 1 ve başka bir yerde 0 olan fonksiyon olsun . Fonksiyonel hesabın 3. özelliğine göre, operatör

${\displaystyle e_{i}(T)}$

bir projeksiyondur. Ayrıca, ν _i , λ _i'nin indeksi olsun ve

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

Spektral haritalama teoremi bize şunu söyler:

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

{0} spektrumuna sahiptir. Özellik 1 ile f ( T ) Ürdün formunda doğrudan hesaplanabilir ve inceleme ile f ( T ) e _i ( T ) operatörünün sıfır matris olduğunu görürüz .

Özellik 3 ile, f ( T ) e _ben ( T ) = e _ben ( T ) f ( T ). Yani e _i ( T ) tam olarak alt uzaya izdüşümdür

${\displaystyle \operatöradı {Ran} e_{i}(T)=\mathrm {Ker} (T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

İlişki

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

ima eder

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\;\mathrm {Ker} (T- \lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

burada i indeksi , T'nin farklı özdeğerlerinden geçer . Bu değişmez alt uzay ayrışmasıdır

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

bir önceki bölümde verilmiştir. Her e _i ( T ), λ _i'ye karşılık gelen Ürdün zincirleri tarafından yayılan alt uzaya ve j ≠ i için λ _j'ye karşılık gelen Ürdün zincirleri tarafından yayılan altuzaylara izdüşümdür . Başka bir deyişle, e _ben ( T ) = P (λ _ben ; T ). e _i ( T ) operatörlerinin bu açık tanımı, matrisler için açık bir holomorfik fonksiyonel hesap biçimi verir:

Tüm f ∈ Hol( T ) için

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f ^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

f ( T ) ifadesinin sonlu bir toplam olduğuna dikkat edin, çünkü λ _i'nin her komşuluğunda f'nin λ _i merkezli Taylor serisi açılımını seçtik .

Bir operatörün kutupları

Let , T arasında bir izole edilmiş noktası λ sınırlı bir operatör σ ( T ). (Yukarıda belirtildiği gibi, T kompakt olduğunda , muhtemelen sınır noktası 0 dışında, spektrumundaki her nokta izole bir noktadır.)

Çözücü fonksiyonu R _T tarafından tanımlanırsa, λ noktasına ν sıralı T operatörünün bir kutbu denir .

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

λ'da ν mertebesinde bir kutba sahiptir .

Sonlu boyutlu durumda, bir özdeğerin mertebesinin indeksiyle çakıştığını göstereceğiz. Sonuç, kompakt operatörler için de geçerlidir.

Açık disk B _ε (λ) ve σ ( T )'nin kesişimi {λ} olacak şekilde yeterince küçük yarıçaplı ε özdeğerinde λ merkezli dairesel A bölgesini düşünün . Çözücü işlevi R, _T ile holomorfik olan A . Klasik fonksiyonu teorisi ile ilgili bir sonuç uzanan, R, _T , bir yer alır Laurent serileri ile temsil A :

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

nerede

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(zT)^{-1}dz }$ve C , λ merkezli küçük bir dairedir.

Fonksiyonel hesapla ilgili önceki tartışmaya göre,

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$nerede 1 açık ve 0 başka yerde.${\displaystyle e_{\lambda }}$${\displaystyle B_{\epsilon }(\lambda )}$

Ancak en küçük pozitif tamsayının m olduğunu gösterdik.

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$ ve ${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

tam olarak λ, ν (λ) indeksidir . Diğer bir deyişle, işlev R, _T düzeni bir kutbu vardır cyclotron frekansının X de (λ).

Sayısal analiz

A matrisinin birden fazla özdeğeri varsa veya birden çok özdeğeri olan bir matrise yakınsa, Jordan normal formu bozulmalara karşı çok hassastır. Örneğin matrisi düşünün

${\displaystyle A={\başlangıç{bmatrix}1&1\\\varepsilon &1\end{bmatrix}}.}$

Eğer ε = 0, daha sonra Ürdün, normal formu basitçe

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Ancak, ε ≠ 0 için Ürdün normal formu

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\sqrt {\varepsilon }}&0\\0&1-{\sqrt {\varepsilon }}\end{bmatrix}}.}$

Bu kötü koşullandırma , Ürdün normal formu için sağlam bir sayısal algoritma geliştirmeyi çok zorlaştırır, çünkü sonuç kritik olarak iki özdeğerin eşit olarak kabul edilip edilmediğine bağlıdır. Bu nedenle, sayısal analizde Ürdün normal formundan genellikle kaçınılır ; kararlı Schur ayrıştırması veya psödospektra daha iyi alternatiflerdir.

Ayrıca bakınız

• kanonik temel
• kanonik form
• Frobenius'un normal formu
• Ürdün matrisi
• Ürdün-Chevalley ayrışması
• matris ayrıştırma
• Modal matris
• Weyr kanonik formu

Notlar

Referanslar