Sonsuz mantık - Infinitary logic

Bir infinitary mantık bir olan mantık sonsuz uzunlukta verir ifadeleri ve / veya sonsuz uzunlukta provaları . Bazı sonsuz mantık, standart birinci dereceden mantığınkilerden farklı özelliklere sahip olabilir . Özellikle, sonsuz mantık, kompakt veya eksiksiz olmayabilir . Sonlu mantıkta eşdeğer olan kompaktlık ve bütünlük kavramları bazen sonsuz mantıkta böyle değildir. Bu nedenle sonsuz mantık için güçlü kompaktlık ve güçlü tamlık kavramları tanımlanır. Bu makale, Hilbert tipi sonsuz mantığa değinmektedir , çünkü bunlar kapsamlı bir şekilde incelenmiştir ve sonlu mantığın en basit uzantılarını oluştururlar. Ancak bunlar formüle edilmiş veya üzerinde çalışılmış tek sonsuz mantık değildir.

Ω- mantık adlı belirli bir sonsuz mantığın eksiksiz olup olmadığını düşünmek , süreklilik hipotezine ışık tutmayı vaat ediyor .

Gösterim ve seçim aksiyomu üzerine bir kelime

Sonsuz uzun formülleri olan bir dil sunulduğu için, bu tür formülleri açıkça yazmak mümkün değildir. Bu problemin üstesinden gelmek için, kesinlikle resmi dilin bir parçası olmayan bir dizi notasyonel kolaylık kullanılır. sonsuz uzunlukta bir ifadeyi belirtmek için kullanılır. Belirsiz olduğu yerde, dizinin uzunluğu daha sonra not edilir. Bu gösterimde belirsiz hale gelmesi ya kafa yerde olarak, bu son ekleri sonsuz işaret etmek için kullanılmaktadır ayrılma formülleri kümesi üzerinde cardinality . Aynı gösterim, örneğin niceleyicilere de uygulanabilir . Her biri için bir quantifer: Bu niceleyicilerin sonsuz bir dizi anlamındadır yerde . ${\ displaystyle \ cdots}$${\ displaystyle \ bigvee _ {\ gamma <\ delta} {A _ {\ gamma}}}$ ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ forall _ {\ gamma <\ delta} {V _ {\ gamma}:}}$${\ displaystyle V _ {\ gamma}}$${\ displaystyle \ gamma <\ delta}$

Son eklerin tüm kullanımları ve biçimsel sonsuz dillerin parçası değildir. ${\ displaystyle \ cdots}$

Mantıklı dağıtım yasalarına sahip olmak için gerekli olduğu için seçim aksiyomu varsayılır (sonsuz mantığı tartışırken sıklıkla yapıldığı gibi).

Hilbert tipi sonsuz mantığın tanımı

Birinci dereceden sonsuz mantık L _{α , β} , α normal , β = 0 veya ω ≤ β ≤ α , sonlu bir mantıkla aynı semboller kümesine sahiptir ve sonlu bir mantığın formüllerinin oluşturulması için tüm kuralları birlikte kullanabilir bazı ek bilgiler:

• O zaman bir dizi formül verilir ve bunlar formüllerdir. (Her durumda dizinin uzunluğu vardır .) ${\ displaystyle A = \ {A _ {\ gamma} | \ gamma <\ delta <\ alpha \}}$${\ displaystyle (A_ {0} \ lor A_ {1} \ lor \ cdots)}$${\ displaystyle (A_ {0} \ land A_ {1} \ land \ cdots)}$${\ displaystyle \ delta}$
• Değişken bir dizi göz önüne alındığında, ve bir formül sonra ve formüllerdir. (Her durumda niceleyiciler dizisinin uzunluğu vardır .) ${\ displaystyle V = \ {V _ {\ gamma} | \ gamma <\ delta <\ beta \}}$${\ displaystyle A_ {0}}$${\ displaystyle \ forall V_ {0}: \ forall V_ {1} \ cdots (A_ {0})}$${\ displaystyle \ var V_ {0}: \ var V_ {1} \ cdots (A_ {0})}$${\ displaystyle \ delta}$

Serbest ve sınırlı değişken kavramları aynı şekilde sonsuz formüllere uygulanır. Tıpkı sonlu mantıkta olduğu gibi, tüm değişkenleri bağlı olan bir formül cümle olarak adlandırılır .

Bir teori T infinitary mantığında mantık cümlelerin kümesidir. T teorisinden sonsuz mantıkta bir kanıt , aşağıdaki koşullara uyan bir dizi uzunluk ifadeleridir : Her ifade ya mantıksal bir aksiyomdur, T'nin bir öğesidir veya bir çıkarım kuralı kullanılarak önceki ifadelerden çıkarılır. Daha önce olduğu gibi, sonlu mantıktaki tüm çıkarım kuralları, ek bir tane ile birlikte kullanılabilir: ${\ displaystyle L _ {\ alpha, \ beta}}$${\ displaystyle \ gamma}$

• İspatta daha önce meydana gelen bir dizi ifade verildiğinde, ifade çıkarılabilir. ${\ displaystyle A = \ {A _ {\ gamma} | \ gamma <\ delta <\ alpha \}}$${\ displaystyle \ land _ {\ gamma <\ delta} {A _ {\ gamma}}}$

Sonsuz mantığa özgü mantıksal aksiyom şemaları aşağıda sunulmuştur. Global şema değişkenleri: ve böyle . ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle 0 <\ delta <\ alpha}$

• ${\ displaystyle ((\ land _ {\ epsilon <\ delta} {(A _ {\ delta} \, A _ {\ epsilon})}) \ anlamına gelir (A _ {\ delta} \, \ land _ {\ epsilon <\ anlamına gelir delta} {A _ {\ epsilon}}))}$
• Her biri için , ${\ displaystyle \ gamma <\ delta}$${\ displaystyle ((\ land _ {\ epsilon <\ delta} {A _ {\ epsilon}}) \, A _ {\ gamma})} anlamına gelir$
• Chang'ın dağıtım yasaları (her biri için ):, nerede veya , ve ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle (\ lor _ {\ mu <\ gamma} {(\ land _ {\ delta <\ gamma} {A _ {\ mu, \ delta}})}}$${\ displaystyle \ forall \ mu \ forall \ delta \ var \ epsilon <\ gamma: A _ {\ mu, \ delta} = A _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle A _ {\ mu, \ delta} = \ neg A _ {\ epsilon}}$${\ displaystyle \ forall g \ in \ gamma ^ {\ gamma} \ var \ epsilon <\ gamma: \ {A _ {\ epsilon}, \ neg A _ {\ epsilon} \} \ subseteq \ {A _ {\ mu, g (\ mu)}: \ mu <\ gamma \}}$
• İçin , iyi bir sipariş nerede ${\ displaystyle \ gamma <\ alpha}$${\ displaystyle ((\ land _ {\ mu <\ gamma} {(\ lor _ {\ delta <\ gamma} {A _ {\ mu, \ delta}})}) \ (\ lor _ {\ epsilon < \ gamma ^ {\ gamma}} {(\ land _ {\ mu <\ gamma} {A _ {\ mu, \ gamma _ {\ epsilon} (\ mu)})}})}$${\ displaystyle \ {\ gamma _ {\ epsilon}: \ epsilon <\ gamma ^ {\ gamma} \}}$${\ displaystyle \ gama ^ {\ gama}}$

Son iki aksiyom şeması seçim aksiyomunu gerektirir çünkü belirli kümeler iyi sıralanabilir olmalıdır . Son aksiyom şeması, Chang'ın dağıtım yasalarının ima ettiği için kesinlikle gereksizdir, ancak mantığın doğal zayıflamalarına izin vermenin doğal bir yolu olarak dahil edilmiştir.

Tamlık, kompaktlık ve güçlü bütünlük

Bir teori, herhangi bir ifadeler dizisidir. Modellerdeki ifadelerin doğruluğu özyineleme ile tanımlanır ve her ikisinin de tanımlandığı sonlu mantık tanımına uyacaktır. Bir teori Verilen T açıklamada teorisi için geçerli olduğu söylenir T o tüm modellerinde doğruysa T .

Bir mantık her cümle için eğer tamamlandıktan S her modelde geçerli bir delil olmamasina S . Herhangi bir teori için eğer kuvvetli tamdır T her cümle için S geçerli T bir kanıt bulunmadığını S den T . Sonsuz bir mantık, güçlü bir şekilde tamamlanmadan tamamlanabilir. ${\ displaystyle L _ {\ alpha, \ beta}}$

Bir ana olan zayıf kompakt zaman her teorisine T içinde en ihtiva eden her halinde, bir çok formüller G , T cardinality az bir model vardır, daha sonra , T bir model vardır. Bir ana olan güçlü bir kompakt zaman her teori için T içinde her ise, boyutu kısıtlama olmaksızın, S , T cardinality az bir model vardır, daha sonra , T bir model vardır. ${\ displaystyle \ kappa \ neq \ omega}$${\ displaystyle L _ {\ kappa, \ kappa}}$${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle \ subseteq}$ ${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle \ kappa \ neq \ omega}$${\ displaystyle L _ {\ kappa, \ kappa}}$ ${\ displaystyle \ subseteq}$ ${\ displaystyle \ kappa}$

Sonsuz mantıkta ifade edilebilir kavramlar

Küme teorisi dilinde aşağıdaki ifade temeli ifade eder :

${\ displaystyle \ forall _ {\ gamma <\ omega} {V _ {\ gamma}:} \ neg \ land _ {\ gamma <\ omega} {V _ {\ gamma +} \ in V _ {\ gamma}}. \ ,}$

Temelin aksiyomunun aksine, bu ifade standart olmayan yorumlara izin vermez. Sağlam temel kavramı, yalnızca bireysel bir ifadede sonsuz sayıda niceleyiciye izin veren bir mantıkla ifade edilebilir. Sonuç olarak, Peano aritmetiği de dahil olmak üzere , sonlu mantıkta doğru bir şekilde aksiyomatize edilemeyen birçok teori, uygun bir sonsuz mantıkta olabilir. Diğer örnekler, arşimet olmayan alanlar ve burulma içermeyen gruplar teorilerini içerir . Bu üç teori, sonsuz niceleme kullanılmadan tanımlanabilir; sadece sonsuz kavşaklara ihtiyaç vardır.

Eksiksiz sonsuz mantık

İki sonsuz mantık, bütünlüklerinde göze çarpmaktadır. Bunlar ve . İlki, standart sonlu birinci dereceden mantıktır ve ikincisi, yalnızca sayılabilir büyüklükteki ifadelere izin veren sonsuz bir mantıktır. ${\ displaystyle L _ {\ omega, \ omega}}$${\ displaystyle L _ {\ omega _ {1}, \ omega}}$

${\ displaystyle L _ {\ omega, \ omega}}$ aynı zamanda son derece eksiksiz, kompakt ve son derece kompakttır.

${\ displaystyle L _ {\ omega _ {1}, \ omega}}$ kompakt olamaz, ancak tamamlanmıştır (yukarıda verilen aksiyomlar altında). Dahası, Craig interpolasyon özelliğinin bir varyantını karşılar .

Eğer (yukarıda verilen aksiyomlar altında) sonra kuvvetli tamdır (bu mantık içinde deliller kullanamazsınız çünkü kuvvetle kompakt ya da daha fazla verilen aksiyomlar). ${\ displaystyle L _ {\ alpha, \ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha}$

Referanslar

• Karp, Carol R. (1964), Sonsuz uzunlukta ifadeler içeren diller , Amsterdam: North-Holland Publishing Co., MR   0176910
• Barwise, Kenneth Jon (1969), "Sonsuz mantık ve kabul edilebilir kümeler", Sembolik Mantık Dergisi , 34 (2): 226–252, doi : 10.2307 / 2271099 , JSTOR   2271099 , MR   0406760