Genelleştirilmiş normal dağılım - Generalized normal distribution

Genelleştirilmiş normal dağılım veya genelleştirilmiş Gauss dağılımı (GGD) ya iki ailenin olduğunu parametrik sürekli olasılık dağılımları üzerinde gerçek dışı. Her iki aile de normal dağılıma bir şekil parametresi ekler . İki aileyi ayırt etmek için aşağıda "versiyon 1" ve "versiyon 2" olarak anılırlar. Ancak bu standart bir isimlendirme değildir.

Versiyon 1

Genelleştirilmiş Normal (sürüm 1)

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu
parametreler	${\görüntüleme stili \mu\,}$ konum ( gerçek ) ölçek (olumlu, gerçek ) şekil (olumlu, gerçek ) ${\görüntüleme stili \alfa \,}$ ${\görüntüleme stili \beta\,}$
Destek	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\beta} {2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\;e^{-(|x-\mu |/\alpha )^{\beta }}}$ ${\görüntüleme stili \Gama }$gama işlevini belirtir
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {{\text{sign}}(x-\mu )}{2}}{\frac {1}{\Gamma \left({\ frac {1}{k}}\sağ)}}\gamma \left({\frac {1}{k}},x\theta ^{k}\sağ)}$ nerede bir şekil parametresi ve bir oran parametresidir. ${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili \teta}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\text{sign}}(x-\mu ){\frac {1}{2\Gamma (1/\beta )}}\gamma \left( 1/\beta ,\sol|{\frac {x-\mu }{\alpha }}\sağ|^{\beta }\sağ)}$ burada bir şekil parametresidir bir ölçü parametredir ve bir normalleştirilmemiş eksik alt gamma fonksiyonu .${\görüntüleme stili \beta }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili \gama }$
Çeyreklik	${\displaystyle {\text{işaret}}(p-0.5)F^{-1}\left(2|p-0.5|;{\frac {1}{\beta }},{\frac {1}{ \alpha ^{\beta }}}\sağ)^{1/\beta }+\mu }$ Gama dağılımının nicel işlevi nerede${\displaystyle F^{-1}\sol(p;a,b\sağ)}$
Anlamına gelmek	${\görüntüleme stili \mu\,}$
Medyan	${\görüntüleme stili \mu\,}$
mod	${\görüntüleme stili \mu\,}$
Varyans	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}\Gamma (3/\beta )}{\Gamma (1/\beta )}}}$
çarpıklık	0
Eski. Basıklık	${\displaystyle {\frac {\Gama (5/\beta )\Gama (1/\beta )}{\Gama (3/\beta )^{2}}}-3}$
Entropi	${\displaystyle {\frac {1}{\beta }}-\log \sol[{\frac {\beta }{2\alpha \Gamma (1/\beta )}}\sağ]}$

Üstel güç dağılımı veya genelleştirilmiş hata dağılımı olarak da bilinen bu, simetrik dağılımların parametrik bir ailesidir. Tüm normal ve Laplace dağılımlarını içerir ve sınırlayıcı durumlar olarak gerçek doğrunun sınırlı aralıklarındaki tüm sürekli düzgün dağılımları içerir .

Bu aile, ne zaman (ortalama ve varyans ile ) normal dağılımını ve ne zaman Laplace dağılımını içerir . Olarak , yoğunluk noktasal olarak üzerinde düzgün bir yoğunluğa yakınsar . ${\görüntüleme stili\metin stili\beta =2}$${\görüntüleme stili \metin stili \mu }$${\displaystyle \textstyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}}$${\displaystyle \textstyle \beta =1}$${\displaystyle \textstyle \beta \rightarrow \infty }$${\displaystyle \textstyle (\mu -\alpha ,\mu +\alpha )}$

Bu aile, normalden daha ağır ( ne zaman ) veya normalden daha hafif ( ne zaman ) kuyruklara izin verir . Normal ( ) den düzgün yoğunluğa ( ) uzanan simetrik, platykurtik yoğunlukların bir sürekliliğini ve Laplace'dan ( ) normal yoğunluğa ( ) uzanan simetrik, leptokurtik yoğunlukların bir sürekliliğini parametreleştirmenin kullanışlı bir yoludur . ${\görüntüleme stili \beta <2}$${\görüntüleme stili \beta >2}$${\görüntüleme stili\metin stili\beta =2}$${\displaystyle \textstyle \beta =\infty }$${\displaystyle \textstyle \beta =1}$${\görüntüleme stili\metin stili\beta =2}$

parametre tahmini

Maksimum olabilirlik ile parametre tahmini ve moment yöntemi çalışılmıştır. Tahminler kapalı bir forma sahip değildir ve sayısal olarak elde edilmelidir. Sayısal hesaplama gerektirmeyen tahminciler de önerilmiştir.

(C sınıfı ait yani genel Normal log olabilirlik fonksiyonu sonsuz sayıda sürekli türevleri yer alır ^∞ arasında düz fonksiyonları ise) daha tam sayı, bir pozitif. Aksi takdirde, fonksiyonun sürekli türevleri vardır. Sonuç olarak, maksimum olabilirlik tahminlerinin tutarlılığı ve asimptotik normalliği için standart sonuçlar yalnızca . ${\görüntüleme stili\metin stili\beta }$${\displaystyle \textstyle \lfloor \beta \rfloor }$${\görüntüleme stili \beta }$${\displaystyle \textstyle \beta \geq 2}$

Maksimum olabilirlik tahmincisi

Yaklaşık bir maksimum olabilirlik yöntemini benimseyen genelleştirilmiş normal dağılıma uymak mümkündür . İle ilk örnek ilk an ayarlanmış , bir kullanılarak tahmin edilmektedir Newton-Raphson bir ilk tahmin başlayarak yinelemeli bir prosedür , ${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili m_{1}}$${\görüntüleme stili\metin stili\beta }$${\displaystyle \textstyle \beta =\textstyle \beta _{0}}$

${\displaystyle \beta _{0}={\frac {m_{1}}{\sqrt {m_{2}}}},}$

nerede

${\displaystyle m_{1}={1 \over N}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}|,}$

mutlak değerlerin ilk istatistiksel momenti ve ikinci istatistiksel momenttir . yineleme ${\ Displaystyle m_{2}}$

${\displaystyle \beta _{i+1}=\beta _{i}-{\frac {g(\beta _{i})}{g'(\beta _{i})}},}$

nerede

${\displaystyle g(\beta )=1+{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta }}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i }-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\mu |}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }} }+{\frac {\log({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta })}{\ beta }},}$

ve

${\displaystyle {\begin{aligned}g'(\beta )={}&-{\frac {\psi (1/\beta )}{\beta ^{2}}}-{\frac {\psi ' (1/\beta )}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}-{\frac {\sum _{i=1}^{N}| x_{i}-\mu |^{\beta }(\log |x_{i}-\mu |)^{2}}{\sum _{i=1}^{N}|x_{i}- \mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}+{\frac {\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\ beta }\log |x_{i}-\mu |\sağ)^{2}}{\left(\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\right)^{2}}}+{\frac {\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\log |x_{i}-\ mu |}{\beta \sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}}\\[6pt]&{}-{\frac {\log \ sol({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\sağ)}{\beta ^{2} }},\end{hizalanmış}}}$

ve nerede ve olan digamma fonksiyonu ve trigama fonksiyonu . ${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili \psi '}$

için bir değer verildiğinde , aşağıdakilerin minimumunu bularak tahmin yapmak mümkündür : ${\görüntüleme stili\metin stili\beta }$${\görüntüleme stili \mu }$

${\displaystyle \min _{\mu }=\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }}$

Son olarak şu şekilde değerlendirilir ${\ Displaystyle \ textstyle \ alfa }$

${\displaystyle \alpha =\left({\frac {\beta }{N}}\sum _{i=1}^{N}|x_{i}-\mu |^{\beta }\sağ)^ {1/\beta }.}$

Çünkü medyan , için daha uygun bir tahmin edicidir . Bir kez tahmin edilmektedir, ve yukarıda tarif edildiği gibi değerlendirilebilir. ${\ Displaystyle \ beta \ leq 1}$${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \beta }$${\görüntüleme stili \alfa }$

Uygulamalar

Genelleştirilmiş normal dağılımın bu versiyonu, ortalama ve kuyruk davranışı etrafındaki değerlerin konsantrasyonu özellikle ilgi çekici olduğunda modellemede kullanılmıştır. Odak normallikten başka sapmalar ise, diğer dağılım aileleri kullanılabilir. Eğer simetri dağıtım ana ilgi, bir eğri, normal bir aile ya da aşağıda ele alınan genel normal ailesinin bir sürüm 2 kullanılabilir. Kuyruk davranışı ana ilgi alanıysa, serbestlik dereceleri sonsuza kadar büyüdükçe normal dağılıma yaklaşan öğrenci t ailesi kullanılabilir. t dağılımı, bu genelleştirilmiş normal dağılımın aksine , orijinde bir tepe noktası almadan normal kuyruklardan daha ağır olur .

Özellikler

anlar

Şekil ve ölçekleme parametresinin genelleştirilmiş Gauss dağılımının ortalaması sıfır olsun . -1'den büyük herhangi bir k için var ve sonlu momentler . Negatif olmayan herhangi bir k tamsayısı için, düz merkezi momentler ${\displaystyle X_{\beta }}$${\görüntüleme stili \beta }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle X_{\beta }}$

${\displaystyle \operatöradı {E} \left[X_{\beta }^{k}\sağ]={\begin{cases}0&{\text{if }}k{\text{ tektir,}}\\ \alpha ^{k}\Gamma \sol({\frac {k+1}{\beta }}\sağ){\Big /}\,\Gamma \left({\frac {1}{\beta }} \right)&{\text{eğer }}k{\text{ çift ise.}}\end{durumlar}}}$

Kararlı Sayım Dağıtımına Bağlantı

Açısından bakıldığında Kararlı sayım dağılımı , Lévy'nin kararlılık parametresi olarak kabul edilebilir. Bu dağılım, çekirdeğin bir Laplace dağılımı veya bir Gauss dağılımı olduğu bir çekirdek yoğunluğunun integraline ayrıştırılabilir : ${\görüntüleme stili \beta }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\beta }}+1)}}e^{-z^{\beta }} ={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z |/\nu }\sağ){\mathfrak {N}}_{\beta }(\nu )\,d\nu ,&1\geq \beta >0;{\text{veya }}\\\displaystyle \ int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{ 2}}(z/s)^{2}}\sağ)V_{\beta }(s)\,ds,&2\geq \beta >0;\end{durumlar}}}$

nerede olduğunu Kararlı sayımı dağılımı ve olduğu Kararlı cilt dağılımı . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\beta }(\nu )}$${\displaystyle V_{\beta }(lar)}$

Pozitif-Belirli Fonksiyonlara Bağlantı

Genelleştirilmiş normal dağılımın Bu versiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu pozitif tanımlı bir fonksiyon için . ${\görüntüleme stili \beta \in (0,2]}$

sonsuz bölünebilme

Genelleştirilmiş Gauss dağılımının bu sürümü bir olduğu sonsuz bölünebilir dağıtım ancak ve ancak . ${\displaystyle \beta \in (0,1]\cup \{2\}}$

genellemeler

Çok değişkenli genelleştirilmiş normal dağılım, yani aynı ve parametrelere sahip üstel güç dağılımlarının çarpımı , şeklinde yazılabilen ve bağımsız marjinalleri olan tek olasılık yoğunluğudur . Çok değişkenli normal dağılımın özel durumu için sonuçlar orijinal olarak Maxwell'e atfedilir . ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili \beta }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle p(\mathbf {x} )=g(\|\mathbf {x} \|_{\beta })}$

Versiyon 2

Genelleştirilmiş Normal (sürüm 2)

Olasılık yoğunluk fonksiyonu
Kümülatif dağılım fonksiyonu
parametreler	${\görüntüleme stili \xi \,}$ konum ( gerçek ) ölçek ( pozitif , gerçek ) şekil ( gerçek ) ${\görüntüleme stili \alfa \,}$ ${\görüntüleme stili \kappa\,}$
Destek	${\displaystyle x\in (-\infty ,\xi +\alpha /\kappa ){\text{ if }}\kappa >0}$ ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty ){\text{ if }}\kappa =0}$ ${\displaystyle x\in (\xi +\alpha /\kappa ;+\infty ){\text{ if }}\kappa <0}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\phi (y)}{\alpha -\kappa (x-\xi )}}}$, standart normal pdf nerede ${\displaystyle y={\begin{vakalar}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\sağ ]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{durumlar}}}$ ${\görüntüleme stili\phi }$
CDF	${\görüntüleme stili \Phi (y)}$, standart normal CDF nerede ${\displaystyle y={\begin{vakalar}-{\frac {1}{\kappa }}\log \left[1-{\frac {\kappa (x-\xi )}{\alpha }}\sağ ]&{\text{if }}\kappa \neq 0\\{\frac {x-\xi }{\alpha }}&{\text{if }}\kappa =0\end{durumlar}}}$ ${\görüntüleme stili\Phi }$
Anlamına gelmek	${\displaystyle \xi -{\frac {\alpha }{\kappa }}\left(e^{\kappa ^{2}/2}-1\sağ)}$
Medyan	${\görüntüleme stili \xi \,}$
Varyans	${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\kappa ^{2}}}e^{\kappa ^{2}}\left(e^{\kappa ^{2}}-1\right )}$
çarpıklık	${\displaystyle {\frac {3e^{\kappa ^{2}}-e^{3\kappa ^{2}}-2}{(e^{\kappa ^{2}}-1)^{3 /2}}}{\metin{ işaret}}(\kappa )}$
Eski. Basıklık	${\displaystyle e^{4\kappa ^{2}}+2e^{3\kappa ^{2}}+3e^{2\kappa ^{2}}-6}$

Bu, çarpıklığı tanıtmak için şekil parametresinin kullanılabileceği bir sürekli olasılık dağılımları ailesidir. Şekil parametresi sıfır olduğunda normal dağılım ortaya çıkar. Şekil parametresinin pozitif değerleri sağa bağlı sola çarpık dağılımlar verir ve şekil parametresinin negatif değerleri sola bağlı sağa çarpık dağılımlar verir. Yalnızca şekil parametresi sıfır olduğunda, bu dağılım için yoğunluk fonksiyonu tüm gerçek çizgi üzerinde pozitiftir: bu durumda dağılım normal bir dağılımdır , aksi takdirde dağılımlar kaydırılır ve muhtemelen log-normal dağılımları tersine çevrilir .

parametre tahmini

Parametreler, maksimum olabilirlik tahmini veya moment yöntemi ile tahmin edilebilir . Parametre tahminlerinin kapalı bir formu yoktur, bu nedenle tahminleri hesaplamak için sayısal hesaplamalar kullanılmalıdır. Örnek uzay (yoğunluğun sıfırdan farklı olduğu gerçek sayılar kümesi) parametrenin gerçek değerine bağlı olduğundan, bu aile ile çalışırken parametre tahminlerinin performansıyla ilgili bazı standart sonuçlar otomatik olarak uygulanmaz.

Uygulamalar

Bu dağılım ailesi, normal olarak dağıtılabilen veya normal dağılıma göre sağa çarpık veya sola çarpık olabilen değerleri modellemek için kullanılabilir. Eğimli normal dağılım nedeniyle eğim için normalden sapmaları modelleme için yararlı olan başka bir dağılımıdır. Çarpık verileri modellemek için kullanılan diğer dağılımlar arasında gama , lognormal ve Weibull dağılımları bulunur, ancak bunlar özel durumlar olarak normal dağılımları içermez.

Normal ile ilgili diğer dağılımlar

Burada açıklanan iki genelleştirilmiş normal aile, tıpkı eğik normal aile gibi, bir şekil parametresi ekleyerek normal dağılımı genişleten parametrik ailelerdir. Normal dağılımın olasılık ve istatistikteki merkezi rolü nedeniyle, birçok dağılım normal dağılımla ilişkileri açısından karakterize edilebilir. Örneğin, log-normal , katlanmış normal ve ters normal dağılımlar, normal dağılımlı bir değerin dönüşümleri olarak tanımlanır, ancak genelleştirilmiş normal ve eğri normal ailelerin aksine, bunlar normal dağılımları özel durumlar olarak içermez.
Aslında sonlu varyanslı tüm dağılımlar, normal dağılımla yüksek oranda ilişkili olan sınırdadır. Student-t dağılımı, Irwin-Hall dağıtım ve Bates dağılımı normal dağılım uzatmak ve dahil sınırı normal dağılım. Dolayısıyla, örneğin Student-t ve bir normalleştirilmiş genişletilmiş Irwin-Hall kombinasyonu yerine tip 1'in "genelleştirilmiş" normal dağılımını tercih etmek için güçlü bir neden yoktur – bu, örneğin üçgen dağılımını içerir (genelleştirilmiş Gauss ile modellenemez). tip 1).
Hem kuyruk (uzun ve kısa) hem de merkez davranışını (düz, üçgen veya Gauss gibi) tamamen bağımsız olarak modelleyebilen simetrik bir dağılım , örneğin X  = IH/chi kullanılarak türetilebilir  .

Ayrıca bakınız

• Karmaşık normal dağılım
• Normal dağılımı çarpıt

Referanslar