Log-normal dağılım - Log-normal distribution

Log-normal

Olasılık yoğunluk fonksiyonu Aynı parametre ancak farklı parametreler${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \sigma }$
Kümülatif dağılım fonksiyonu ${\görüntüleme stili \mu =0}$
gösterim	${\displaystyle \operatöradı {Lognormal} (\mu ,\,\sigma ^{2})}$
parametreler	${\displaystyle \mu \in (-\infty ,+\infty )}$, ${\görüntüleme stili \sigma >0}$
Destek	${\displaystyle x\in (0,+\infty )}$
PDF	${\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\ \exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \sağ)^{2 }}{2\sigma ^{2}}}\sağ)}$
CDF	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatöradı {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}}\ doğru doğru]}$
Çeyreklik	${\displaystyle \exp(\mu +{\sqrt {2\sigma ^{2}}}\operatöradı {erf} ^{-1}(2p-1))}$
Anlamına gelmek	${\displaystyle \exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\sağ)}$
Medyan	${\görüntüleme stili \exp(\mu )}$
mod	${\displaystyle \exp(\mu -\sigma ^{2})}$
Varyans	${\displaystyle [\exp(\sigma ^{2})-1]\exp(2\mu +\sigma ^{2})}$
çarpıklık	${\displaystyle (\exp(\sigma ^{2})+2){\sqrt {\exp(\sigma ^{2})-1}}}$
Eski. Basıklık	${\displaystyle \exp(4\sigma ^{2})+2\exp(3\sigma ^{2})+3\exp(2\sigma ^{2})-6}$
Entropi	${\displaystyle \log _{2}(\sigma e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }})}$
MGF	yalnızca pozitif olmayan gerçek kısmı olan sayılar için tanımlanmıştır, metne bakın
CF	temsil asimptotik olarak farklı ama sayısal amaçlar için yeterli${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2 }/2}}$
Balıkçı bilgileri	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/2\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$
Moment Yöntemi	${\displaystyle \mu =\log \left({\frac {\operatöradı {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatöradı {Var} [X]+\operatöradı {E} [X]^ {2}}}}\sağ)}$, ${\displaystyle \sigma ^{2}=\log \left({\frac {\operatöradı {Var} [X]}{\operatöradı {E} [X]^{2}}}+1\sağ)}$

Olarak olasılık teorisi , bir lognormal (veya lognormal) dağılımı , sürekli bir olasılık dağılımı a rastgele değişkenin logaritması olan normal dağılım . Bu nedenle, eğer X rastgele değişkeni log-normal olarak dağılmışsa, o zaman Y = ln( X ) normal bir dağılıma sahiptir. Aynı şekilde, eğer Y, bir normal dağılım, daha sonra yer alır üstel fonksiyon arasında Y , X, = exp ( Y ), log-normal dağılıma sahiptir. Log-normal dağılımlı bir rastgele değişken sadece pozitif gerçek değerler alır. Kesinlik ve mühendislik bilimlerinin yanı sıra tıp , ekonomi ve diğer konulardaki (örneğin, enerjiler, konsantrasyonlar, uzunluklar, finansal getiriler ve diğer metrikler) ölçümler için uygun ve kullanışlı bir modeldir .

Dağıtım bazen , Francis Galton'dan sonra Galton dağılımı veya Galton'un dağılımı olarak adlandırılır . Log-normal dağılım, McAlister, Gibrat ve Cobb-Douglas gibi diğer isimlerle de ilişkilendirilmiştir .

Bir log-normal süreç , her biri pozitif olan birçok bağımsız rastgele değişkenin çarpımsal ürününün istatistiksel olarak gerçekleştirilmesidir . Bu, log alanındaki merkezi limit teoremi dikkate alınarak doğrulanır (bazen Gibrat kanunu olarak adlandırılır ). Log-normal dağılım, ln( X )' in ortalaması ve varyansının belirtildiği bir rastgele değişken X için maksimum entropi olasılık dağılımıdır .

Tanımlar

Üretim ve parametreler

Izin bir olmak standart normal değişken ve izin ve iki gerçek sayılar olmak. Daha sonra rastgele değişkenin dağılımı ${\görüntüleme stili Z}$${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \sigma >0}$

${\displaystyle X=e^{\mu +\sigma Z}}$

parametrelerle log-normal dağılım olarak adlandırılır ve . Bunlar, kendisinin beklentisi ve standart sapması değil, değişkenin doğal logaritmasının beklenen değeri (veya ortalaması ) ve standart sapmasıdır . ${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili X}$

Normal ve log-normal dağılım arasındaki ilişki. Eğer normal dağıtılır, daha sonra , log-normal dağıtılır.${\displaystyle Y=\mu +\sigma Z}$${\displaystyle X\sim e^{Y}}$

Bu ilişki, logaritmik veya üstel fonksiyonun tabanından bağımsız olarak doğrudur: eğer normal dağılmışsa, o zaman herhangi iki pozitif sayı için de öyledir . Benzer şekilde, eğer log-normal olarak dağılmışsa, o zaman öyledir , nerede . ${\displaystyle \log _{a}(X)}$${\displaystyle \log _{b}(X)}$${\displaystyle a,b\neq 1}$${\görüntüleme stili e^{Y}}$${\görüntüleme stili a^{Y}}$${\displaystyle 0<a\neq 1}$

İstenen ortalama ve varyansa sahip bir dağılım üretmek için kullanılan ve${\görüntüleme stili \mu _{X}}$${\displaystyle \sigma _{X}^{2}}$${\displaystyle \mu =\ln \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2 }}}}\sağ)}$${\displaystyle \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\sağ).}$

Alternatif olarak "çarpımsal" veya "geometrik" parametreler ve kullanılabilir. Daha doğrudan bir yorumları vardır: dağılımın medyanıdır ve "dağılım" aralıklarını belirlemek için yararlıdır, aşağıya bakın. ${\displaystyle \mu ^{*}=e^{\mu }}$${\displaystyle \sigma ^{*}=e^{\sigma }}$${\görüntüleme stili \mu ^{*}}$${\görüntüleme stili \sigma ^{*}}$

Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Pozitif bir rastgele değişken X log-normal dağılım (diğer bir deyişle, ), doğal logaritması eğer X , normal olarak, ortalama ile dağıtılır ve varyans : ${\displaystyle X\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu _{x},\sigma _{x}^{2})}$${\görüntüleme stili \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

N (0,1) dağılımının sırasıyla kümülatif olasılık dağılım fonksiyonu ve olasılık yoğunluk fonksiyonu olsun ve olsun , o zaman şuna sahibiz: ${\görüntüleme stili\Phi }$${\görüntüleme stili \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(X\leq x)={\ frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(\ln X\leq \ln x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}} x}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\sağ)\\[6pt]&=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu } {\sigma }}\sağ){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\sol({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\sağ) )=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\sağ){\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1 }{x\sigma {\sqrt {2\pi \,}}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}} }\sağ).\end{hizalı}}}$

Kümülatif dağılım fonksiyonu

Kümülatif dağılım fonksiyonu olan

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}\sağ)}$

burada , standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonu (yani, N (0,1)). ${\görüntüleme stili\Phi }$

Bu şu şekilde de ifade edilebilir:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatöradı {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}}\ right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right )}$

burada erfc tamamlayıcı hata işlevidir .

Çok değişkenli log-normal

Eğer bir olan çok değişkenli normal dağılım , daha sonra ortalama bir değişkenli log-normal dağılıma sahiptir ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})}$${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=\exp({\boldsymbol {X}})}$

${\displaystyle \operatöradı {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}}, }$

ve kovaryans matrisi

${\displaystyle \operatorname {Var} [{\boldsymbol {Y}}]_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}+{\frac {1}{2}}( \Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}(e^{\Sigma _{ij}}-1).}$

Çok değişkenli log-normal dağılım yaygın olarak kullanılmadığından, bu girdinin geri kalanı yalnızca tek değişkenli dağılımla ilgilidir .

Karakteristik fonksiyon ve moment üreten fonksiyon

Log-normal dağılımın tüm momentleri mevcuttur ve

${\displaystyle \operatöradı {E} [X^{n}]=e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}}$

Bu , integralin içine izin verilerek türetilebilir . Ancak, log-normal dağılım, momentleri tarafından belirlenmez. Bu, sıfır komşuluğunda tanımlanmış bir moment üreten fonksiyona sahip olamayacağı anlamına gelir. Aslında, tanımlayıcı integral ıraksadığından , argümanın herhangi bir pozitif değeri için beklenen değer tanımlanmaz . ${\displaystyle z={\tfrac {\ln(x)-(\mu +n\sigma ^{2})}{\sigma }}}$${\displaystyle \operatöradı {E} [e^{tX}]}$${\görüntüleme stili t}$

Karakteristik fonksiyonu gerçek değerler için tanımlandığı gibidir , t , ancak herhangi bir karmaşık bir değer için tanımlanmamıştır t negatif sanal kısmı vardır ve bu nedenle karakteristik fonksiyonu değildir analitik orijinde. Sonuç olarak, log-normal dağılımın karakteristik fonksiyonu, sonsuz yakınsak bir seri olarak temsil edilemez. Özellikle, Taylor biçimsel serileri birbirinden ayrılır: ${\displaystyle \operatöradı {E} [e^{itX}]}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2 }/2}}$

Bununla birlikte, bir dizi alternatif ıraksak dizi gösterimi elde edilmiştir.

Karakteristik fonksiyonu için kapalı form formül ile yakınsama etki bilinmemektedir. Nispeten basit bir yaklaşık formül kapalı biçimde mevcuttur ve şu şekilde verilir: ${\görüntüleme stili \varphi (t)}$${\görüntüleme stili t}$

${\displaystyle \varphi (t)\yaklaşık {\frac {\exp \left(-{\frac {W^{2}(-it\sigma ^{2}e^{\mu })+2W(-it) \sigma ^{2}e^{\mu })}{2\sigma ^{2}}}\sağ)}{\sqrt {1+W(-it\sigma ^{2}e^{\mu } )}}}}$

burada bir Lambert W fonksiyonu . Bu yaklaşım asimptotik bir yöntemle türetilir, ancak yakınsama alanının her yerinde keskin kalır . ${\görüntüleme stili W}$${\görüntüleme stili \varphi }$

Özellikler

a. ile bir log-normal değişkendir . normal değişkene dönüştürülerek , ardından yoğunluğunun (mavi bölgeler) tarafından tanımlanan alan üzerinde, ışın izlemenin sayısal yöntemini kullanarak entegre edilmesiyle hesaplanır . M.Ö. Log-normal değişkenin fonksiyonunun pdf ve cdf'si de bu şekilde hesaplanabilir.${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili \mu=1,\sigma =0.5}$${\ Displaystyle p(\sin y>0)}$${\görüntüleme stili x=\ln y}$${\displaystyle \sin e^{x}>0}$${\görüntüleme stili \sin y}$

Farklı alanlarda olasılık

Herhangi bir keyfi etki alanındaki bir log-normal dağılımın olasılık içeriği, önce değişkeni normale dönüştürerek, ardından ışın izleme yöntemi kullanılarak sayısal olarak entegre edilerek istenen kesinlikte hesaplanabilir. ( Matlab kodu )

Bir log-normal değişkenin fonksiyonlarının olasılıkları

Bir log-normalin olasılığı herhangi bir alanda hesaplanabildiğinden, bu, log-normal değişkenin herhangi bir fonksiyonunun cdf'sinin (ve dolayısıyla pdf ve ters cdf'nin) de hesaplanabileceği anlamına gelir. ( Matlab kodu )

Geometrik veya çarpımsal anlar

Geometrik ya da çarpımsal ortalama log-normal dağılımı olup . Ortancaya eşittir. Geometrik ya da çarpımsal standart sapma olan . ${\displaystyle \operatöradı {GM} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}}$${\displaystyle \operatöradı {GSD} [X]=e^{\sigma }=\sigma ^{*}}$

Aritmetik istatistiklere benzetilerek, bir geometrik varyans tanımlanabilir ve geometrik bir varyasyon katsayısı , , önerilmiştir. Bu terimin, log-normal verilerdeki çarpımsal varyasyonu tanımlamak için varyasyon katsayısına benzer olması amaçlanmıştır , ancak GCV'nin bu tanımı, kendi başına bir tahmin olarak teorik bir temele sahip değildir (ayrıca bkz . Varyasyon katsayısı ). ${\displaystyle \operatöradı {GVar} [X]=e^{\sigma ^{2}}}$${\displaystyle \operatöradı {GCV} [X]=e^{\sigma }-1}$${\ Displaystyle \ operatör adı {CV} }$

Geometrik ortalamanın aritmetik ortalamadan daha küçük olduğuna dikkat edin. Bu AM-GM eşitsizliğinden kaynaklanmaktadır ve logaritmanın içbükey bir fonksiyon olmasının bir sonucudur . Aslında,

${\displaystyle \operatöradı {E} [X]=e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=e^{\mu }\cdot {\sqrt {e^ {\sigma ^{2}}}}=\operatöradı {GM} [X]\cdot {\sqrt {\operatöradı {GVar} [X]}}.}$

Finansta, terim bazen bir dışbükeylik düzeltmesi olarak yorumlanır . Bakış açısından stokastik hesabı , bu aynı düzeltme terimi geometrik Brown hareketi için Ito lemma . ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$

aritmetik anlar

Gerçek veya karmaşık sayı için n , n -inci an , bir log-normal dağılım değişken bölgesinin X verilir

${\displaystyle \operatöradı {E} [X^{n}]=e^{n\mu +{\frac {1}{2}}n^{2}\sigma ^{2}}.}$

Spesifik olarak, log-normal olarak dağılmış bir X değişkeninin aritmetik ortalaması, beklenen karesi, aritmetik varyansı ve aritmetik standart sapması sırasıyla şu şekilde verilir:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\operatöradı {E} [X]&=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatöradı {E} [X^{2}]&=e^{2\mu +2\sigma ^{2}},\\[4pt]\operatöradı {Var} [X]&=\operatöradı {E} [X ^{2}]-\operatöradı {E} [X]^{2}=(\operatöradı {E} [X])^{2}(e^{\sigma ^{2}}-1)=e^ {2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1),\\[4pt]\operatöradı {SD} [X]&={\sqrt {\operatöradı {Var } [X]}}=\operatöradı {E} [X]{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}} \sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}},\end{hizalı}}}$

Aritmetik varyasyon katsayısı orandır . Bir log-normal dağılım için şuna eşittir: ${\displaystyle \operatöradı {CV} [X]}$${\displaystyle {\tfrac {\operatöradı {SD} [X]}{\operatöradı {E} [X]}}}$

${\displaystyle \operatöradı {CV} [X]={\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.}$

Bu tahmin, geometrik varyansı kullanması nedeniyle bazen "geometrik CV" (GCV) olarak anılır. Aritmetik standart sapmanın aksine, aritmetik varyasyon katsayısı aritmetik ortalamadan bağımsızdır.

Aritmetik ortalama ve aritmetik varyans biliniyorsa, μ ve σ parametreleri elde edilebilir:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\ln \left({\frac {\operatöradı {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatöradı {E} [X^{2}) ]}}}\right)=\ln \left({\frac {\operatöradı {E} [X]^{2}}{\sqrt {\operatöradı {Var} [X]+\operatöradı {E} [X ]^{2}}}}\sağ),\\[4pt]\sigma ^{2}&=\ln \left({\frac {\operatöradı {E} [X^{2}]}{\operatöradı {E} [X]^{2}}}\sağ)=\ln \left(1+{\frac {\operatöradı {Var} [X]}{\operatöradı {E} [X]^{2}} }\sağ).\end{hizalı}}}$

Bir olasılık dağılımı, E[ X ⁿ ] = e ^{nμ +} anları tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmez. ^{1/2n, 2 σ 2} için n ≥ 1. Yani, aynı moment kümesine sahip başka dağılımlar da vardır. Aslında, log-normal dağılımla aynı momentlere sahip bütün bir dağılım ailesi vardır.

Mod, medyan, nicelikler

Farklı çarpıklıklara sahip iki log-normal dağılımın ortalama , medyan ve modunun karşılaştırılması .

Mod olasılık yoğunluk fonksiyonunun küresel maksimum noktasıdır. Özellikle, denklemi çözerek şunu elde ederiz: ${\görüntüleme stili (\ln f)'=0}$

${\displaystyle \operatöradı {Mod} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.}$

Yana log-transforme edilmiş değişken normal dağılımına sahiptir ve kantilleri monoton dönüşümler altında korunur, ve kantilleri olan ${\görüntüleme stili Y=\ln X}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\ Phi }(\alfa )},}$

standart normal dağılımın niceliği nerede . ${\displaystyle q_{\Phi }(\alpha )}$

Spesifik olarak, bir log-normal dağılımın medyanı, çarpımsal ortalamasına eşittir,

${\displaystyle \operatöradı {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}.}$

Kısmi beklenti

Bir eşiğe göre rastgele bir değişkenin kısmi beklentisi şu şekilde tanımlanır: ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili k}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx.}$

Seçenek olarak ise, tanımını kullanarak koşullu beklenti , bu şekilde yazılabilir . Bir log-normal rastgele değişken için kısmi beklenti şu şekilde verilir: ${\displaystyle g(k)=\operatöradı {E} [X\mid X>k]P(X>k)}$

${\displaystyle g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{ 2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\sağ)}$

burada bir normal kümülatif dağılım fonksiyonu . Formülün türetilmesi Tartışma sayfasında verilmektedir . Kısmi beklenti formülünün sigorta ve ekonomide uygulamaları vardır , Black-Scholes formülüne yol açan kısmi diferansiyel denklemin çözümünde kullanılır . ${\görüntüleme stili\Phi }$

koşullu beklenti

Bir eşiğe göre bir log-normal rasgele değişkenin koşullu beklentisi , kısmi beklentisinin o aralıkta olma kümülatif olasılığına bölünmesidir: ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E[X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\sağ]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}} \cdot {\frac {\Phi \sol[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\sağ]}{1-\Phi \left[{\ frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\sağ]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^ {\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^ {2}}{\sigma }}\sağ]-\Phi \sol[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\sağ]} {\Phi \sol[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}\sağ]-\Phi \sol[{\frac {\ln(k_{1})-\ mu }{\sigma }}\sağ]}}\end{hizalanmış}}}$

Alternatif parametreleştirmeler

veya ile karakterizasyona ek olarak , burada log-normal dağılımın nasıl parametrelendirilebileceğine dair birçok yol vardır. Olasılık dağılımlarının bilgi tabanı ve ontolojisi olan ProbOnto , bu tür yedi formu listeler:${\görüntüleme stili \mu ,\sigma }$${\ Displaystyle \mu ^{*},\sigma ^{*}}$

Log-normal dağılımların parametreleştirmelerine genel bakış.

• Her ikisi de log ölçeğinde ortalama , μ ve standart sapma , σ ile LogNormal1(μ,σ)

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \ sol[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\sağ]}$

• Her ikisi de log ölçeğinde ortalama, μ ve varyans, υ ile LogNormal2(μ,υ)

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {v}})={\frac {1}{x{\sqrt {v}}{\sqrt {2\pi }}} }\exp \left[-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2v}}\sağ]}$

• Doğal ölçekte medyan , m ve log ölçeğinde standart sapma, σ ile LogNormal3(m,σ)

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma }})={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left [-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\sigma ^{2}}}\sağ]}$

• Her ikisi de doğal ölçekte medyan, m ve varyasyon katsayısı cv ile LogNormal4(m,cv)

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {cv}})={\frac {1}{x{\sqrt {\ln(cv^{2}+1)}}{ \sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln(cv^{2}+1)}}\right] }$

• Her ikisi de log ölçeğinde ortalama, μ ve hassasiyet, τ ile LogNormal5(μ,τ)

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\tau }})={\sqrt {\frac {\tau }{2\pi }}}{\frac {1}{ x}}\exp \left[-{\frac {\tau }{2}}(\ln x-\mu )^{2}\sağ]}$

• Her ikisi de doğal ölçekte medyan, m ve geometrik standart sapma , σ _g ile LogNormal6(m,σ _g )

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {m}},{\boldsymbol {\sigma _{g}}})={\frac {1}{x\ln(\sigma _{g}){\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {\ln ^{2}(x/m)}{2\ln ^{2}(\sigma _{g})}}\right ]}$

• Her ikisi de doğal ölçekte ortalama, μ _N ve standart sapma, σ _N ile LogNormal7(μ _N ,σ _N )

  ${\displaystyle P(x;{\boldsymbol {\mu _{N}}},{\boldsymbol {\sigma _{N}}})={\frac {1}{x{\sqrt {2\pi \ ln \left(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}\sağ)}}}}\exp \left(-{\frac {{\Big [}\ ln x-\ln {\frac {\mu _{N}}{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}}{\Big ] }^{2}}{2\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}}\sağ)}$

Yeniden parametrelendirme örnekleri

PFIM ve PopED gibi iki farklı optimal tasarım aracı kullanarak bir model çalıştırmak istediğinizde durumu düşünün. İlki sırasıyla LN2'yi, ikincisi LN7 parametreleştirmesini destekler. Bu nedenle, yeniden parametrelendirme gereklidir, aksi takdirde iki araç farklı sonuçlar verir.

Geçiş için aşağıdaki formülleri basılı tutun . ${\displaystyle \operatöradı {LN2} (\mu ,v)\to \operatöradı {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})}$${\displaystyle \mu _{N}=\exp(\mu +v/2){\text{ ve }}\sigma _{N}=\exp(\mu +v/2){\sqrt {\exp (v)-1}}}$

Geçiş için aşağıdaki formülleri basılı tutun . ${\displaystyle \operatöradı {LN7} (\mu _{N},\sigma _{N})\to \operatöradı {LN2} (\mu ,v)}$${\displaystyle \mu =\ln {\Big (}\mu _{N}/{\sqrt {1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2}}}} \Big )}{\text{ ve }}v=\ln(1+\sigma _{N}^{2}/\mu _{N}^{2})}$

Geri kalan tüm yeniden parametrelendirme formülleri, proje web sitesindeki şartname belgesinde bulunabilir.

Çoklu, karşılıklı, güç

• Bir sabitle çarpma: Eğer öyleyse${\displaystyle X\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle aX\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2}).}$
• Karşılıklı: Eğer öyleyse${\displaystyle X\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatöradı {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).}$
• Güç: Eğer o zaman için${\displaystyle X\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X^{a}\sim \operatöradı {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})}$${\görüntüleme stili a\neq 0.}$

Bağımsız, log-normal rastgele değişkenlerin çarpımı ve bölünmesi

İki bağımsız , log-normal değişken ve çarpılırsa [bölünür], [oran] çarpımı yine [ ] ve parametreleriyle log-normaldir , burada . Bu, bu tür değişkenlerin ürününe kolayca genellenebilir . ${\görüntüleme stili X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}}$${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$${\görüntüleme stili \sigma }$${\displaystyle \sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$${\görüntüleme stili n}$

Eğer Daha genel olarak, olan , bağımsız, log-normal dağılım değişkenler, daha sonra${\displaystyle X_{j}\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})}$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatöradı {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\ mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.}$

Çarpımsal merkezi limit teoremi

Bağımsız, aynı şekilde dağılmış, pozitif rasgele değişkenlerin geometrik veya çarpımsal ortalaması , sonlu olduğu varsayılarak ve parametreleriyle yaklaşık olarak bir log-normal dağılım için gösterir . ${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle \mu =E[\ln(X_{i})]}$${\displaystyle \sigma ^{2}={\mbox{var}}[\ln(X_{i})]/n}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Aslında, rastgele değişkenlerin aynı şekilde dağıtılması gerekmez. Tümünün dağılımlarının sonlu varyansa sahip olması ve merkezi limit teoreminin birçok varyantının herhangi birinin diğer koşullarını sağlaması yeterlidir . ${\görüntüleme stili \ln(X_{i})}$

Bu genellikle Gibrat yasası olarak bilinir .

Başka

Log-normal dağılımdan kaynaklanan bir veri kümesi, simetrik bir Lorenz eğrisine sahiptir (ayrıca bkz . Lorenz asimetri katsayısı ).

Bu dağılımın harmonik , geometrik ve aritmetik ortalamaları; böyle bir ilişki verilir ${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

Log-normal dağılımlar sonsuz bölünebilir , ancak kolayca çizilebilecek kararlı dağılımlar değildir .

İlgili dağılımlar

• Eğer bir olan normal dağılım sonra,${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \exp(X)\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).}$
• Eğer oturum normal dağılım, daha sonra normal bir rasgele değişkendir.${\displaystyle X\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle \ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$
• Izin muhtemelen değişen bağımsız log-normal dağılıma sahip değişkenleri olmak ve parametreler ve . dağılımının kapalı biçimli bir ifadesi yoktur, ancak sağ kuyruktaki başka bir log-normal dağılımla makul bir şekilde tahmin edilebilir . 0 civarındaki olasılık yoğunluk fonksiyonu karakterize edilmiştir ve herhangi bir log-normal dağılıma benzememektedir. LF Fenton nedeniyle yaygın olarak kullanılan bir yaklaşım (ancak daha önce RI Wilkinson tarafından ifade edilmiş ve Marlow tarafından matematiksel olarak doğrulanmıştır), başka bir log-normal dağılımın ortalaması ve varyansı eşleştirilerek elde edilir:${\displaystyle X_{j}\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})\ }$${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili \mu }$${\displaystyle Y=\textstyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili Z}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j }^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/ 2})^{2}}}+1\sağ],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j} ^{2}/2}\sağ]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{hizalı}}}$

Hepsinin aynı varyans parametresine sahip olması durumunda , bu formüller aşağıdakileri basitleştirir: ${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle \sigma _{j}=\sigma }$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^ {2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\sağ],\\\mu _{Z}&=\ln \ !\left[\sum e^{\mu _{j}}\sağ]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2} }{2}}.\end{hizalanmış}}}$

Daha doğru bir tahmin için, kümülatif dağılım fonksiyonunu, pdf'yi ve sağ kuyruğu tahmin etmek için Monte Carlo yöntemi kullanılabilir .

İlişkili log-normal dağılımlı rasgele değişkenlerin toplamı, log-normal dağılım ile de tahmin edilebilir.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{+}&=\operatöradı {E} \left[\sum _{i}X_{i}\sağ]=\sum _{i}\operatöradı {E} [X_ {i}]=\sum _{i}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}\\\sigma _{Z}^{2}&=1/ S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatöradı {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\operatöradı {E} [X_{i}] \operatöradı {E} [X_{j}]=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatöradı {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _ {j}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\ \\mu _{Z}&=\ln \left(S_{+}\sağ)-\sigma _{Z}^{2}/2\end{hizalı}}}$

• Eğer o zaman bir olduğu söyleniyor Üç parametreli log-normal desteğiyle dağılımı . , .${\displaystyle X\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\görüntüleme stili X+c}$${\displaystyle x\in (c,+\infty )}$${\displaystyle \operatöradı {E} [X+c]=\operatöradı {E} [X]+c}$${\displaystyle \operatöradı {Var} [X+c]=\operatöradı {Var} [X]}$
• Log-normal dağılım, yarı sınırlı Johnson's SU dağılımının özel bir durumudur .
• Eğer birlikte , daha sonra ( Suzuki dağılımı ).${\displaystyle X\mid Y\sim \operatör adı {Rayleigh} (Y)\,}$${\displaystyle Y\sim \operatöradı {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$${\displaystyle X\sim \operatöradı {Suzuki} (\mu ,\sigma )}$
• CDF için bir yaklaşıklık elde etmek için lojistik dağılıma dayalı olarak integrali daha temel fonksiyonlar cinsinden ifade edilebilen log-normalin bir ikamesi elde edilebilir.

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\left[\left({\frac {e^{\mu }}{x}}\sağ)^{\pi /(\sigma {\sqrt { 3}})}+1\sağ]^{-1}.}$

Bu bir log-lojistik dağılımıdır .

İstatiksel sonuç

Parametrelerin tahmini

Belirleme için maksimum olabilirlik log-normal dağılım parametrelerinin tahmin edicileri ^ ı ve σ , kullanabileceğimiz aynı prosedürü gibi normal dağılıma . Bunu not et

${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i})}$,

normal dağılımın yoğunluk fonksiyonu nerede ? Bu nedenle, log-olabilirlik fonksiyonu ${\görüntüleme stili\varphi _{}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$

${\displaystyle \ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{ N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})}$.

İlk dönem bakımından sabittir yana ^ ı ve σ , hem logaritmik olabilirlik fonksiyonları, ve aynı olan maksimuma ulaşmak ve . Bu nedenle, maksimum olabilirlik tahmin edicileri, gözlemler için normal dağılım için olanlarla aynıdır , ${\görüntüleme stili\el }$${\displaystyle \el _{N}}$${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \sigma }$${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots,\ln x_{n})}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={ \frac {\sum _{k}\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\sağ)^{2}}{n}}.}$

Sonlu n için bu tahmin ediciler taraflıdır. Önyargı ise ihmal edilebilir, için daha az eğimli tahmin payda değiştirerek normal dağılım için elde edilir , n ile n-1 için denklemde . ${\ Displaystyle {\widehat {\mu }}}$${\görüntüleme stili \sigma }$${\ Displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}$

Tek tek değerler zaman mevcut değildir, ancak numunenin ortalama ve standart sapma s , daha sonra karşılık gelen parametreler beklentisi için denklemleri çözmek elde edilen, aşağıdaki formüller ile tespit edilir olduğu ve varyans için ve : ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\görüntüleme stili {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \operatöradı {E} [X]}$${\displaystyle \operatöradı {Var} [X]}$${\görüntüleme stili \mu }$${\görüntüleme stili \sigma }$

${\displaystyle \mu =\ln \left({\bar {x}}\ {\Big /}\ {\sqrt {1+{\frac {{\widehat {\sigma }}^{2}}{{ \bar {x}}^{2}}}}}\sağ),\qquad \sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {{\widehat {\sigma }}^{2} }{{\bar {x}}^{2}}}\sağ)}$.

İstatistik

Logaritmik olarak dağıtılmış verileri analiz etmenin en etkili yolu, normal dağılıma dayalı iyi bilinen yöntemleri logaritmik olarak dönüştürülmüş verilere uygulamak ve ardından uygunsa sonuçları geri dönüştürmektir.

dağılım aralıkları

Dağılım aralıkları ile temel bir örnek verilmiştir: Normal dağılım için aralık , olasılığın (veya büyük bir örneğin) yaklaşık üçte ikisini (%68) içerir ve %95'ini içerir. Bu nedenle, bir log-normal dağılım için, ${\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}$${\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]}$

${\displaystyle [\mu ^{*}/\sigma ^{*},\mu ^{*}\cdot \sigma ^{*}]=[\mu ^{*}{}^{\times }\! \!/\sigma ^{*}]}$ 2/3 içerir ve

${\displaystyle [\mu ^{*}/(\sigma ^{*})^{2},\mu ^{*}\cdot (\sigma ^{*})^{2}]=[\mu ^ {*}{}^{\times }\!\!/(\sigma ^{*})^{2}]}$ % 95 içerir

olasılığı. Tahmini parametreler kullanılarak, bu aralıklarda verilerin yaklaşık olarak aynı yüzdeleri bulunmalıdır.

için güven aralığı ${\görüntüleme stili \mu ^{*}}$

İlke, bir güven aralığı olduğu not kullanarak IS , standart hatadır ve q bir% 97.5 quantile olan T dağılımı ile , n-1 serbestlik derecesi. Geri dönüşüm, için bir güven aralığına yol açar , ${\görüntüleme stili \mu }$${\displaystyle [{\widehat {\mu }}\pm q\cdot {\widehat {\mathop {se}}}]}$${\displaystyle \mathop {se} ={\widehat {\sigma }}/{\sqrt {n}}}$${\görüntüleme stili \mu ^{*}}$

${\displaystyle [{\widehat {\mu }}^{*}{}^{\times }\!\!/(\operatöradı {sem} ^{*})^{q}]}$ ile birlikte ${\displaystyle \operatöradı {sem} ^{*}=({\widehat {\sigma }}^{*})^{1/{\sqrt {n}}}}$

Serbest parametreyi düzeltmek için aşırı entropi ilkesi ${\görüntüleme stili \sigma }$

Uygulamalarda, belirlenmesi gereken bir parametredir. Üretim ve dağılma ile dengelenen büyüyen süreçler için, Shannon entropisinin aşırı bir ilkesinin kullanılması şunu gösterir: ${\görüntüleme stili \sigma }$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}\end{hizalı}}}$

Bu değer daha sonra log-normal dağılımın bükülme noktası ve maksimum noktası arasında bir ölçekleme ilişkisi vermek için kullanılabilir. Bu ilişki, doğal logaritmanın temeli tarafından belirlenir ve minimum yüzey enerjisi ilkesine bazı geometrik benzerlikler sergiler. Bu ölçekleme ilişkileri, bir dizi büyüme sürecini (salgın yayılma, damlacık sıçraması, nüfus artışı, küvet girdabının dönme hızı, dil karakterlerinin dağılımı, türbülansların hız profili, vb.) tahmin etmek için kullanışlıdır. Örneğin, bu türlerle log-normal işlevi, damlacık etkisi ve salgın bir hastalığın yayılması sırasında ikincil olarak üretilen damlacıkların boyutuyla iyi uyum sağlar. ${\görüntüleme stili e=2.718\ldotlar }$${\görüntüleme stili \sigma }$

Değer , Drake denklemi için olasılıksal bir çözüm sağlamak için kullanılır. ${\displaystyle \sigma =1{\big /}{\sqrt {6}}}$

Oluşum ve uygulamalar

Doğal olayların tanımlanmasında log-normal dağılım önemlidir. Birçok doğal büyüme süreci, log ölçeğinde katkı maddesi haline gelen birçok küçük yüzde değişikliğin birikmesiyle yönlendirilir. Uygun düzenlilik koşulları altında, sonuçta ortaya çıkan birikmiş değişikliklerin dağılımı, yukarıdaki " Çarpımsal Merkezi Limit Teoremi " bölümünde belirtildiği gibi, bir log-normal tarafından giderek daha iyi bir şekilde yaklaştırılacaktır . Bu aynı zamanda şirketler için formüle eden Robert Gibrat'tan (1904–1980) sonra Gibrat yasası olarak da bilinir . Bu küçük değişikliklerin birikim hızı zamanla değişmezse, büyüme büyüklükten bağımsız hale gelir. Bu doğru olmasa bile, zamanla büyüyen şeylerin herhangi bir yaştaki boyut dağılımları log-normal olma eğilimindedir.

İkinci bir gerekçe, temel doğal yasaların pozitif değişkenlerin çarpımlarını ve bölümlerini ima ettiği gözlemine dayanır. Örnekler, kütleleri ve mesafeyi ortaya çıkan kuvvetle bağlayan basit yerçekimi yasası veya bir çözeltideki kimyasalların denge konsantrasyonları için, ürün ve ürün konsantrasyonlarını birbirine bağlayan formüldür. İlgili değişkenlerin log-normal dağılımlarını varsaymak, bu durumlarda tutarlı modellere yol açar.

Bu gerekçelerden hiçbiri geçerli olmasa bile, log-normal dağılım genellikle makul ve ampirik olarak yeterli bir modeldir. Örnekler aşağıdakileri içerir:

İnsan davranışları

• İnternet tartışma forumlarında yayınlanan yorumların uzunluğu, bir log-normal dağılımı izler.
• Kullanıcıların çevrimiçi makalelerde (şakalar, haberler vb.) kalma süresi, log-normal bir dağılım izler.
• Satranç oyunlarının uzunluğu, bir log-normal dağılımı takip etme eğilimindedir.
• Standart bir uyaranla eşleşen akustik karşılaştırma uyaranlarının başlangıç ​​süreleri bir log-normal dağılımı izler.
• Hem genel hem de kişiye göre Rubik Küp çözümleri, log-normal bir dağılım izliyor gibi görünmektedir.

Gelen biyoloji ve tıp

• Canlı dokunun boyut ölçüleri (uzunluk, cilt alanı, ağırlık).
• 2003 yılındaki SARS gibi yüksek oranda bulaşıcı salgınlar için, eğer kamu müdahalesi kontrol politikaları söz konusuysa, hastaneye kaldırılan vakaların sayısının, bir entropi varsayılırsa ve standart sapma tarafından belirlenirse, serbest parametre olmadan log-normal dağılımını sağladığı gösterilir. maksimum entropi üretim hızı ilkesi.
• Biyolojik örneklerin inert uzantılarının (saç, pençeler, tırnaklar, dişler) büyüme yönünde uzunluğu.
• Herhangi bir genomik bölge için normalleştirilmiş RNA-Seq okuma sayısı, log-normal dağılım ile iyi bir şekilde tahmin edilebilir.
• PacBio dizileme okuma uzunluğu, bir log-normal dağılımı izler.
• Yetişkin insanların kan basıncı gibi belirli fizyolojik ölçümler (erkek/kadın alt popülasyonlarında ayrıldıktan sonra).
• Çeşitli farmakokinetik gibi değişkenler, Cı- _max , eliminasyon yarı ömrü ve eliminasyon hızı sabitinden .
• Nörobilimde, bir nöron popülasyonu boyunca ateşleme hızlarının dağılımı genellikle yaklaşık olarak log-normaldir. Bu, ilk önce korteks ve striatumda ve daha sonra hipokampus ve entorinal kortekste ve beynin başka yerlerinde gözlenmiştir. Ayrıca, içsel kazanç dağılımları ve sinaptik ağırlık dağılımları da log-normal görünmektedir.
• Ameliyathane yönetiminde ameliyat sürelerinin dağılımı .

İçinde koloidal kimya ve polimer kimyası

• Parçacık boyutu dağılımları .
• Molar kütle dağılımları .

Sonuç olarak, sağlıklı bireylerde ölçümler için referans aralıkları , ortalama hakkında simetrik bir dağılım varsaymaktan ziyade bir log-normal dağılım varsayılarak daha doğru bir şekilde tahmin edilir.

Yıllık maksimum 1 günlük yağışlara uyarlanmış kümülatif log-normal dağılım, bkz. dağılım uydurma

hidroloji

• In hidroloji , log-normal dağılım günlük yağış ve nehir deşarj hacimlerinin aylık ve yıllık maksimum değerler gibi değişkenlerin aşırı değerlerini analiz etmek için kullanılır.

Sağdaki CumFreq ile yapılan resim, log-normal dağılımın sıralanmış yıllık maksimum bir günlük yağışlara uydurulmasının bir örneğini gösterir ve ayrıca binom dağılımına dayalı %90 güven kuşağını da gösterir .

Yağış verileri, kümülatif frekans analizinin bir parçası olarak konumların çizilmesiyle temsil edilir .

Sosyal bilimler ve demografi

• Gelen ekonomi , kanıt yoktur gelir nüfusun% 97'lik -99% log-normal dağılım göstermektedir. (Yüksek gelirli bireylerin dağılımı bir Pareto dağılımını takip eder ).
• Bir gelir dağılımı standart sapma ile tanımlanan bir log-normal dağılımı aşağıdaki ise , o zaman gini katsayısı , genel olarak gelir eşitsizliğini değerlendirmek için kullanmak, aşağıdaki gibi hesaplanabilir: burada bir hata fonksiyonu , çünkü burada, standart normal dağılımın kümülatif dağılım fonksiyonudur.${\görüntüleme stili \sigma }$${\displaystyle G=\operatöradı {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\sağ)}$${\displaystyle \operatöradı {erf} }$${\displaystyle G=2\Phi \sol({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\sağ)-1}$${\görüntüleme stili \Phi (x)}$
• In finans , özellikle Black-Scholes modeli , değişimlerin logaritmanın (bu değişkenler değil basit faiz gibi bileşik faiz gibi davranır ve böylece çarpma işlemi ile ilgili) döviz kuru, fiyat endekslerinin ve borsa endeksleri, normal kabul edilir. Ancak, Benoit Mandelbrot gibi bazı matematikçiler , özellikle borsa çöküşlerinin analizi için, ağır kuyruklara sahip log-Lévy dağılımlarının daha uygun bir model olacağını savundular . Gerçekten de, hisse senedi fiyat dağılımları tipik olarak kalın bir kuyruk sergiler . Borsa çöküşleri sırasında değişikliklerin kalın kuyruklu dağılımı, merkezi limit teoreminin varsayımlarını geçersiz kılar .
• Gelen Scientometrics , dergi makaleleri ve patentlere atıf sayısı ayrı bir log-normal dağılımı aşağıdaki gibidir.
• Şehir büyüklükleri (nüfus) Gibrat Yasasını karşılamaktadır. Şehir büyüklüklerinin büyüme süreci büyüklükle orantılı ve değişmezdir. Bu nedenle, merkezi limit teoreminden , şehir büyüklüğü günlüğü normal olarak dağıtılır.

teknoloji

• Olarak güvenilirlik analizlerine log-normal dağılımı genellikle sıçramalı onarmaya modeli kez kullanılır.
• Olarak kablosuz iletişim , "yerel ortalama güç, normal (yani, Gauss) dağılımına sahiptir, bu dB veya neper logaritmik değerleri olarak ifade edilmiştir." Ayrıca, büyük binalar ve tepeler nedeniyle radyo sinyallerinin rastgele engellenmesi olarak adlandırılan gölgelenme , genellikle bir log-normal dağılım olarak modellenir.
• Bilyalı öğütmede olduğu gibi rastgele darbelerle ufalama ile üretilen parçacık boyutu dağılımları .
• Dosya boyutu halka açık ses ve video veri dosyalarının (dağılımı MIME türleri ), beş üzerinden bir log-normal dağılımı aşağıdaki büyüklük dereceleri .
• Bilgisayar ağlarında ve İnternet trafik analizinde, log-normal, birim zaman başına trafik miktarını temsil etmek için iyi bir istatistiksel model olarak gösterilir. Bu, gerçek İnternet izlerinden oluşan büyük bir grup üzerinde sağlam bir istatistiksel yaklaşım uygulanarak gösterilmiştir. Bu bağlamda, log-normal dağılım, iki ana kullanım durumunda iyi bir performans göstermiştir: (1) trafik oranının belirli bir seviyeyi aşacağını tahmin etme (hizmet seviyesi anlaşması veya bağlantı kapasitesi tahmini için), yani bant genişliğine dayalı bağlantı boyutlandırma sağlama ve (2) 95. yüzdelik fiyatlandırmayı tahmin etme.

Ayrıca bakınız

• Ağır kuyruklu dağıtım
• Günlük-mesafe yol kaybı modeli
• Değiştirilmiş lognormal güç yasası dağılımı
• Yavaş solma

Notlar

daha fazla okuma

• Karga, Edwin L.; Shimizu, Kunio, ed. (1988), Lognormal Dağılımlar, Teori ve Uygulamalar , İstatistik: Ders Kitapları ve Monograflar, 88 , New York: Marcel Dekker, Inc., pp. xvi+387, ISBN 978-0-8247-7803-3, MR  0939191 , Zbl  0644.62014
• Aitchison, J. ve Brown, JAC (1957) The Lognormal Distribution , Cambridge University Press.
• Limpert, E; Stahel, W; Abt, M (2001). "Bilimler arasında lognormal dağılımlar: anahtarlar ve ipuçları" . Biyobilim . 51 (5): 341–352. doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
• Holgate, P. (1989). "lognormal karakteristik fonksiyonu". İstatistikte İletişim - Teori ve Yöntemler . 18 (12): 4539-4548. doi : 10.1080/03610928908830173 .
• Brooks, Robert; Corson, Jon; Donal, Galler (1994). "Temel Varlıkların Tümü Lognormal Bir Yayılımı Takip Ettiğinde Endeks Seçeneklerinin Fiyatlandırılması". Vadeli İşlemler ve Opsiyon Araştırmalarındaki Gelişmeler . 7 . SSRN  5735 .

Dış bağlantılar

• Normal dağılım, log-normal dağılımdır.