Dirichlet sorunu - Dirichlet problem

Gelen matematik bir Dirichlet problemi bir bulma sorunudur fonksiyonu belirli bir çözer kısmi diferansiyel denklem bölge sınırında reçete değerleri alır belirli bir bölgenin iç (PDE).

Dirichlet problemi, orijinal olarak Laplace denklemi için ortaya konmasına rağmen, birçok PDE için çözülebilir . Bu durumda sorun şu şekilde ifade edilebilir:

Bir fonksiyon verilen f bir bölge sınırında her değerlere sahip R ^{, n} , benzersiz olduğu sürekli fonksiyon u iki kez bu şekilde, sınır sürekli olarak iç türevlenebilir ve sürekli u olan harmonik iç ve U  =  f ile sınır?

Bu gereksinim Dirichlet sınır koşulu olarak adlandırılır . Asıl mesele bir çözümün varlığını ispatlamaktır; benzersizlik maksimum ilkesi kullanılarak kanıtlanabilir .

Tarih

Dirichlet problemi , 1828'de yayınlanan Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Manyetism'de genel sınır koşulları ile genel etki alanları üzerinde problemi inceleyen George Green'e kadar gider . şimdi Green'in işlevleri olarak adlandırdığımız ve Green'in işlevinin herhangi bir etki alanı için var olduğunu savunduk. Yöntemleri bugünün standartlarına göre katı değildi, ancak fikirleri sonraki gelişmelerde oldukça etkiliydi. Dirichlet probleminin araştırılmasındaki sonraki adımlar , problemin adını alan Karl Friedrich Gauss , William Thomson ( Lord Kelvin ) ve Peter Gustav Lejeune Dirichlet tarafından atıldı ve problemin çözümü (en azından top için) kullanılarak yapıldı. Poisson çekirdeği Dirichlet biliniyordu (Prusya academy sunulan onun 1850 kağıt bakılırsa). Lord Kelvin ve Dirichlet , "Dirichlet enerjisinin" minimizasyonuna dayanan varyasyonel bir yöntemle probleme bir çözüm önerdiler . Hans Freudenthal'e göre ( Scientific Biography Sözlüğü , cilt 11), Bernhard Riemann , bu varyasyon problemini Dirichlet ilkesi adını verdiği bir yöntemle çözen ilk matematikçiydi . Eşsiz bir çözümün varlığı, "fiziksel argüman" ile çok makuldür: sınırdaki herhangi bir yük dağılımı, elektrostatik yasalarına göre , çözüm olarak bir elektrik potansiyeli belirlemelidir . Bununla birlikte, Karl Weierstrass , Riemann'ın argümanında bir kusur buldu ve varlığın kesin bir kanıtı, sadece 1900'de David Hilbert tarafından , varyasyonlar hesabındaki doğrudan yöntemini kullanarak bulundu . Bir çözümün varlığının hassas bir şekilde sınırın düzgünlüğüne ve öngörülen verilere bağlı olduğu ortaya çıktı.

Genel çözüm

Yeterince düzgün bir sınırı olan bir alan için, Dirichlet probleminin genel çözümü şu şekilde verilir: ${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili \kısmi D}$

${\displaystyle u(x)=\int _{\kısmi D}\nu(s){\frac {\kısmi G(x,s)}{\kısmi n}}\,ds,}$

burada bir Green fonksiyonu kısmi diferansiyel denklem için ve ${\görüntüleme stili G(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {\kısmi G(x,s)}{\kısmi n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i }n_{i}{\frac {\kısmi G(x,s)}{\kısmi s_{i}}}}$

içe dönük birim normal vektör boyunca Green fonksiyonunun türevidir . Entegrasyon, ölçü ile sınırda gerçekleştirilir . Fonksiyon , ikinci tür Fredholm integral denkleminin benzersiz çözümüyle verilir , ${\ Displaystyle {\widehat {n}}}$ ${\görüntüleme stili ds}$${\görüntüleme stili \nu(lar)}$

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\kısmi G(x,s)} {\kısmi n}}\,ds.}$

Yukarıdaki integralde kullanılacak Green fonksiyonu, sınırda kaybolan fonksiyondur:

${\displaystyle G(x,s)=0}$

için ve . Böyle bir Green fonksiyonu genellikle serbest alan Green fonksiyonunun toplamı ve diferansiyel denklemin harmonik bir çözümüdür. ${\displaystyle s\in \kısmi D}$${\displaystyle x\in D}$

Varoluş

Harmonik fonksiyonlar için Dirichlet probleminin her zaman bir çözümü vardır ve bu çözüm, sınır yeterince düzgün ve sürekli olduğunda benzersizdir . Daha doğrusu, ne zaman bir çözümü var ${\görüntüleme stili f(ler)}$

${\displaystyle \kısmi D\in C^{1,\alpha }}$

bazıları için , burada Hölder koşulunu belirtir . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$${\görüntüleme stili C^{1,\alfa }}$

Örnek: iki boyutlu birim disk

Bazı basit durumlarda Dirichlet problemi açıkça çözülebilir. Örneğin, birim disk için Dirichlet sorunun çözümü R ² ile verilir Poisson integral formülü .

Eğer sınırda sürekli bir fonksiyonudur açık birim diskin , daha sonra Dirichlet sorunun çözümü edilir verdiği ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili \kısmi D}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili u(z)}$

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }) {\frac {1-|z|^{2}}{|1-ze^{-i\psi }|^{2}}}\,d\psi &{\text{if }}z\in D ,\\f(z)&{\text{if }}z\in \kısmi D.\end{durumlar}}}$

Çözüm kapalı birim diskte sürekli ve harmonik${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili {\bar {D}}}$${\görüntüleme stili D.}$

İntegrant Poisson çekirdeği olarak bilinir ; bu çözüm Green'in fonksiyonunu iki boyutta takip eder:

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log |zx|+\gamma (z,x),}$

burada bir harmonik ( ) ve bu şekilde seçilir için . ${\görüntüleme stili \gama (z,x)}$${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$${\ Displaystyle G(z,x)=0}$${\displaystyle x\in \kısmi D}$

Çözüm yöntemleri

Sınırlı alanlar için, Dirichlet problemi, alt harmonik fonksiyonlar için maksimum ilkesine dayanan Perron yöntemi kullanılarak çözülebilir . Bu yaklaşım birçok ders kitabında açıklanmıştır. Sınır düzgün olduğunda, çözümlerin düzgünlüğünü tanımlamak için pek uygun değildir. Sobolev uzayları aracılığıyla bir başka klasik Hilbert uzay yaklaşımı bu tür bilgileri verir. Düzlemsel alanlar için Sobolev uzaylarını kullanan Dirichlet probleminin çözümü , Riemann haritalama teoreminin düzgün versiyonunu kanıtlamak için kullanılabilir . Bell (1992) , Szegő ve Bergman'ın yeniden üreten çekirdeklerine dayanan düzgün Riemann haritalama teoremini kurmak için farklı bir yaklaşımın ana hatlarını çizdi ve bunu Dirichlet problemini çözmek için kullandı. Klasik potansiyel teorisi yöntemleri , Dirichlet probleminin standart kompakt teorisi ve Fredholm operatörlerinin uygulanabilir olduğu integral operatörler açısından doğrudan çözülmesine izin verir . Aynı yöntemler Neumann sorunu için de aynı şekilde çalışır .

genellemeler

Dirichlet problemleri, eliptik kısmi diferansiyel denklemler ve potansiyel teorisi ve özellikle Laplace denklemi için tipiktir . Diğer örnekler , elastikiyet teorisindeki biharmonik denklemi ve ilgili denklemleri içerir .

Neumann problemleri ve Cauchy problemleri de dahil olmak üzere sınırda verilen bilgilerle tanımlanan çeşitli PDE problemleri sınıflarından biridir .

Örnek: hareketli bir duvara bağlı sonlu bir ipin denklemi

Bir ucu kalıcı olarak tutturulmuş ve diğer ucu sabit hızla hareket eden duvarlar arasına iliştirilmiş bir ipi tanımlayan dalga denklemi için Dirichlet problemini düşünün, yani uzay ve zamanın Kartezyen çarpımının üçgen bölgesi üzerindeki d'Alembert denklemi :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2} }}u(x,t)=0,}$

${\görüntüleme stili u(0,t)=0,}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0.}$

İkame ile kolayca kontrol edilebileceği gibi, birinci koşulu sağlayan çözüm şudur:

${\görüntüleme stili u(x,t)=f(tx)-f(x+t).}$

Ek olarak istediğimiz

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.}$

değiştirme

${\displaystyle \tau =(\lambda+1)t,}$

kendine benzerlik koşulunu elde ederiz

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau ),}$

nerede

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.}$

Örneğin, bileşik işlev tarafından yerine getirilir.

${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

ile birlikte

${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i},}$

yani genel olarak

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma\tau )],}$

burada a, periyodik bir fonksiyon bir süre ile : ${\görüntüleme stili g}$${\displaystyle \log(\gamma )}$

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau ),}$

ve genel çözümü elde ederiz

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(tx)]-g[\log(x+t)].}$

Notlar

Referanslar

• A. Yanushauskas (2001) [1994], "Dirichlet problemi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• SG Krantz, Dirichlet Problemi . §7.3.3 Karmaşık Değişkenler El Kitabında . Boston, MA: Birkhäuser, s. 93, 1999. ISBN  0-8176-4011-8 .
• S. Axler , P. Gorkin , K. Voss, Kuadratik yüzeylerde Dirichlet problemi , Mathematics of Computation 73 (2004), 637-651.
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), ikinci dereceden eliptik kısmi diferansiyel denklemler (2. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41160-4.
• Gerard, Patrick; Leichtnam, Eric : Dirichlet problemi için özfonksiyonların ergodik özellikleri. Dük Matematik. J. 71 (1993), no. 2, 559-607.
• John, Fritz (1982), Kısmi diferansiyel denklemler , Applied Mathematical Sciences, 1 (4. baskı), Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6.
• Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Kısmi diferansiyel denklemler, Lars Gȧrding ve AN Milgram'ın katkılarıyla , Lectures in Applied Mathematics, 3A , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0049-3.
• Agmon, Shmuel (2010), Eliptik Sınır Değer Problemleri Üzerine Dersler , Amerikan Matematik Derneği, ISBN 0-8218-4910-7
• Stein, Elias M. (1970), Fonksiyonların Tekil İntegraller ve Türevlenebilirlik Özellikleri , Princeton University Press.
• Greene, Robert E. ; Krantz, Steven G. (2006), Tek değişkenli karmaşık fonksiyonlar teorisi , Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları , 40 (3 ed.), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3962-4.
• Taylor, Michael E. (2011), Kısmi diferansiyel denklemler I. Temel teori , Uygulamalı Matematik Bilimleri, 115 (2. baskı), Springer, ISBN 978-1-4419-7054-1.
• Zimmer, Robert J. (1990), Temel fonksiyonel analiz sonuçları , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, ISBN 0-226-98337-4.
• Folland, Gerald B. (1995), Kısmi diferansiyel denklemlere giriş (2. baskı), Princeton University Press, ISBN 0-691-04361-2.
• Chazarain, Jacques; Piriou, Alain (1982), Lineer Kısmi Diferansiyel Denklemler Teorisine Giriş , Matematik Çalışmaları ve Uygulamaları, 14 , Elsevier, ISBN 0444864520.
• Bell, Steven R. (1992), Cauchy dönüşümü, potansiyel teori ve uyumlu haritalama , Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, ISBN 0-8493-8270-X.
• Warner, Frank W. (1983), Türevlenebilir Manifoldların ve Lie Gruplarının Temelleri, Matematikte Lisansüstü Metinleri, 94 , Springer, ISBN 0387908943.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Cebirsel Geometrinin İlkeleri , Wiley Interscience, ISBN 0471050598.
• Courant, R. (1950), Dirichlet Prensibi, Uyumlu Haritalama ve Minimal Yüzeyler , Interscience.
• Schiffer, M.; Hawley, NS (1962), "Bağlantılar ve uyumlu haritalama", Acta Math. , 107 : 175–274, doi : 10.1007/bf02545790

Dış bağlantılar

• "Dirichlet problemi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Problemi" . Matematik Dünyası .