Çapraz politop - Cross-polytope

2 ila 5 boyutunda çapraz politoplar

2 boyutlu kare	3 boyutlu oktahedron
4 boyutlu 16 hücreli	5 boyutlu 5-ortopleks

İn geometrisi , bir çapraz politop , hyperoctahedron , orthoplex veya cocube a, düzenli , dışbükey politop var N - boyutları . 2 boyutlu çapraz politop bir karedir, 3 boyutlu bir çapraz politop normal bir oktahedrondur ve 4 boyutlu bir çapraz politop 16 hücrelidir . Onun yüzleridir Simpleksler çapraz politop en olurken, önceki boyutun tepe rakam önceki boyuttan başka çapraz politop olduğunu.

Bir çapraz politopun köşeleri, her bir koordinat ekseni boyunca işaret eden birim vektörler olarak seçilebilir – yani (±1, 0, 0, …, 0) ' nin tüm permütasyonları . Çapraz politop, köşelerinin dışbükey gövdesidir . N boyutlu çapraz politop da kapalı olarak tanımlanabilir birim topu (bazı yazarlar, kendisinin sınır göre ya da) ℓ ₁ -norm ile R ^{, n} :

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}$

1 boyutta çapraz politop basitçe doğru parçası [-1, +1], 2 boyutta köşeleri {(±1, 0), (0, ±1)} olan bir karedir (veya baklava). 3 boyutta bir oktahedrondur - Platonik katılar olarak bilinen beş dışbükey düzenli çokyüzlüden biridir . Bu, daha yüksek boyutlara genelleştirilebilir n bir şekilde inşa -orthoplex varlık çift piramit , bir ile ( n -1) -orthoplex baz.

Çapraz politop olan ikili politop ait hiperküp . 1- iskelet a n boyutlu çapraz politop a, Turan grafiktir T (2 , n , n ).

4 boyut

4 boyutlu çapraz politop ayrıca hexadecachoron veya 16 hücreli adıyla da gider . Altı dışbükey düzenli 4-politoptan biridir . Bu 4-politoplar ilk olarak 19. yüzyılın ortalarında İsviçreli matematikçi Ludwig Schläfli tarafından tanımlanmıştır .

Daha yüksek boyutlar

Çapraz politop ailesi üç biri düzenli politop etiketli, ailesine Coxeter olarak p _{, n} , diğer iki olmak hiperküp olarak etiketlenmiş ailesi, γ _n ve simplices olarak etiketlenmiş, α _n . Dördüncü bir aile, hiperküplerin sonsuz mozaiklerini δ _n olarak etiketledi .

N boyutlu çapraz politop 2 sahiptir , n köşe ve 2 ^N ((yönü n  bunların hepsi (- 1) boyutlu parçalar) n-  1 -) - simplices . Tepe rakamlar Tüm (vardır n  -Cross-polytopes - 1). SCHLAFLI sembol arası politop ait {3,3, ..., 3,4}.

İkidüzlemli açı bölgesinin N boyutlu çapraz politop olup . Bu şunu verir: δ ₂ = arccos(0/2) = 90°, δ ₃ = arccos(−1/3) = 109.47°, δ ₄ = arccos(−2/4) = 120°, δ ₅ = arccos(− 3/5) = 126.87°, ... δ _∞ = arccos(−1) = 180°. ${\displaystyle \delta _{n}=\arccos \sol({\frac {2-n}{n}}\sağ)}$

n -boyutlu çapraz politopun hiper hacmi

${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}$

Zıt olmayan her bir köşe çifti için onları birleştiren bir kenar vardır. Daha genel olarak, her k  + 1 ortogonal köşe kümesi , onları içeren ayrı bir k boyutlu bileşene karşılık gelir . Sayısı k bir in boyutlu parçaları (vertices, kenar yüzleri, ..., yönü) n- boyutlu çapraz-politop böylece (bakınız verilir binom katsayısı ):

${\displaystyle 2^{k+1}{n \seçin {k+1}}}$

Çapraz politopları 2 boyutlu grafikler olarak gösterebilen birçok olası ortografik izdüşüm vardır. Petrie çokgen projeksiyonları, noktaları normal 2 n -gon veya daha düşük sıralı normal çokgenlerle eşler. İkinci bir çıkıntı 2 (alır , n bir şekilde görülen düşük bir boyuta -1) Petrie açılı çokgen, çift piramit 2 köşe merkezi olarak yerleştirilmiş olan eksen izdüşümü.

Çapraz politop öğeleri

n	β n k 11	İsim(ler) Grafiği	Grafik 2 n -gon	Schläfli	Coxeter-Dynkin diyagramları	tepe noktaları	Kenarlar	yüzler	hücreler	4 yüz	5 yüz	6-yüz	7-yüz	8-yüz	9-yüz	10 yüz
0	β 0	Nokta 0-ortopleks	.	( )		1
1	β 1	Çizgi segmenti 1-ortopleks		{ }		2	1
2	β 2 -1 11	kare 2-ortopleks Bikros		{4} 2{ } = { }+{ }		4	4	1
3	β 3 0 11	oktahedron 3-ortopleks Tricross		{3,4} {3 1,1 } 3{ }		6	12	8	1
4	β 4 1 11	16 hücreli 4 ortopleks Tetrakros		{3,3,4} {3,3 1,1 } 4{ }		8	24	32	16	1
5	β 5 2 11	5-ortopleks Pentakros		{3 3 ,4} {3,3,3 1,1 } 5{ }		10	40	80	80	32	1
6	β 6 3 11	6-ortopleks Hexacross		{3 4 ,4} {3 3 ,3 1,1 } 6{ }		12	60	160	240	192	64	1
7	β 7 4 11	7-ortopleks Heptakros		{3 5 ,4} {3 4 ,3 1,1 } 7{ }		14	84	280	560	672	448	128	1
8	β 8 5 11	8-ortopleks Octacross		{3 6 ,4} {3 5 ,3 1,1 } 8{ }		16	112	448	1120	1792	1792	1024	256	1
9	β 9 6 11	9-ortopleks Ennecross		{3 7 ,4} {3 6 ,3 1,1 } 9{ }		18	144	672	2016	4032	5376	4608	2304	512	1
10	β 10 7 11	10-ortopleks Decacross		{3 8 ,4} {3 7 ,3 1,1 } 10{ }		20	180	960	3360	8064	13440	15360	11520	5120	1024	1
...
n	β n k 11	n -ortopleks n -çapraz		{3 n  − 2 ,4} {3 n  − 3 ,3 1,1 } n {}	... ... ...	2 n 0-yüz , ... k -yüz ..., 2 n ( n -1)-yüz${\displaystyle 2^{k+1}{n \k+1'i seçin}}$

Eksen hizalı bir çapraz politopun köşelerinin tümü Manhattan mesafesinde ( L ¹ normu ) birbirinden eşit uzaklıkta bulunur . Kusner'ın varsayımı , bu 2 d nokta kümesinin , bu mesafe için mümkün olan en büyük eşit uzaklık kümesi olduğunu belirtir .

genelleştirilmiş ortoplex

Düzenli karmaşık politoplar , genelleştirilmiş ortopleksler (veya çapraz politoplar), β olarak adlandırılan karmaşık Hilbert uzayında tanımlanabilir.^p
_n= ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} _p , veya... p = 2 ile gerçek çözümler vardır , yani β²
_n= β _n = ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} ₂ = {3,3,...,4}. İçin p > 2, onlar var . Bir p -generalized n -orthoplex sahip pn köşe. Genelleştirilmiş ortopleksler , faset olarak düzenli simplekslere (gerçek) sahiptir . Genelleştirilmiş ortopleksler tam çok parçalı grafikler yapar , β${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$^p
₂tam ikili grafik için K _{p , p yapın} , β^p
₃tam üçlü grafikler için K _{p , p , p yapın} . β^p
_nK oluşturur _{p ⁿ} . n'nin katları dışında tüm köşe çiftlerinin bağlı olduğu bir daire üzerindeki tüm köşeleri eşit aralıklarla eşleyen bir ortogonal izdüşüm tanımlanabilir . Düzenli çokgen bu dik projeksiyonlarda çevre bir denir petri poligon .

genelleştirilmiş ortopleksler

	p = 2		p = 3	p = 4	p = 5	p = 6	p = 7	p = 8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$	2 {4} 2 = {4} = K 2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{2}}$	2 {4} 3 = K 3,3	2 {4} 4 = K 4,4	2 {4} 5 = K 5,5	2 {4} 6 = K 6,6	2 {4} 7 = K 7,7	2 {4} 8 = K 8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	2 {3} 2 {4} 2 = {3,4} = K 2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{3}}$	2 {3} 2 {4} 3 = K 3,3,3	2 {3} 2 {4} 4 = K 4,4,4	2 {3} 2 {4} 5 = K 5,5,5	2 {3} 2 {4} 6 = K 6,6,6	2 {3} 2 {4} 7 = K 7,7,7	2 {3} 2 {4} 8 = K 8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3,3,4} = K 2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{4}}$	2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{5}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8
${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 2 {3,3,3,3,4} = K 2,2,2,2,2,2	${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{6}}$	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 K 3,3,3,3,3,3	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 K 4,4,4,4,4,4	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 K 5,5,5,5,5,5	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 K 6,6,6,6,6,6	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 K 7,7,7,7,7,7	2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 K 8,8,8,8,8,8

İlgili politop aileleri

Çapraz politoplar, bileşik politoplar oluşturmak için ikili küpleriyle birleştirilebilir:

• İki boyutta, oktagrammik yıldız figürünü elde ederiz { 8 ⁄ 2 },
• Üç boyutta küp ve oktahedron bileşiğini elde ederiz ,
• Dört boyutta tesseract ve 16 hücreli bileşiği elde ederiz .

Ayrıca bakınız

• Düzenli politopların listesi
• Hiperoktahedral grup , çapraz politopun simetri grubu

alıntılar

Referanslar

• Coxeter, HSM (1973). Düzenli Politoplar (3. baskı). New York: Dover.
  • s. 121-122, §7.21. resme bakın Şekil 7.2 B
  • P. 296, Tablo I (iii): Düzenli Politoplar, n-boyutlarında (n≥5) üç düzenli politop

Dış bağlantılar

• Weisstein, Eric W. "Çapraz politop" . Matematik Dünyası .