oktahedron - Octahedron
düzenli oktahedron | |
---|---|
(Döner model için tıklayınız) |
|
Tip | Platonik katı |
kısa kod | 4<> 3z |
Elementler |
F = 8, E = 12 V = 6 (χ = 2) |
yan yüzler | 8{3} |
Conway gösterimi | O at |
Schläfli sembolleri | {3,4} |
r{3,3} veya | |
Yüz yapılandırması | V4.4.4 |
Wythoff sembolü | 4 | 2 3 |
Coxeter diyagramı | |
Simetri | O h , BC 3 , [4,3], (*432) |
Rotasyon grubu | O , [4,3] + , (432) |
Referanslar | U 05 , C 17 , W 2 |
Özellikleri | düzenli , dışbükey deltahedron |
Dihedral açı | 109.47122° = arkcos(− 1 ⁄ 3 ) |
3.3.3.3 ( Tepe şekli ) |
Küp ( çift çokyüzlü ) |
Ağ |
İn geometrisi , bir oktahedron (çoğulu sekiz-, Oktahedronlar) a, çok yüzlü , sekiz yüzlü, on iki kenarlı ve altı köşe ile. Terim en yaygın olarak , dördü her tepe noktasında buluşan sekiz eşkenar üçgenden oluşan bir Platonik katı olan normal oktahedronu belirtmek için kullanılır .
Düzenli bir oktahedron, bir küpün ikili çokyüzlüsüdür . Bu bir olan doğrultulmuş tetrahedron . Üç ortogonal yönelimden herhangi birinde kare bir bipiramittir . Aynı zamanda dört yönelimden herhangi birinde üçgen bir antiprizmadır .
Bir oktahedron, daha genel bir çapraz politop kavramının üç boyutlu halidir .
Normal bir oktahedron a, 3-top olarak Manhattan ( ℓ 1 ) metrik .
düzenli oktahedron
Boyutlar
Normal bir oktahedron kenar uzunluğu ise bir , yarıçap , bir sınırlı bir alanda (bütün köşelerinde sekizyüzeylinin dokunur bir)
ve yazılı bir kürenin yarıçapı ( oktahedronun yüzlerinin her birine teğet )
her kenarın ortasına dokunan orta yarıçap ise
ortogonal projeksiyonlar
Oktahedron dört özel olan ortogonal projeksiyonları bir yüzü bir kenarına, tepe noktası, yüz ve normal merkezli,. B ikinci ve üçüncü karşılık gelir 2 ve A 2 Coxeter uçaklar .
tarafından merkezli | Köşe | Yüz Normal |
tepe noktası | Yüz |
---|---|---|---|---|
resim | ||||
projektif simetri |
[2] | [2] | [4] | [6] |
küresel döşeme
Oktahedron ayrıca küresel bir döşeme olarak temsil edilebilir ve bir stereografik izdüşüm yoluyla düzleme yansıtılabilir . Bu izdüşüm uyumlu , açıları koruyor, ancak alanları veya uzunlukları değil. Küre üzerindeki düz çizgiler, düzlem üzerinde dairesel yaylar olarak yansıtılır.
Ortografik projeksiyon | stereografik izdüşüm |
---|
Kartezyen koordinatları
Kenar uzunluğu √ 2 olan bir oktahedron , merkezi orijinde ve köşeleri koordinat eksenlerinde olacak şekilde yerleştirilebilir; Kartezyen koordinatlar köşe daha sonra
- ( ±1, 0, 0);
- (0, ±1, 0);
- (0, 0, ±1 ).
Bir x – y – z kartezyen koordinat sisteminde , merkez koordinatları ( a , b , c ) ve yarıçapı r olan oktahedron tüm noktaların ( x , y , z ) kümesidir.
Alan ve hacim
Kenar uzunluğu a olan düzgün bir oktahedronun yüzey alanı A ve hacmi V :
Böylece hacim, aynı kenar uzunluğuna sahip düzgün bir dört yüzlününkinin dört katı , yüzey alanı ise iki katıdır (4 yerine 8 üçgenimiz olduğu için).
Bir oktahedron denkleme uyması için gerilirse
yüzey alanı ve hacim için formüller genişler
Ek olarak, gerilmiş oktahedronun eylemsizlik tensörü
Bunlar, normal oktahedron için denklemlere indirgenir.
geometrik ilişkiler
İki ikili tetrahedranın bileşiğinin içi bir oktahedrondur ve stella octangula adı verilen bu bileşik, onun ilk ve tek yıldızıdır . Buna uygun olarak, düzenli bir oktahedron, lineer boyutun yarısına sahip dört düzenli dörtyüzlü (yani dörtyüzlü rektifiye ) düzenli bir dörtyüzlüden kesmenin sonucudur . Tetrahedron kenarlarında ortanoktalarda oktahedron yalan köşeler ve bu anlamda, aynı şekilde tetrahedron ilişkindir cuboctahedron ve icosidodecahedron diğer Pluronic katı ile ilgilidir. Bir ikosahedronun köşelerini tanımlamak için bir oktahedronun kenarlarını altın ortalama oranında bölebilirsiniz . Bu, önce vektörleri oktahedronun kenarları boyunca, her bir yüz bir döngü ile sınırlanacak şekilde yerleştirerek, ardından benzer şekilde her bir kenarı vektörünün yönü boyunca altın ortalamaya bölerek yapılır. Bu şekilde herhangi bir ikosahedronu tanımlayan beş oktahedra vardır ve bunlar birlikte düzenli bir bileşik tanımlar .
Octahedra ve tetrahedra , Buckminster Fuller tarafından sekizli kafes olarak adlandırılan bir köşe, kenar ve yüz-tekdüze boşluk mozaikleme oluşturmak için değiştirilebilir . Bu, küplerin düzenli mozaiklemesinden başka böyle bir döşemedir ve 28 dışbükey tek biçimli peteklerden biridir . Bir diğeri, oktahedra ve küboctahedranın mozaiklenmesidir .
Oktahedron, her bir tepe noktasında buluşan çift sayıda yüze sahip olması bakımından Platonik katılar arasında benzersizdir. Sonuç olarak, yüzlerin hiçbirinden geçmeyen ayna düzlemlerine sahip olan bu grubun tek üyesidir.
Johnson katıları için standart adlandırma kullanıldığında , bir oktahedron kare iki piramit olarak adlandırılır . İki zıt köşenin kesilmesi, kare bir bifrüstum ile sonuçlanır .
Oktahedron 4 bağlantılıdır , yani kalan köşelerin bağlantısını kesmek için dört köşenin çıkarılması gerekir. Sadece dört 4 bağlantılı basit iyi örtülü çokyüzlüden biridir, yani köşelerinin tüm maksimum bağımsız kümelerinin aynı boyuta sahip olduğu anlamına gelir . Bu özelliğe sahip diğer üç çokyüzlü, beşgen dipiramid , kalkık disfenoid ve 12 köşesi ve 20 üçgen yüzü olan düzensiz bir çokyüzlüdür.
Oktahedron, tüm değerleri 1 olarak ayarlanmış bir 3B süperelipsoid durumu olarak da oluşturulabilir .
Tek tip renklendirmeler ve simetri
Oktahedronun, her bir köşe etrafında dönen üçgen yüz renkleriyle adlandırılan 3 tek biçimli rengi vardır : 1212, 1112, 1111.
Oktahedron en simetri grubu O, h düzenine 48, üç boyutlu hyperoctahedral grubu . Bu grubun alt grupları , üçgen antiprizmanın simetri grubu olan D 3d (düzen 12) ; D 4h (düzey 16), bir kare bipiramidin simetri grubu ; ve T, D (sipariş 24), bir simetri grubu rektifiye tetrahedron . Bu simetriler, yüzlerin farklı renklendirilmesiyle vurgulanabilir.
İsim | oktahedron |
Rektifiye edilmiş tetrahedron (Tetratetrahedron) |
üçgen antiprizma | Kare bipiramit | eşkenar dörtgen fusil |
---|---|---|---|---|---|
Görüntü (Yüz boyama) |
(1111) |
(1212) |
(1112) |
(1111) |
(1111) |
Coxeter diyagramı | = |
|
|||
Schläfli sembolü | {3,4} | r{3,3} | s{2,6} sr{2,3} |
ft{2,4} { } + {4} |
ftr{2,2} { } + { } + { } |
Wythoff sembolü | 4 | 3 2 | 2 | 4 3 | 2 | 6 2 | 2 3 2 |
||
Simetri | O h , [4,3], (*432) | T d , [3,3], (* 332) | D 3d , [2 + ,6], (2*3) D 3 , [2,3] + , (322) |
D 4h , [2,4], (*422) | D 2h , [2,2], (*222) |
Emir | 48 | 24 | 12 6 |
16 | 8 |
ağlar
Normal oktahedron on bir ağ düzenine sahiptir .
Çift
Oktahedron olan çift yüzlü cisim için küp .
Oktahedronun bir kenarının uzunluğu ise ikili küpün bir kenarının uzunluğudur .
kaplama
Muntazam tetrahemihexahedron isimli bir dörtyüzlü simetri yüzeyli , dövme, normal oktahedronun kenar ve köşe düzenlemesi . Dört üçgen yüzü ve 3 merkezi karesi vardır.
oktahedron |
dört yüzlü |
düzensiz oktahedra
Aşağıdaki çokyüzlüler, düzenli çokyüzlüye kombinatoryal olarak eşdeğerdir. Hepsinin altı köşesi, sekiz üçgen yüzü ve düzenli bir oktahedronun özelliklerine birebir karşılık gelen on iki kenarı vardır.
- Üçgen antiprizmalar : İki yüz eşkenardır, paralel düzlemlerde uzanır ve ortak bir simetri eksenine sahiptir. Diğer altı üçgen ikizkenardır.
- Ekvator dörtgenlerinden en az birinin bir düzlem üzerinde yer aldığı tetragonal bipiramidler . Düzenli oktahedron, üç dörtgenin de düzlemsel kareler olduğu özel bir durumdur.
- Schönhardt polihedron , yeni köşeler eklemeden dörtyüzlülere bölünemeyen dışbükey olmayan bir çokyüzlü.
- Bricard oktahedron , dışbükey olmayan kendinden geçişli esnek çokyüzlü
Diğer dışbükey oktahedra
Daha genel olarak, bir oktahedron, sekiz yüzü olan herhangi bir çokyüzlü olabilir. Normal oktahedron, bir oktahedron için minimum olan 6 köşesi ve 12 kenarı vardır; düzensiz oktahedranın 12 köşesi ve 18 kenarı olabilir. Ayna görüntüleri hariç, topolojik olarak farklı 257 dışbükey oktahedra vardır. Daha spesifik olarak, oktahedra için sırasıyla 6 ila 12 köşeli 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 vardır. (İki çokyüzlüler, yüzlerin ve köşelerin özünde farklı düzenlemelerine sahipse, "topolojik olarak farklıdır", öyle ki, yalnızca kenarların uzunluklarını veya kenarlar veya yüzler arasındaki açıları değiştirerek birini diğerine dönüştürmek imkansızdır.)
Daha iyi bilinen bazı düzensiz oktahedralar şunları içerir:
- Altıgen prizma : İki yüz paralel düzgün altıgenlerdir; altı kare, karşılık gelen altıgen kenar çiftlerini birbirine bağlar.
- Yedigen piramit : Bir yüz bir yedigendir (genellikle düzenli) ve kalan yedi yüz üçgendir (genellikle ikizkenar). Tüm üçgen yüzlerin eşkenar olması mümkün değildir.
- Kesik dörtyüzlü : Dörtyüzlüden gelen dört yüz, düzenli altıgenler olacak şekilde kesilir ve her dörtyüzlü tepe noktasının kesildiği dört eşkenar üçgen yüz daha vardır.
- Dörtgen yamuk : Sekiz yüz uyumlu uçurtmalardır .
- Sekizgen hosohedron : Öklid uzayında dejenere olur, ancak küresel olarak gerçekleştirilebilir.
Fiziksel dünyada Octahedra
Doğada oktahedra
- Elmas , şap veya floritin doğal kristalleri , boşluğu dolduran tetrahedral-oktahedral petek olarak genellikle oktahedraldir .
- Oktahedrit göktaşlarındaki kamasit alaşımı plakaları , bir oktahedronun sekiz yüzüne paralel olarak düzenlenmiştir.
- Birçok metal iyonu , bir oktahedral veya çarpık oktahedral konfigürasyonda altı ligandı koordine eder .
- Widmanstätten kalıpları içinde nikel - demir kristalleri
Sanat ve kültürde Octahedra
- Özellikle rol yapma oyunlarında bu katı, daha yaygın çokyüzlü zarlardan biri olan "d8" olarak bilinir .
- Bir oktahedronun her kenarı bir ohm'luk dirençle değiştirilirse , zıt köşeler arasındaki direnç 1/2 ohm ve bitişik köşeler arasındaki 5/12 ohm.
- Altı nota, bir oktahedronun köşelerinde, her kenar bir ünsüz ikiliyi ve her yüz bir ünsüz üçlüyü temsil edecek şekilde düzenlenebilir; bkz. heksan .
Dörtyüzlü Kafes
1950'lerde Buckminster Fuller tarafından tekrar eden tetrahedronlar ve oktahedronlardan oluşan bir çerçeve icat edildi ve uzay çerçevesi olarak bilinir ve genellikle konsol gerilmelerine direnmek için en güçlü yapı olarak kabul edilir .
İlgili çokyüzlü
Düzenli bir oktahedron, birbirini izleyen yüzlere 4 tetrahedron eklenerek bir tetrahedron haline getirilebilir . 8 yüzün tümüne tetrahedra eklemek, yıldız şeklinde oktahedron oluşturur .
tetrahedron | yıldız şeklinde oktahedron |
---|
Oktahedron, küple ilgili bir tek tip çokyüzlü ailesinden biridir.
Tek tip oktahedral çokyüzlü | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetri : [4,3], (*432) | [4,3] + (432) |
[1 + ,4,3] = [3,3] (*332) |
[3 + ,4] (3*2) |
|||||||
{4,3} | t{4,3} |
r{4,3} r{3 1,1 } |
t{3,4} t{3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr{4,3} s 2 {3,4} |
tr{4,3} | sr{4,3} |
h{4,3} {3,3} |
h 2 {4,3} t{3,3} |
s{3,4} s{3 1,1 } |
= |
= |
= |
= veya |
= veya |
= |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Tekdüze çokyüzlülere çiftler | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V(3.4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Aynı zamanda , bir hiperküpün bir hiperdüzlemle belirli kesişimlerinden oluşan bir politop olan hipersimpleks'in en basit örneklerinden biridir .
Oktahedron, hiperbolik düzlemde devam eden Schläfli sembolleri {3, n } ile düzenli çokyüzlüler dizisinin bir parçası olarak topolojik olarak ilişkilidir .
* n 32 düzenli döşemelerin simetri mutasyonu: {3, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Küresel | Öklid. | Kompakt hiper. | Parako. | kompakt olmayan hiperbolik | |||||||
3.3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
dörtyüzlü
Düzenli oktahedron ayrıca rektifiye edilmiş bir tetrahedron olarak kabul edilebilir ve tetratetrahedron olarak adlandırılabilir . Bu, 2 renkli bir yüz modeli ile gösterilebilir. Bu renklendirme ile oktahedron tetrahedral simetriye sahiptir .
Bir tetrahedron ve onun ikili arasındaki bu kesme dizisini karşılaştırın:
Tek tip tetrahedral çokyüzlü ailesi | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetri : [3,3] , (*332) | [3,3] + , (332) | ||||||
{3,3} | t{3,3} | r{3,3} | t{3,3} | {3,3} | sağ{3,3} | tr{3,3} | sr{3,3} |
Tekdüze çokyüzlülere çiftler | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Yukarıdaki şekiller aynı zamanda bir tesseratın uzun köşegenine ortogonal dilimler olarak da gerçekleştirilebilir . Bu köşegen 1 yüksekliğinde dikey olarak yönlendirilirse, yukarıdaki ilk beş dilim r yüksekliğinde oluşur ,3/8, 1/2, 5/8, ve s , burada r 0 < r ≤ aralığındaki herhangi bir sayıdır1/4, ve s aralıktaki herhangi bir sayıdır3/4≤ s < 1 .
Bir tetratetrahedron olarak oktahedron, kürenin döşemelerinden Öklid düzlemine ve hiperbolik düzleme doğru ilerleyen , yarı-düzenli çokyüzlülerin simetrileri ve tepe konfigürasyonlu döşemeler (3. n ) 2 dizisinde bulunur . İle orbifold gösterim simetri * N 32, bu tilings tümü Wythoff yapılar bir mesafede temel alan alanının dik açı köşesinde jeneratör noktaları ile simetri.
* n 32 yarı-düzenli döşemelerin orbifold simetrileri : (3. n ) 2 | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Yapı |
Küresel | Öklidyen | hiperbolik | ||||
*332 | *432 | *532 | *632 | *732 | *832... | *∞32 | |
yarı düzenli rakamlar |
|||||||
tepe noktası | (3.3) 2 | (3.4) 2 | (3.5) 2 | (3.6) 2 | (3.7) 2 | (3.8) 2 | (3.∞) 2 |
üçgen antiprizma
Bir olarak köşeli antiprizma , oktahedron altıgen dihedral simetri ailesi ile ilgilidir.
Tek tip altıgen dihedral küresel çokyüzlü | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Simetri : [6,2] , (*622) | [6,2] + , (622) | [6,2 + ], (2*3) | ||||||||||||
{6,2} | t{6,2} | r{6,2} | t{2,6} | {2,6} | sağ {6,2} | tr{6,2} | sr{6,2} | s{2,6} | ||||||
Üniformalar için ikili | ||||||||||||||
V6 2 | V12 2 | V6 2 | V4.4.6 | V2 6 | V4.4.6 | V4.4.12 | V3.3.3.6 | V3.3.3.3 |
antiprizma adı | çapraz antiprizma | ( Üçgen ) Üçgen antiprizma |
( Dörtgen ) Kare antiprizma |
beşgen antiprizma | altıgen antiprizma | yedigen antiprizma | sekizgen antiprizma | enneagonal antiprizma | ongen antiprizma | altıgen antiprizma | on ikigen antiprizma | ... | Apeirogonal antiprizma |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
çokyüzlü görüntü | ... | ||||||||||||
Küresel döşeme görüntüsü | Düzlem döşeme resmi | ||||||||||||
Köşe yapılandırması. | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | 8.3.3.3 | 9.3.3.3 | 10.3.3.3 | 11.3.3.3 | 12.3.3.3 | ... | ∞.3.3.3 |
Kare bipiramit
Bipiramit adı | köşeli çift piramit |
Üçgen bipiramit (Bakınız: J 12 ) |
Kare bipiramit (Bakınız: O ) |
Beşgen bipiramit (Bakınız: J 13 ) |
altıgen bipiramit | yedigen bipiramit | sekizgen bipiramit | enneagonal bipiramit | ongen çift piramit | ... | Apeirogonal bipiramit |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
çokyüzlü görüntü | ... | ||||||||||
Küresel döşeme görüntüsü | Düzlem döşeme resmi | ||||||||||
Yüz yapılandırması. | V2.4.4 | V3.4.4 | V4.4.4 | V5.4.4 | V6.4.4 | V7.4.4 | V8.4.4 | V9.4.4 | V10.4.4 | ... | V∞.4.4 |
Coxeter diyagramı | ... |
Ayrıca bakınız
- oktahedral sayı
- Merkezli oktahedral sayı
- dönen oktahedron
- stella sekizgen
- triakis oktahedron
- altıgen oktahedron
- kesik oktahedron
- oktahedral moleküler geometri
- oktahedral simetri
- oktahedral grafik
- oktahedral küre
Referanslar
Dış bağlantılar
- Ansiklopedi Britannica . 19 (11. baskı). 1911. .
- Weisstein, Eric W. "Octahedron" . Matematik Dünyası .
- Klitzing, Richard. "3D dışbükey düzgün çokyüzlü x3o4o – ekim" .
- Etkileşimli 3D görünüm ile bir oktahedronun düzenlenebilir yazdırılabilir ağı
- Oktahedronun kağıt modeli
- KJM MacLean, Beş Platonik Katının ve Diğer Yarı-Düzenli Çokyüzlülerin Geometrik Analizi
- Üniforma Çokyüzlü
-
Sanal Gerçeklik Çokyüzlü Çokyüzlülerin Ansiklopedisi
- Polyhedra için Conway Notasyonu Deneyin: dP4
Aile | bir n | B n | ben 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
düzgün çokgen | Üçgen | Kare | p-gon | Altıgen | Pentagon | |||||||
tek tip çokyüzlü | dörtyüzlü | Oktahedron • Küp | yarım küp | Dodekahedron • Icosahedron | ||||||||
tek tip polikoron | Pentakoron | 16 hücreli • Tesseract | Demitesseract | 24 hücreli | 120 hücreli • 600 hücreli | |||||||
Tek tip 5-politop | 5-simpleks | 5-ortopleks • 5 küp | 5 demiküb | |||||||||
Tek tip 6-politop | 6-simpleks | 6-ortopleks • 6-küp | 6-demicube | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Tek tip 7-politop | 7-simpleks | 7-ortopleks • 7-küp | 7-demicube | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Üniforma 8-politop | 8-simpleks | 8-ortopleks • 8-küp | 8-demicube | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Tek tip 9-politop | 9-simpleks | 9-ortoplex • 9-küp | 9-demicube | |||||||||
Tek tip 10-politop | 10-simpleks | 10-ortopleks • 10 küp | 10-demiküb | |||||||||
Üniforma n - politop | n - tek yönlü | n - ortoplex • n - küp | n - yarım küp | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - beşgen politop | |||||||
Konular: Politop aileleri • Düzenli politop • Düzenli politopların ve bileşiklerin listesi |