Büzülme eşleme - Contraction mapping

Gelen matematik bir daralma eşleme ya da kasılma ya da yüklenici bir ilgili, metrik alan ( M ,  d ) a, fonksiyon f den M özelliği ile kendini, bazı negatif olmayan olduğu reel sayı , öyle ki tüm x ve y de M , ${\ displaystyle 0 \ leq k <1}$

${\ displaystyle d (f (x), f (y)) \ leq k \, d (x, y).}$

Bu türden en küçük k değeri , f'nin Lipschitz sabiti olarak adlandırılır . Sözleşmeli haritalara bazen Lipschitzian haritaları denir . Yukarıdaki koşul k  ≤ 1 için yerine getirilirse, haritalamanın genişlemeyen bir harita olduğu söylenir .

Daha genel olarak, bir sözleşmeli haritalama fikri, metrik uzaylar arasındaki haritalar için tanımlanabilir. Bu nedenle, ( M ,  d ) ve ( N ,  d ' ) iki metrik uzay ise, o zaman böyle bir sabit varsa, büzüşmeli bir eşlemedir . ${\ displaystyle f: M \ rightarrow N}$${\ displaystyle 0 \ leq k <1}$

${\ Displaystyle d '(f (x), f (y)) \ leq k \, d (x, y)}$

M'deki tüm x ve y'ler için .

Her kasılma eşlemesi Lipschitz süreklidir ve bu nedenle tek tip olarak süreklidir (bir Lipschitz sürekli fonksiyonu için, k sabiti artık 1'den küçük olmak zorunda değildir).

Bir daralma eşlemesinin en fazla bir sabit noktası vardır . Dahası, Banach sabit nokta teoremi , boş olmayan bir tam metrik uzaydaki her daralma eşlemesinin benzersiz bir sabit noktaya sahip olduğunu ve M'deki herhangi bir x için yinelenmiş fonksiyon dizisi x , f  ( x ), f  ( f  ( x )), f  ( f  ( f  ( x ))), ... sabit noktaya yakınsar. Bu kavram, daraltma eşlemelerinin sıklıkla kullanıldığı yinelenen işlev sistemleri için çok kullanışlıdır . Banach'ın sabit nokta teoremi, sıradan diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığını kanıtlamak için de kullanılır ve ters fonksiyon teoreminin bir kanıtında kullanılır .

Büzülme eşlemeleri dinamik programlama problemlerinde önemli bir rol oynar .

Kesin olarak genişlemeyen haritalama

İle olmayan bir geniş eşleme bir üzere güçlendirmenin sıkıca olmayan geniş haritalama bir de Hilbert uzay şu herkes için geçerlidir, eğer x ve y de : ${\ displaystyle k = 1}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ Displaystyle \ | f (x) -f (y) \ | ^ {2} \ leq \, \ langle xy, f (x) -f (y) \ rangle.}$

nerede

${\ displaystyle d (x, y) = \ | xy \ |}$ .

Bu, ortalama genişlemeyen operatörlerin özel bir durumudur . Kesin olarak genişlemeyen bir haritalama, Cauchy-Schwarz eşitsizliği yoluyla her zaman genişlemeyen bir durumdur . ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha = 1/2}$

Kesin olarak genişlemeyen haritalar sınıfı, dışbükey kombinasyonlar altında kapatılır , ancak kompozisyonlar altında kapatılmaz . Bu sınıf, uygun, dışbükey, düşük yarı sürekli fonksiyonların yakın eşlemelerini içerir, dolayısıyla boş olmayan kapalı dışbükey kümeler üzerindeki ortogonal projeksiyonları da içerir . Kesin bir şekilde genişlemeyen operatörler sınıfı, maksimum monoton operatörlerin çözücüler kümesine eşittir . Şaşırtıcı bir şekilde, genişlemeyen haritaların yinelemesinin sabit bir nokta bulma garantisi olmasa da (örneğin -1 ile çarpma), sabit bir nokta olması koşuluyla, sabit bir noktaya küresel yakınsamayı garanti etmek için firma genişlememe yeterlidir. Daha doğrusu, eğer , o zaman herhangi bir başlangıç ​​noktası için , ${\ displaystyle {\ text {Düzelt}} f: = \ {x \ in {\ mathcal {H}} \ | \ f (x) = x \} \ neq \ varnothing}$${\ mathcal {H}}} içinde {\ displaystyle x_ {0} \$

${\ displaystyle (\ forall n \ in \ mathbb {N}) \ quad x_ {n + 1} = f (x_ {n})}$

sabit bir noktaya yakınsama verir . Bu yakınsama , sonsuz boyutlu bir ortamda zayıf olabilir . ${\ text {Fix}} f} içinde {\ displaystyle x_ {n} \ - z \$

Alt sözleşme haritası

Bir alt sözleşme haritası veya alt yüklenici , bir metrik uzayda ( M , d ) bir f haritasıdır ,  öyle ki

${\ Displaystyle d (f (x), f (y)) \ leq d (x, y);}$

${\ displaystyle d (f (f (x)), f (x)) <d (f (x), x) \ dört {\ metin {sürece}} \ quad x = f (x).}$

Eğer görüntü taşeronu ait f olan kompakt , daha sonra f sabit noktası vardır.

Yerel dışbükey boşluklar

Bir de lokal konveks alanı ( E ,  P ile birlikte) topoloji bir dizi tarafından verilen P arasında yarınorm bir herhangi tanımlayabilir p  ∈  P , bir p bir harita olarak -contraction f bazı olduğu gibi k _p <1, öyle ki p ( f ( x ) - f ( y )) ≤ k _p p ( x - y ) . Eğer f , tüm p  ∈  P için bir p- büzülmüyse ve ( E ,  P ) ardışık olarak tamamlanmışsa, f'nin herhangi bir x _{n +1} = f ( x _n ) dizisinin limiti olarak verilen sabit bir noktası vardır ve eğer ( E ,  P ) Hausdorff ise , sabit nokta benzersizdir.

Ayrıca bakınız

• Kısa harita
• Kasılma (operatör teorisi)
• dönüşüm

Referanslar

daha fazla okuma

• Istratescu, Vasile I. (1981). Sabit Nokta Teorisi: Giriş . Hollanda: D. Reidel. ISBN   978-90-277-1224-0 . lisans düzeyinde bir giriş sağlar.
• Granas, Andrzej; Dugundji James (2003). Sabit Nokta Teorisi . New York: Springer-Verlag. ISBN   978-0-387-00173-9 .
• Kirk, William A .; Sims, Brailey (2001). Metrik Sabit Nokta Teorisi El Kitabı . Londra: Kluwer Academic. ISBN   978-0-7923-7073-4 .
• Naylor, Arch W .; Sat, George R. (1982). Mühendislik ve Bilimde Doğrusal Operatör Teorisi . Uygulamalı Matematik Bilimleri. 40 (İkinci baskı). New York: Springer. s. 125–134. ISBN   978-0-387-90748-2 .