Banach sabit nokta teoremi - Banach fixed-point theorem

Gelen matematik , Banach sabit nokta teoremi (aynı zamanda daralma dönüşüm teoremi veya büzülme dönüşüm teoremi ) teorisinde önemli bir araçtır metrik boşluklar ; metrik uzayların belirli öz haritalarının sabit noktalarının varlığını ve benzersizliğini garanti eder ve bu sabit noktaları bulmak için yapıcı bir yöntem sağlar. Picard'ın ardışık yaklaşımlar yönteminin soyut bir formülasyonu olarak anlaşılabilir . Teorem, adını ilk kez 1922'de ifade eden Stefan Banach'tan (1892–1945) almıştır.

Beyan

Tanım. Let bir olmak tam metrik uzay . Daha sonra bir harita , eğer varsa , X üzerinde bir daralma eşlemesi olarak adlandırılır . ${\görüntüleme stili (X,d)}$${\görüntüleme stili T:X\to X}$${\görüntüleme stili q\in [0,1)}$

${\görüntüleme stili d(T(x),T(y))\leq qd(x,y)}$

hepsi için ${\görüntüleme stili x,y\X.}$

Banach Sabit Nokta Teoremi. Izin bir olmak boş olmayan tam metrik alan bir daralma haritalama ile Sonra T kabul benzersiz sabit nokta x * olarak X, (diğer bir deyişle T ( x * ) = x * ). Ayrıca, x* şu şekilde bulunabilir: keyfi bir öğeyle başlayın ve Sonra x _n → x* için x _n = T ( x _{n −1} ) ile { x _n } dizisini tanımlayın .${\görüntüleme stili (X,d)}$ ${\görüntüleme stili T:X\to X.}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\görüntüleme stili n\geq 1.}$

Açıklama 1. Aşağıdaki eşitsizlikler eşdeğerdir ve yakınsama hızını tanımlar :

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{ 0}),\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}) ,\\d(x^{*},x_{n+1})&\leq qd(x^{*},x_{n}).\end{hizalı}}}$

Böyle herhangi bir q değeri, T için bir Lipschitz sabiti olarak adlandırılır ve en küçüğü bazen T'nin "en iyi Lipschitz sabiti" olarak adlandırılır .

Açıklama 2. d ( T ( x ),  T ( y )) <  d ( x ,  y ) tüm x ≠ y için genel olarak, T haritasında gösterildiği gibi sabit bir noktanın varlığını sağlamak için yeterli değildir  : [ 1, ∞) → [1, ∞), T ( x ) =  x  + 1/ x , sabit bir noktası yoktur. Bununla birlikte, X, bir kompakt , bu zayıf varsayım sabit bir noktaya varlığını ve tekliğini anlamına yapar, bu çok kolay bir asgarileştirir olarak bulunabilir d ( x ,  t ( x )), gerçekten, bir asgarileştirir kompaktlık, varsa ve sabit bir T noktası olmalıdır . Ardından, sabit noktanın, T'nin herhangi bir yineleme dizisinin sınırı olduğu kolayca takip edilir .

Açıklama 3. Teoremi pratikte kullanırken, en zor kısım tipik olarak X'i doğru şekilde tanımlamaktır .${\görüntüleme stili T(X)\alt küme X.}$

Kanıt

Rastgele olalım ve x _n = T ( x _{n -1} ) olarak ayarlayarak { x _n } dizisini tanımlayalım . İlk önce herkes için eşitsizliğe sahip olduğumuzu not edelim. ${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}$

Bunu , T'nin bir daralma eşlemesi olduğu gerçeğini kullanarak, n üzerinde tümevarım takip eder . O zaman { x _n } dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösterebiliriz . Özellikle, öyle olsun ki m > n : ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{ m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^ {m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\&=q^{n}d(x_ {1},x_{0})\sum _{k=0}^{mn-1}q^{k}\\&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}) \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1 -q}}\sağ).\end{hizalı}}}$

ε > 0 keyfi olsun, q ∈ [0, 1) olduğundan, bir büyük bulabiliriz . ${\ Displaystyle N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}$

Bu nedenle, N'den büyük m ve n'yi seçerek şunu yazabiliriz:

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\ sağ)<\sol({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\sağ)d(x_{1},x_{0})\sol ({\frac {1}{1-q}}\sağ)=\varepsilon .}$

Bu { x _n } dizisinin Cauchy olduğunu kanıtlar . ( X , d )'nin tamlığı ile dizinin bir limiti vardır. Ayrıca, x* , T'nin sabit bir noktası olmalıdır : ${\displaystyle x^{*}\X.}$

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\sağ)=T(x^{*}).}$

Bir daralma eşlemesi olarak, T süreklidir, bu nedenle limiti T içine getirmek doğrulanmıştır. Son olarak, T'nin ( X , d ) içinde birden fazla sabit noktası olamaz , çünkü herhangi bir p ₁ ve p ₂ farklı sabit nokta çifti T ' nin daralmasıyla çelişir :

${\displaystyle d(T(p_{1}),T(p_{2}))=d(p_{1},p_{2})>qd(p_{1},p_{2}).}$

Uygulamalar

• Standart bir uygulama, belirli adi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin varlığı ve benzersizliği hakkında Picard-Lindelöf teoreminin kanıtıdır . Diferansiyel denklemin aranan çözümü, sürekli fonksiyonları sürekli fonksiyonlara dönüştüren uygun bir integral operatörünün sabit noktası olarak ifade edilir. Daha sonra Banach sabit nokta teoremi, bu integral operatörünün benzersiz bir sabit noktaya sahip olduğunu göstermek için kullanılır.
• Banach sabit nokta teoreminin bir sonucu, özdeşliğin küçük Lipschitz pertürbasyonlarının bi-lipschitz homeomorfizmaları olmasıdır. Ω, bir Banach uzayı E'nin açık kümesi olsun ; let I  : Ω → E kimliğini (dahil) harita ve izin belirtmek g  Ω →: D sabit bir Lipschitz haritası olması k Ardından <1.

1. Ω′ := ( I + g )(Ω), E'nin açık bir alt kümesidir : tam olarak, Ω'deki herhangi bir x için , öyle ki B ( x , r ) ⊂ Ω biri B (( I + g )( x ), r'ye sahiptir (1− k )) ⊂ Ω′;
2. I + g  : Ω → Ω′ bir bi-lipschitz homeomorfizmidir;

tam olarak, ( I + g ) ⁻¹ hala I + h  : Ω → Ω′ biçimindedir ve h sabit k /(1− k ) bir Lipschitz haritasıdır . Bu sonucun doğrudan bir sonucu, ters fonksiyon teoreminin kanıtını verir .

• Newton'un ardışık yaklaşımlar yönteminin çalışacağının garanti edildiği yeterli koşulları vermek için kullanılabilir ve benzer şekilde Chebyshev'in üçüncü derece yöntemi için.
• İntegral denklemlerin çözümlerinin varlığını ve benzersizliğini kanıtlamak için kullanılabilir.
• Nash gömme teoremine bir kanıt vermek için kullanılabilir .
• Değer yinelemesi, politika yinelemesi ve pekiştirici öğrenmenin politika değerlendirmesine yönelik çözümlerin varlığını ve benzersizliğini kanıtlamak için kullanılabilir .
• Cournot rekabetinde ve diğer dinamik ekonomik modellerde bir dengenin varlığını ve benzersizliğini kanıtlamak için kullanılabilir .

sohbetler

Banach büzülme ilkesinin birkaç zıttı mevcuttur. Aşağıdakiler 1959'dan Czesław Bessaga'ya aittir :

Let f  : X → X soyut bir haritası olması seti böyle her birinin yinelerler f ⁿ benzersiz sabit noktası vardır. Let o zaman üzerinde tam bir metrik var X , öyle ki ön büzülme ve q, daralma sabittir. ${\görüntüleme stili q\in (0,1),}$

Gerçekten de, çok zayıf varsayımlar, bu tür bir sohbeti elde etmek için yeterlidir. Örneğin, eğer bir bir haritasıdır T ₁ topolojik alanı benzersiz ile sabit nokta a her biri için, öyle ki elimizdeki f ⁿ ( x →) bir , daha sonra burada daha önce bir metrik var X olan ile ilgili olarak ön ve bu koşullara Büzülme sabiti 1/2 ile Banach büzülme ilkesi. Bu durumda metrik aslında bir ultrametriktir . ${\görüntüleme stili f:X\to X}$ ${\görüntüleme stili x\in X}$

genellemeler

Bir dizi genelleme vardır (bunlardan bazıları doğrudan çıkarımlardır ).

Let T  : X → X komple boş olmayan metrik uzayda bir harita olacak. O halde, örneğin, Banach sabit nokta teoreminin bazı genellemeleri şunlardır:

• Bazı yinelerler varsayın T ⁿ ait T bir daralma olduğunu. O halde T'nin benzersiz bir sabit noktası vardır.
• Her biri için varsayalım n , orada mevcut c _{, n} , öyle ki d (T ^{, n} (x), T ^N (y)) ≤ c _n d (x, y) her için , x ve y , ve

${\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}$

O halde T'nin benzersiz bir sabit noktası vardır.

Uygulamalarda, sabit bir noktanın varlığı ve benzersizliği, genellikle, T haritasını daralma yapan uygun bir metrik seçimiyle, standart Banach sabit nokta teoremi ile doğrudan gösterilebilir . Gerçekten de, Bessaga'nın yukarıdaki sonucu, böyle bir metrik aramayı kuvvetle önerir. Genellemeler için sonsuz boyutlu uzaylarda sabit nokta teoremleri hakkındaki makaleye de bakın .

Metrik uzay kavramının uygun genellemelerinden , örneğin metrik kavramı için tanımlayıcı aksiyomları zayıflatarak farklı bir genelleme sınıfı ortaya çıkar . Bunlardan bazılarının, örneğin teorik bilgisayar biliminde programlama anlambilimi teorisinde uygulamaları vardır.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

• Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Besem (2018). "Banach Büzülme Prensibi ve Uygulamaları". Metrik Uzaylarda Sabit Nokta Teorisi . Singapur: Springer. s. 1-23. doi : 10.1007/978-981-13-2913-5_1 . ISBN'si 978-981-13-2912-8.
• Chicone, Carmen (2006). "Büzülme" . Uygulamalı Adi Diferansiyel Denklemler (2. baskı). New York: Springer. s. 121–135. ISBN'si 0-387-30769-9.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Sabit Nokta Teorisi . New York: Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-00173-5.
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Sabit Nokta Teorisi: Bir Giriş . Hollanda: D. Reidel. ISBN'si 90-277-1224-7. 7. bölüme bakın.
• Kirk, William A.; Hamsi, Mohamed A. (2001). Metrik Uzaylara ve Sabit Nokta Teorisine Giriş . New York: John Wiley. ISBN'si 0-471-41825-0.

Bu makale gelen malzeme içeriyor Banach Sabit Nokta Teoremi üzerine PlanetMath altında lisanslıdır, Creative Commons Atıf / Benzeri Paylaşım Lisansı .