Cayley teoremi - Cayley's theorem

Gelen grup teorisi , Cayley teoremi onuruna adlandırılmış, Arthur Cayley , her belirtiyor grup G ise izomorfik bir karşı alt grup arasında simetrik grubunun hareket eden G . Bu, örnek olarak anlaşılabilir grubu, bir eylem içinde G elemanları ile G . Teorem, temsili, bazen düzenli gösterim olarak bilinen simetrik permütasyon matrisleri grubunun temsili içinde açıkça yapılandırarak elde edilebilir .

Bir permütasyon bir dizi G herhangi biridir örten fonksiyonu alarak G üzerine G . Tüm permütasyon grubu G altında bir grup oluşturan fonksiyon bileşimi olarak adlandırılır, simetrik grup G ve Sym (yazılır G ).

Cayley teoremi, herhangi bir grubu (( R ,+ gibi sonsuz gruplar dahil ) bazı temel kümelerin bir permütasyon grubu olarak kabul ederek tüm grupları aynı temele koyar . Böylece, permütasyon gruplarının alt grupları için doğru olan teoremler, genel olarak gruplar için doğrudur. Bununla birlikte, Alperin ve Bell, "genel olarak, sonlu grupların simetrik gruplara gömülü olduğu gerçeğinin, sonlu grupları incelemek için kullanılan yöntemleri etkilemediğini" belirtiyorlar.

Cayley teoremi standart kanıtı kullanılan düzenli eylem temsilini üretmez G bir de asgari - emir permütasyon grubuna. Örneğin , kendisi zaten 6. dereceden simetrik bir grup, düzenli eylem tarafından (720 dereceli bir grup) alt grubu olarak temsil edilecektir . Gerçekten de, sonlu grupların karmaşık düzenli gösterimi, boyutlarına eşit çokluğu olan tüm indirgenemez gösterimlerin doğrudan toplamından oluşur. Minimal dereceli simetrik bir grupta bir grubun gömülmesini bulma problemi oldukça zordur. ${\ Displaystyle S_{3}}$${\ Displaystyle S_{6}}$

Tarih

Yeterince basit görünse de, o zamanlar modern tanımlar yoktu ve Cayley şimdi gruplar olarak adlandırılanları tanıttığında, bunun daha önce bilinen ve şimdi permütasyon grupları olarak adlandırılan gruplara eşdeğer olduğu hemen açık değildi . Cayley teoremi ikisini birleştirir.

Burnside teoremi Jordan'a atfetse de, Eric Nummela yine de standart adın -"Cayley Teoremi"- aslında uygun olduğunu savunuyor. Cayley, 1854 tarihli orijinal makalesinde, teoremdeki denkliğin birebir olduğunu gösterdi, ancak bunun bir homomorfizma (ve dolayısıyla bir gömme) olduğunu açıkça gösteremedi. Ancak Nummela, Cayley'nin bu sonucu o sırada matematik camiasına bildirdiğini ve böylece Ürdün'den yaklaşık 16 yıl önce geldiğini belirtiyor.

Teorem daha sonra 1882'de Walther Dyck tarafından yayınlandı ve Burnside'ın kitabının ilk baskısında Dyck'e atfedildi.

Teoremin ispatı

Eğer gr bir grubun bir elemanıdır G işlemi * ile, işlev dikkate f _g  : G → G ile tanımlanan, f _g ( x ) = gr * x . Terslerin varlığı ile, bu fonksiyonun iki taraflı bir tersi vardır, . Yani tarafından çarpım g bir olarak görür bijective fonksiyonu. Bu nedenle, ön _g bir permütasyon G ve böylece Sym (üyesidir G ). ${\ Displaystyle f_{g^{-1}}}$

Grubu K = { f _g  : g ∈ G } Sym (bir alt grubudur , G izomorf) G . Bu kurma hızlı bir şekilde işlev dikkate etmektir T  : G → sym ( G ) ile T ( g ) = f _gr her için g olarak G . T bir grup homomorfizmidir çünkü (Sym( G )'de bileşimi belirtmek için · kullanılarak ):

${\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x) =(g*h)*x=f_{g*h}(x),}$

G içindeki tüm x için ve dolayısıyla:

${\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h).}$

Homomorfizması T olduğu birebir çünkü T ( g ) = id _G (Sym (kimlik elemanı G )) ima g * X = X tüm x de G ve alma x kimlik eleman olduğu e ait G verir g = g ∗ e = e , yani çekirdek önemsizdir. Seçenek olarak ise, T de olduğu birebir yana gr * X = g '* X ima g = gr ' (her grup için cancellative ).

Böylece G , K alt grubu olan T'nin görüntüsüne eşbiçimlidir .

T bazen G'nin düzenli temsili olarak adlandırılır .

Alternatif kanıt ayarı

Alternatif bir ayar, grup eylemlerinin dilini kullanır . Grubun sol çarpma ile kendi üzerinde hareket ettiğini, yani permütasyon temsiline sahip olduğunu düşünüyoruz . ${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle g\cdot x=gx}$${\displaystyle \phi :G\to \mathrm {Sym} (G)}$

Temsil, eğer injektif ise, yani çekirdeği önemsiz ise sadıktır . varsayalım . Sonra, . Böylece, önemsizdir. Sonuç , elde ettiğimiz ilk izomorfizm teoreminin kullanılmasıyla takip edilir . ${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili\phi }$${\displaystyle g\in \ker\phi }$${\displaystyle g\cdot e=ge=g=e}$${\görüntüleme stili \ker\phi }$${\displaystyle \mathrm {Im} \,\phi \cong G}$

Normal grup temsiline ilişkin açıklamalar

Grubun kimlik öğesi, kimlik permütasyonuna karşılık gelir. Diğer tüm grup öğeleri, düzensizliklere karşılık gelir : herhangi bir öğeyi değiştirmeden bırakmayan permütasyonlar. Bu aynı zamanda bir grup elemanının o elemanın mertebesinden daha düşük güçleri için de geçerli olduğundan, her eleman aynı uzunluktaki döngülerden oluşan bir permütasyona karşılık gelir: bu uzunluk o elemanın mertebesidir. Her döngüdeki öğeler , öğe tarafından oluşturulan alt grubun sağ kosetini oluşturur.

Normal grup temsili örnekleri

Z ₂ = {0,1} ek modül 2 ile; grup öğesi 0, kimlik permütasyonuna e, grup öğesi 1 ise permütasyona (12) karşılık gelir. Örneğin 0 +1 = 1 ve 1+1 = 0, yani 1 -> 0 ve 0 -> 1, bir permütasyonda olduğu gibi.

Z, ₃ ek modülo 3 = {0,1,2}; grup öğesi 0, kimlik permütasyonuna e, grup öğesi 1, permütasyona (123) ve grup öğesi 2, permütasyona (132) karşılık gelir. Örneğin 1 + 1 = 2, (123)(123)=(132)'ye karşılık gelir.

Z ₄ = {0,1,2,3} ekleme modulo 4 ile; elemanlar e, (1234), (13)(24), (1432)'ye karşılık gelir.

Unsurları Klein dört grup {e, a, b, c} e karşılık gelir, (12) (34), (13) (24) ve (14) (23).

S ₃ ( dihedral grup 6 ), 3 nesnenin tüm permütasyonlarının grubudur, aynı zamanda 6 grup elemanının bir permütasyon grubudur ve ikincisi, düzenli temsili ile nasıl gerçekleştirildiğidir.

Teoremin daha genel ifadesi

Cayley teoreminin daha genel bir ifadesi, keyfi bir grubun çekirdeğini dikkate almaktan ibarettir . Genel olarak if bir grup ve ile bir alt grup ise , o zaman ' nin bir alt grubuna izomorfiktir . Özellikle sonlu bir grup ise ve ayarladığımızda klasik sonucu elde ederiz. ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili H}$${\displaystyle |G:H|<\infty }$${\displaystyle G/{\text{Çekirdek}}_{G}(H)}$${\displaystyle \Sigma _{|G:H|}}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili H=1}$

Ayrıca bakınız

• Wagner-Preston teoremi , ters yarıgrupların analogudur.
• dahil etme sırası , sıra teorisinde benzer bir sonuç
• Frucht teoremi , her sonlu grup bir grafiğin otomorfizma grubudur
• Yoneda lemma , kategori teorisinde Cayley teoreminin bir genellemesi
• temsil teoremi

Notlar

Referanslar

• Jacobson, Nathan (2009), Temel cebir (2. baskı), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.