Kelebek Etkisi - Butterfly effect

ρ=28, σ = 10, β = 8/3 değerleri için Lorenz'in tuhaf çekicisinin grafiği . Kelebek etkisi veya başlangıç ​​koşullarına hassas bağımlılık , çekici üzerindeki çeşitli isteğe bağlı olarak yakın alternatif başlangıç ​​koşullarının herhangi birinden başlayarak , yinelenen noktaların keyfi olarak birbirinden yayılacağı dinamik bir sistemin özelliğidir .

Medya oynat

Aynı çift sarkacın farklı kayıtları ile kelebek etkisinin deneysel gösterimi. Her kayıtta sarkaç hemen hemen aynı başlangıç ​​koşuluyla başlar. Zamanla, dinamiklerdeki farklılıklar neredeyse farkedilemezden şiddetliye doğru büyür.

Gelen kaos teorisi , kelebek etkisi hassas bağımlılığıdır başlangıç koşullarına nin biri halde küçük bir değişiklik olan deterministik doğrusal olmayan sistemi daha sonraki bir halde büyük farklılıklara neden olabilir.

Terim, matematikçi ve meteorolog Edward Lorenz'in çalışmalarıyla yakından ilişkilidir . Kelebek etkisinin, birkaç hafta önce kanatlarını çırpan uzaktaki bir kelebeğin küçük tedirginliklerinden etkilenen bir kasırganın ayrıntılarının (tam oluşum zamanı, izlenilen yol) metaforik örneğinden türetildiğini kaydetti . Lorenz, hava durumu modelinin görünüşte önemsiz bir şekilde yuvarlanmış başlangıç ​​durumu verileriyle çalışmasını gözlemlediğinde bu etkiyi keşfetti . O kaydetti hava modeli unrounded ilk koşul verileriyle çalıştırılmasının sonuçlarını çoğaltmak başarısız olur. Başlangıç ​​koşullarındaki çok küçük bir değişiklik, önemli ölçüde farklı bir sonuç yaratmıştı.

Küçük nedenlerin hava koşullarında büyük etkileri olabileceği fikri daha önce Fransız matematikçi ve mühendis Henri Poincaré tarafından kabul edilmişti . Amerikalı matematikçi ve filozof Norbert Wiener de bu teoriye katkıda bulundu. Edward Lorenz'in çalışması , Dünya atmosferinin kararsızlığı kavramını nicel bir temele yerleştirdi ve istikrarsızlık kavramını, doğrusal olmayan dinamikler ve deterministik kaos geçiren büyük dinamik sistem sınıflarının özelliklerine bağladı .

Kelebek etkisi kavramı o zamandan beri hava bilimi bağlamı dışında, küçük bir değişikliğin daha büyük sonuçların nedeni olduğu düşünülen herhangi bir durum için geniş bir terim olarak kullanılmıştır.

Tarih

In Man Meslek Odası (1800), Johann Gottlieb Fichte "sen böylece ... ölçülemez bütün bütün birimleri arasında bir şey değiştirmeden yerinden tek bir kum tanesi kaldıramadık" diyor.

Kaos teorisi ve başlangıç ​​koşullarına hassas bağımlılık, çok sayıda literatür biçiminde tanımlanmıştır. Bu durumda kanıtladığı üç cisim problemi ile Poincaré'nin Daha sonra meteoroloji, bu tür olgular, örneğin ortak olabileceği önerilmiştir 1890 yılında.

1898'de Jacques Hadamard , negatif eğrilik uzaylarında yörüngelerin genel farklılığına dikkat çekti. Pierre Duhem bunun olası genel önemini 1908'de tartıştı.

Bir kelebeğin ölümünün nihayetinde sonraki tarihsel olaylar üzerinde geniş kapsamlı bir dalgalanma etkisi olabileceği fikri, bilinen en eski görünümünü Ray Bradbury'nin 1952 tarihli kısa öyküsü A Sound of Thunder'da yaptı . "A Sound of Thunder" zaman yolculuğu olasılığını tartıştı.

1961'de Lorenz, bir önceki çalışmanın ortasından bir hava durumu tahminini kısayol olarak yeniden yapmak için sayısal bir bilgisayar modeli çalıştırıyordu. Tam kesinlik 0,506127 değerini girmek yerine, çıktıdan başlangıç ​​koşulu 0,506'yı girdi. Sonuç tamamen farklı bir hava durumu senaryosuydu.

Lorenz yazdı:

"Bir noktada, neler olduğunu daha ayrıntılı incelemek için bazı hesaplamaları tekrarlamaya karar verdim. Bilgisayarı durdurdum, bir süre önce yazdırdığı bir sayı satırı yazdım ve yeniden çalıştırmaya başladım. bir fincan kahve için koridordan aşağı indi ve yaklaşık bir saat sonra geri döndü, bu süre zarfında bilgisayar yaklaşık iki aylık hava durumunu simüle etti.Basılan sayılar eskilere hiç benzemiyordu.Hemen zayıf bir vakum tüpünden veya başka bir şeyden şüphelendim. nadir olmayan bir bilgisayar sorunuydu, ancak servisi aramadan önce, bunun servis sürecini hızlandırabileceğini bilerek hatanın nerede olduğunu görmeye karar verdim.Ani bir kesinti yerine, yeni değerlerin ilk başta tekrar ettiğini gördüm. eskileri, ancak kısa bir süre sonra son ondalık basamakta bir ve daha sonra birkaç birim farklılık gösterdi ve ardından son hanenin yanındaki ve ondan önceki hanede farklılaşmaya başladı. n boyutunda her dört günde bir, orijinal çıktıyla olan tüm benzerlikler ikinci ayda bir yerde kaybolana kadar. Bu bana ne olduğunu söylemem için yeterliydi: Yazdığım sayılar tam orijinal sayılar değil, orijinal çıktıda görünen yuvarlatılmış değerlerdi. Suçlular başlangıçtaki yuvarlama hatalarıydı; çözüme hükmedinceye kadar istikrarlı bir şekilde büyüyorlardı." (EN Lorenz, The Essence of Chaos , U. Washington Press, Seattle (1993), sayfa 134)

1963'te Lorenz, Deterministic Nonperiodic Flow ( Deterministik Periyodik Olmayan Akış) adlı çok alıntı yapılan, ufuk açıcı bir makalede bu etkinin teorik bir çalışmasını yayınladı (hesaplamalar bir Royal McBee LGP-30 bilgisayarında yapıldı). Başka bir yerde şunları söyledi:

Bir meteorolog, eğer teori doğruysa, bir deniz martısının kanat çırpışının havanın gidişatını sonsuza dek değiştirmeye yeteceğini belirtti. Tartışma henüz çözülmedi, ancak en son kanıtlar deniz martılarını destekliyor gibi görünüyor.

Meslektaşlarının önerilerini takiben, daha sonraki konuşmalarında ve makalelerinde Lorenz, daha şiirsel kelebeği kullandı . Lorenz'e göre, 1972'de American Association for the Advancement of Science'ın 139. toplantısında sunacağı bir konuşma için bir başlık veremeyince , Philip Merrilees Brezilya'da bir kelebeğin kanat çırpışı bir kasırga başlatır mı? Teksas'ta? başlık olarak. Bu kavramın ifade edilmesinde kanat çırpan bir kelebeğin sabit kalmasına rağmen, kelebeğin yeri, sonuçları ve sonuçların yeri çok çeşitli olmuştur.

Bu ifade, bir kelebeğin kanatlarının atmosferde eninde sonunda bir kasırganın yolunu değiştirebilecek veya başka bir yerde bir kasırganın oluşmasını geciktirebilecek, hızlandırabilecek ve hatta önleyebilecek küçük değişiklikler yaratabileceği fikrine atıfta bulunuyor . Kelebek, kasırgaya güç vermez veya doğrudan kasırga yaratmaz, ancak terim, kelebeğin kanatlarının kanadının kasırgaya neden olabileceğini ima etmeyi amaçlar : kanatların kanatlarının birbirine bağlı bir kompleksin başlangıç ​​koşullarının bir parçası olması anlamında ağ; bir dizi koşul bir kasırgaya yol açarken, diğer koşullar dizisi yaratmaz. Çırpınan kanat, sistemin başlangıç ​​durumundaki küçük bir değişikliği temsil eder ve bu, olayların büyük ölçekli değişikliklerine doğru basamaklanır (karşılaştırın: domino etkisi ). Kelebek kanatlarını çırpmamış olsaydı, sistemin yörüngesi çok farklı olabilirdi - ama aynı zamanda, kelebeğin kanatlarını çırpmadığı koşullar kümesinin bir kasırgaya yol açan küme olması da aynı derecede mümkündür.

Kelebek etkisi, hava durumu gibi bir sistem için başlangıç ​​koşullarının tam doğruluğu asla bilinemeyeceğinden, tahmin için bariz bir zorluk sunar. Bu problem , karışık başlangıç ​​koşullarından bir dizi tahminin yapıldığı topluluk tahmininin geliştirilmesini motive etti .

O zamandan beri bazı bilim adamları, hava sisteminin daha önce inanıldığı gibi başlangıç ​​koşullarına duyarlı olmadığını savundular. David Orrell , hava tahmini hatasına en büyük katkının model hatası olduğunu ve başlangıç ​​koşullarına duyarlılığın nispeten küçük bir rol oynadığını savunuyor. Stephen Wolfram ayrıca Lorenz denklemlerinin oldukça basitleştirilmiş olduğunu ve viskoz etkileri temsil eden terimler içermediğini not eder; bu terimlerin küçük tedirginlikleri bastırma eğiliminde olacağına inanıyor.

"Kelebek etkisi" genellikle Lorenz'in 1963 tarihli makalesinde tanımladığı (ve daha önce Poincare tarafından gözlemlendiği) türden başlangıç ​​koşullarına hassas bağımlılıkla eşanlamlı olarak açıklansa da, kelebek metaforu ilk olarak 1969'da yayınladığı ve fikri bir adım öteye taşıyor. Lorenz, atmosferdeki küçük hareketlerin daha büyük sistemleri etkilemek için nasıl ölçeklendiğini gösteren matematiksel bir model önerdi. Bu modeldeki sistemlerin gelecekte yalnızca belirli bir noktaya kadar tahmin edilebileceğini ve bunun ötesinde, başlangıç ​​koşullarındaki hatayı azaltmanın (hata sıfır olmadığı sürece) tahmin edilebilirliği artırmayacağını buldu. Bu, deterministik bir sistemin öngörülebilirlik açısından deterministik olmayan bir sistemden "gözlemsel olarak ayırt edilemez" olabileceğini gösterdi. Bu makalenin yakın zamanda yeniden incelenmesi, kuantum fiziğinin sunduğu zorluklarla karşılaştırılabilir, evrenimizin deterministik olduğu fikrine önemli bir meydan okuma sunduğunu göstermektedir.

illüstrasyon

Lorenz çekicisindeki kelebek etkisi
süre 0 ≤  t  ≤ 30 (daha büyük)		z koordinatı (daha büyük)
Bu rakamlar, aynı zaman dönemi için iki yörüngeden (mavi bir ve sarı diğer) üç boyutlu evrimi iki bölümü göstermektedir Lorenz çeker sadece 10 ile farklılık gösteren iki başlangıç noktaları başlayan -5 içinde x -koordinat . Başlangıçta, mavi ve sarı yörüngelerin z koordinatları arasındaki küçük farkla gösterildiği gibi, iki yörünge çakışık görünmektedir , ancak t  > 23 için fark, yörüngenin değeri kadar büyüktür. Konilerin son konumu, iki yörüngenin artık t  = 30'da çakışmadığını gösterir .
Lorenz çekicisinin bir animasyonu sürekli evrimi gösterir.

Teori ve matematiksel tanım

Tekrarlama , bir sistemin başlangıç ​​koşullarına yaklaşık olarak geri dönüşü ile birlikte başlangıç ​​koşullarına hassas bağımlılık, kaotik hareketin iki ana bileşenidir. Başlangıç ​​atmosferik koşullarını tam olarak doğru bir şekilde ölçmek imkansız olduğundan, hava durumu gibi karmaşık sistemleri belirli bir zaman aralığından (hava durumunda yaklaşık bir hafta) sonra tahmin etmeyi zorlaştırmanın pratik sonuçlarına sahiptirler .

Bir dinamik sistem başlangıç koşullarına görüntüler hassas bağımlılık noktası isteğe bağlı olarak birbirine yakın artan bir oranda zaman içinde ayrı ise. Tanım topolojik değil, esasen metriktir.

Eğer M bir durum uzay haritası için , daha sonra herhangi bir x ise başlangıç koşullarına hassas bağımlılığı gösterir M herhangi ö> 0 ise, y vardır M mesafesi, d (.,.) Olacak şekilde ve bu ${\görüntüleme stili f^{t}}$${\görüntüleme stili f^{t}}$${\displaystyle 0<d(x,y)<\delta }$

${\displaystyle d(f^{\tau }(x),f^{\tau }(y))>\mathrm {e} ^{a\tau }\,d(x,y)}$

bazı pozitif parametreler için a . Tanım, bir komşuluktaki tüm noktaların x taban noktasından ayrı olmasını gerektirmez, ancak bir pozitif Lyapunov üssü gerektirir .

Başlangıç ​​koşullarına hassas bağımlılık sergileyen en basit matematiksel çerçeve, lojistik haritanın belirli bir parametreleştirilmesiyle sağlanır :

${\displaystyle x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}\leq 1,}$

çoğu kaotik haritanın aksine, kapalı formlu bir çözüme sahiptir :

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

burada başlangıç ​​koşulu parametresi tarafından verilir . Rasyonel için , sonlu sayıda yinelemeden sonra periyodik bir diziye eşlenir . Ancak hemen hemen hepsi irrasyoneldir ve irrasyonel olduğu için asla kendini tekrar etmez - periyodik değildir. Bu çözüm denklemi, kaosun iki temel özelliğini açıkça göstermektedir – esneme ve katlama: 2 ⁿ faktörü , başlangıç ​​koşullarına hassas bağımlılığa (kelebek etkisi) neden olan esnemenin üstel büyümesini gösterirken, kare sinüs fonksiyonu, döngü içinde katlanmış halde kalır . aralık [0, 1]. ${\görüntüleme stili \teta}$${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$${\görüntüleme stili \teta}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\görüntüleme stili \teta}$${\görüntüleme stili \teta}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$

Fiziksel sistemlerde

Havada

Kelebek etkisi en çok hava durumu açısından bilinir ; örneğin standart hava durumu tahmin modellerinde kolayca gösterilebilir. İklim bilimcileri James Annan ve William Connolley, hava durumu tahmin yöntemlerinin geliştirilmesinde kaosun önemli olduğunu açıklıyorlar; modeller başlangıç ​​koşullarına duyarlıdır. Şu uyarıyı ekliyorlar: "Tabii ki kanatlarını çırpan bilinmeyen bir kelebeğin varlığının hava durumu tahminleri üzerinde doğrudan bir etkisi yoktur, çünkü bu kadar küçük bir rahatsızlığın önemli bir boyuta ulaşması çok uzun zaman alacaktır ve elimizde daha birçok acil durum var. Bu nedenle, bu fenomenin hava durumu tahmini üzerindeki doğrudan etkisi genellikle biraz yanlıştır."

kuantum mekaniğinde

Başlangıç ​​koşullarına hassas bağımlılık potansiyeli (kelebek etkisi), güçlü alanlardaki atomlar ve anizotropik Kepler problemi dahil olmak üzere yarı-klasik ve kuantum fiziğinde birçok durumda incelenmiştir . Bazı yazarlar, saf kuantum tedavilerinde başlangıç ​​koşullarına aşırı (üstel) bağımlılığın beklenmediğini ileri sürmüşlerdir; bununla birlikte, klasik harekette gösterilen başlangıç ​​koşullarına hassas bağımlılık, Martin Gutzwiller ve Delos ve çalışma arkadaşları tarafından geliştirilen yarı-klasik tedavilere dahil edilmiştir . Rastgele matris teorisi ve kuantum bilgisayarlarla yapılan simülasyonlar, kuantum mekaniğinde kelebek etkisinin bazı versiyonlarının olmadığını kanıtlıyor.

Diğer yazarlar, kelebek etkisinin kuantum sistemlerinde gözlemlenebileceğini öne sürüyorlar. Karkuszewski ve ark. biraz farklı Hamiltoniyenlere sahip kuantum sistemlerinin zaman evrimini düşünün . Kuantum sistemlerinin, verilen Hamiltonyenlerindeki küçük değişikliklere duyarlılık düzeyini araştırıyorlar. Poulin et al. Aslına uygunluk bozulmasını ölçmek için "biraz farklı dinamiklere maruz kaldığında aynı başlangıç ​​durumlarının farklılaşma hızını ölçen" bir kuantum algoritması sundu. Aslına uygunluk bozulmasını "(tamamen klasik) kelebek etkisine en yakın kuantum analoğu" olarak görüyorlar. Klasik kelebek etkisi, belirli bir Hamilton sistemindeki bir nesnenin konumundaki ve/veya hızındaki küçük bir değişikliğin etkisini dikkate alırken, kuantum kelebek etkisi, belirli bir başlangıç ​​konumu ve hızıyla Hamilton sistemindeki küçük bir değişikliğin etkisini dikkate alır. . Bu kuantum kelebek etkisi deneysel olarak kanıtlanmıştır. Sistemin başlangıç ​​koşullarına duyarlılığının kuantum ve yarı klasik işlemleri kuantum kaosu olarak bilinir .

popüler kültürde

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

• James Gleick , Chaos: Making a New Science , New York: Viking, 1987. 368 s.
• Devaney, Robert L. (2003). Kaotik Dinamik Sistemlere Giriş . Westview Basın. ISBN'si 0670811785.
• Hilborn, Robert C. (2004). "Martılar, kelebekler ve çekirgeler: Doğrusal olmayan dinamiklerde kelebek etkisinin kısa bir tarihi". Amerikan Fizik Dergisi . 72 (4): 425–427. Bibcode : 2004AmJPh..72..425H . doi : 10.1119/1.1636492 .
• Bradbury, Ray. "Bir Gök Gürültüsü Sesi." Collier'ın. 28 Haziran 1952

Dış bağlantılar

• Hava Durumu ve Kaos: Edward N. Lorenz'in Çalışması . Lorenz'in çalışması bağlamında "kelebek etkisi"ni anlatan kısa bir belgesel.
• Kaos Hipermetin Kitabı . Kaos ve fraktallar üzerine bir giriş kitabı
• Kelebeğin anlamı: Pop kültürü neden 'kelebek etkisini' seviyor ve tamamen yanlış anlıyor , Peter Dizikes, The Boston Globe , 8 Haziran 2008
• New England Karmaşık Sistemler Enstitüsü - Kavramlar: Kelebek Etkisi
• Kaos Hipermetin Kitabı . Kaos ve fraktallar üzerine bir giriş kitabı
• ChaosBook.org . Kaos üzerine ileri düzey lisansüstü ders kitabı (fraktal yok)
• Weisstein, Eric W. "Kelebek Etkisi" . Matematik Dünyası .