Neredeyse açık harita - Almost open map

Olarak fonksiyonel analiz ve ilgili alanlarda matematik , bir hemen hemen açık harita arasındaki topolojik boşluklar a, harita karşılayan bir benzer durum, fakat daha zayıf bir olma durumu açık haritası . Aşağıda açıklandığı gibi, topolojik vektör uzaylarının belirli geniş kategorileri için , tüm örtük lineer operatörler zorunlu olarak neredeyse açıktır.

Tanımlar

Bir surjective harita Verilen bir nokta bir denir açıklık noktasını için ve olduğu söylenir açık (veya açık bir harita ) Her açık mahalle için eğer bir bir olduğunu mahalle arasında yer mahalle o (not bir olması gerekmez açık Komşuluk). ${\displaystyle f:X\to Y,}$${\görüntüleme stili x\in X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili x,}$ ${\görüntüleme stili f(U)}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili f(U)}$

Bir surjective haritası bir denir açık harita onun etki alanının her noktasında açıksa bir denirken, neredeyse açık haritası onun her liflerin açıklık bazı noktası vardır. Açıkça, bir surjective haritası olduğu söylenir neredeyse açık her için ise bazı var böyle açık olan bir Her neredeyse açık örten mutlaka bir sözde açık harita (tarafından tanıtılan Alexander Arhangelskii 1963 yılında), hangi tanım vasıtasıyla her için ve her mahalle arasında (yani ), mutlaka bir mahalle${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili y\Y'de,}$${\displaystyle x\in f^{-1}(y)}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili x.}$${\görüntüleme stili y\Y'de}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq \operatöradı {Int} _{X}U}$${\görüntüleme stili f(U)}$${\görüntüleme stili y.}$

Neredeyse açık doğrusal harita

Lineer bir harita arasında iki topolojik vektör uzayı (TVSS) olarak adlandırılır hemen hemen açık bir mahalle için ise bir de kapatma içinde kökenli bir mahalle. ${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili T(U)}$${\görüntüleme stili Y}$

Önemli olan, bazı yazarlar çağrı olduğunu hemen hemen açık herhangi mahalle için eğer bir de kapatılmasına içinde (yerine göre ) kökenli bir mahalle; bu makale bu tanımı kullanmayacaktır. ${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili X,}$${\görüntüleme stili T(U)}$${\görüntüleme stili T(X)}$${\görüntüleme stili Y}$

Eğer bir lineer operatör neredeyse açıksa, o zaman bir vektör alt uzayı olduğu için 0'lık bir komşuluk içeren bir vektör mutlaka surjective olur . Bu nedenle birçok yazar, "neredeyse açık" tanımının bir parçası olarak sübjektifliğe ihtiyaç duyar. ${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili T(X)}$${\görüntüleme stili Y}$${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$

Eğer bir bijective doğrusal operatör, daha sonra ise neredeyse açıktır ve yalnızca olduğunu neredeyse sürekli . ${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili T^{-1}}$

Haritaları açmak için ilişki

Her örtülü açık harita neredeyse açık bir haritadır, ancak genel olarak bunun tersi mutlaka doğru değildir. Bir surjection hemen hemen açık bir haritaysa , aşağıdaki koşulu sağlıyorsa ( hiçbir şekilde topolojisine bağlı olmayan bir koşul) açık bir harita olacaktır : ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili \sigma }$

her Aynı aittir elyaf arasında (diğer bir deyişle daha sonra her mahalle için) arasında bir mahalle vardır ve bu şekilde${\görüntüleme stili m,n\X'de}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili f(m)=f(n)}$${\ Displaystyle U\in \tau }$${\görüntüleme stili m,}$${\ Displaystyle V\in \tau }$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili F(V)\alt küme F(U).}$

Harita sürekli ise, haritanın açık olması için yukarıdaki koşul da gereklidir. Yani, eğer sürekli bir tahmin ise , ancak ve ancak neredeyse açıksa ve yukarıdaki koşulu sağlıyorsa açık bir haritadır. ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$

Açık eşleme teoremleri

Teorem : Eğer bir bir surjective doğrusal operatörüdür yerel dışbükey alan bir üzerine namlulu boşluk sonra neredeyse açıktır.${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili T}$

Teorem : Eğer bir TVS'den bir Baire uzayına bir örtük lineer operatör ise, o zaman neredeyse açıktır.${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili T}$

İki teoremler yukarıda do not karşılamak için surjective lineer harita gerektiren herhangi topolojik koşulları.

Teorem : Eğer tam bir pseudometrizable TVS ise , bir Hausdorff TVS ise ve kapalı ve hemen hemen açık lineer bir kestirim ise, o zaman açık bir haritadır.${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili T}$

Teorem : Varsayalım ki , tam bir pseudometrizable TVS'den bir Hausdorff TVS'ye sürekli bir lineer operatör . İmajı Eğer olmayan bir yavan içinde daha sonra bir surjective açık haritasıdır ve tam Metrikleşebilen alandır.${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$ ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili Y}$${\ Displaystyle T:X\'den Y'ye}$${\görüntüleme stili Y}$

Ayrıca bakınız

• Neredeyse açık küme
• Namlulu uzay  – Banach–Steinhaus teoreminin tutması için minimuma yakın gereksinimleri olan bir topolojik vektör uzayı.
• Sınırlı ters teorem
• Kapalı grafik  - aynı zamanda çarpım uzayının kapalı bir alt kümesi olan bir fonksiyonun grafiği
• Kapalı grafik teoremi
• Açık küme  – Bir topolojik uzayın temel alt kümesi
• Açık ve kapalı haritalar  – Açık (veya kapalı) alt kümeleri açık (veya kapalı) alt kümelere gönderen bir işlev
• Açık haritalama teoremi (fonksiyonel analiz)  – Sürekli bir doğrusal haritanın açık bir harita olması için koşulları veren teorem ( Banach–Schauder teoremi olarak da bilinir)
• Yarı açık harita  – Boş olmayan açık kümeleri kod alanında boş olmayan iç mekana sahip kümelere eşleyen bir işlev.
• Surjection of Fréchet uzayları  – Fréchet uzayları arasında sürekli bir lineer haritanın surjective olduğunu karakterize eden bir teorem.
• Perdeli uzay  – Açık haritalama ve kapalı grafik teoremlerinin tutulduğu topolojik vektör uzayları

Referanslar

bibliyografya

• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur, vektörel topologlardan kaçar [ Topolojik Vektör Uzayları: Chapters 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de matematik . 2 . Eggleston, HG tarafından tercüme edilmiştir; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-3-540-42338-6. OCLC  17499190 .
• Hüseyin, Takdir; Khaleelulla, SM (1978). Topolojik ve Sıralı Vektör Uzaylarında Namluluk . Matematik Ders Notları . 692 . Berlin, New York, Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-09096-0. OCLC  4493665 .
• Jarchow, Hans (1981). Yerel dışbükey uzaylar . Stuttgart: BG Teubner. ISBN'si 978-3-519-02224-4. OCLC  8210342 .
• Khaleelulla, SM (1982). Topolojik Vektör Uzaylarında Karşı Örnekler . Matematik Ders Notları . 936 . Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Köthe, Gottfried (1983). Topolojik Vektör Uzayları I . Grundlehren der matematikçi Wissenschaften. 159 . Garling tarafından çevrildi, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN'si 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topolojik Vektör Uzayları . Matematikte Cambridge Yolları . 53 . Cambridge İngiltere: Cambridge University Press . ISBN'si 978-0-521-29882-7. OCLC  589250 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Wilansky, Albert (2013). Topolojik Vektör Uzaylarında Modern Yöntemler . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .