Vaught varsayımı - Vaught conjecture

Vaught varsayım bir olan varsayım içinde matematiksel alanında modeli teorisi başlangıçta önerdiği Robert Lawson Vaught Bir sayılabilen modellerinin sayısı belirtiyor 1961'de birinci dereceden bir sayılabilir dilde tam teori sonlu veya ℵ ₀ veya 2 ^{ℵ ₀} . Morley , sayılabilir modellerin sayısının sonlu veya ℵ ₀ veya ℵ ₁ veya 2 ^{ℵ _{0 olduğunu gösterdi}} ; bu , süreklilik hipotezinin başarısız olduğu ℵ ₁ modelleri dışında varsayımı çözer . Kalan bu durum için Robin Knight ( 2002 , 2007 ), Vaught varsayımına ve topolojik Vaught varsayımına karşı bir örnek açıkladı. 2016 itibariyle, karşı örnek doğrulanmadı.

varsayımın ifadesi

Let birinci dereceden, sonsuz modellerle sayılabilir, komple teorisi olacak. Izin modelleri sayısını göstermek T cardinality kadar isomorphism için spektrum teorisi . Morley ispat eğer I ( t , ℵ ₀ ) sonsuz sonra ℵ olmalıdır ₀ veya ℵ ₁ ya da süreklilik önem düzeyi. Vaught varsayımı, bunun mümkün olmadığının ifadesidir . Varsayım , süreklilik hipotezinin önemsiz bir sonucudur ; bu yüzden bu aksiyom genellikle varsayım üzerinde yapılan çalışmalarda hariç tutulur. Alternatif olarak , sayılamayan sayıda sayılabilir modele sahip herhangi bir sayılabilir tam T'nin mükemmel bir sayılamayan model kümesine sahip olacağını belirten daha keskin bir varsayım biçimi vardır ( "On Vaught's varsayımında" John Steel tarafından belirtildiği gibi) . Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77), s. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlin, 1978, Vaught varsayımının bu formu orijinaliyle eşitlenebilir). ${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili I(T,\alfa )}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle \aleph _{0}<I(T,\aleph _{0})<2^{\aleph _{0}}}$

Orijinal formülasyon

Vaught'un orijinal formülasyonu bir varsayım olarak değil, bir problem olarak ifade edildi: Süreklilik hipotezi kullanılmadan, tam olarak ℵ ₁ izomorfik olmayan sayılabilir modellere sahip eksiksiz bir teorinin var olduğu kanıtlanabilir mi? Morley'in başlangıçta belirttiği sonuca göre, varsayıma olumlu bir çözüm, esasen Vaught'un sorununa başlangıçta belirtildiği gibi olumsuz bir yanıta karşılık gelir.

Vaught teoremi

Vaught, tam bir teorinin sayılabilir modellerinin sayısının 2 olamayacağını kanıtladı. 2 dışında herhangi bir sonlu sayı olabilir, örneğin:

• Sonlu bir modeli olan herhangi bir tam teorinin sayılabilir modelleri yoktur.
• Sadece bir sayılabilir modeli olan teoriler , ω-kategorik teorilerdir . Sonsuz küme teorisi veya yoğun sınırsız toplam düzen teorisi gibi bunların birçok örneği vardır .
• Ehrenfeucht , 3 sayılabilir modeli olan aşağıdaki teori örneğini vermiştir: dilin bir ≥ ilişkisi ve sayılabilir sayıda sabiti c ₀ , c ₁ , ... vardır, aksiyomlar ≥'nin yoğun bir sınırsız toplam mertebe olduğunu belirtir ve c ₀ < c ₁ < c ₂ < ... Üç model , bu dizinin sınırsız olup olmamasına veya yakınsamasına veya sınırlı olmasına rağmen yakınsamamasına göre farklılık gösterir .
• Ehrenfeucht en örnek herhangi sonlu bir sayı ile teoriyi vermek için değiştirilebilir n  ekleyerek modellerin ≥ 3 , n  - 2 tekli ilişkiler P _i belirten aksiyomları ile, diline her için x tam olarak bir P _i doğrudur, değerler y olan P _i ( y ) doğru yoğundur ve p ₁ , tüm için geçerlidir c _i . Daha sonra modelleri olan elemanların dizisi C _ı bir sınır yakınsama C yarık n  - 2 vaka olan bağlı olarak i ilişki P _i ( c ) de geçerlidir.

Vaught teoreminin ispatı fikri aşağıdaki gibidir. En fazla sayılabilir sayıda model varsa, o zaman en küçüğü vardır: atom modeli ve en büyüğü, doymuş model , birden fazla model varsa farklıdır. Farklılarsa, doymuş model , atom modeli tarafından atlanan bazı n- tiplerini gerçekleştirmelidir . O zaman, bu n- tipini (sonlu sayıda sabitle genişletilmiş bir dilde) gerçekleştiren yapılar teorisinin bir atom modelinin , atomik veya doymuş modele izomorfik olmayan üçüncü bir model olduğu gösterilebilir. Yukarıdaki 3 modelli örnekte, atom modeli dizinin sınırsız olduğu modeldir, doymuş model dizinin yakınsamadığı modeldir ve atom modeli tarafından gerçekleştirilmeyen bir türe örnek, daha büyük bir elementtir. dizinin tüm öğeleri.

Topolojik Vaught varsayımı

Topolojik Vaught varsayımı, Polonyalı bir grup bir Polonya uzayında sürekli olarak hareket ettiğinde , ya sayılabilir çok sayıda yörünge ya da süreklilik için çok sayıda yörünge olduğu ifadesidir . Topolojik Vaught varsayımı, orijinal Vaught varsayımından daha geneldir: Sayılabilir bir dil verildiğinde , o dil için doğal sayılar üzerindeki tüm yapıların uzayını oluşturabiliriz . Bunu birinci dereceden formüller tarafından üretilen topoloji ile donatırsak , o zaman A. Gregorczyk , A. Mostowski , C. Ryll-Nardzewski , "Aksiyomatik teorilerin model kümelerinin tanımlanabilirliği" ( Polonya Akademisi Bülteni) tarafından bilinir . Sciences (Mathematics, Astronomy, Physics serisi) , cilt 9 (1961), s. 163–7) elde edilen uzayın Lehçe olduğunu. Sonsuz simetrik grubun (doğal sayıların tüm permütasyonlarının noktasal yakınsama topolojisi ile toplanması) sürekli bir hareketi vardır ve bu , izomorfizmin denklik ilişkisine yol açar . Tam bir birinci dereceden teorisi Verilen T , tatmin edici yapıların kümesi T minimal olduğu, değişmez seti kapalı ve kendi başına dolayısıyla Polonyalı.

Ayrıca bakınız

• Bir teorinin spektrumu
• Morley'in kategori teoremi

Referanslar

• Knight, RW (2002), The Vaught Conjecture: A Counterexample , el yazması
• Knight, RW (2007), "Categories of topolojik uzaylar ve dağınık teoriler" , Notre Dame Journal of Formal Logic , 48 (1): 53–77, doi : 10.1305/ndjfl/1172787545 , ISSN  0029-4527 , MR  2289897
• R. Vaught, "Tam teorilerin sayısız modelleri", Infinitistic Methods (Proc. Symp. Foundations Math., Varşova, 1959) Warsaw/Pergamon Press (1961) s. 303–321
• Harrington, Leo ; Makkai, Michael ; Shelah, Saharon (1984), "ω-kararlı teoriler için Vaught'un varsayımının kanıtı", İsrail Matematik Dergisi , 49 : 259–280, doi : 10.1007/BF02760651
• Marker, David (2002), Model teorisi: Bir Giriş , Matematikte Lisansüstü Metinleri, 217 , New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98760-6, Zbl  1003.03034