Urysohn'un lemması - Urysohn's lemma

Olarak topoloji , Urysohn lemması a, lemması bir olduğu durumları topolojik uzay olan , normal ve sadece herhangi iki eğer ayrık kapalı alt-gruplar olabilir ayrılmış bir tarafından sürekli bir fonksiyon .

Urysohn lemması, normal uzaylar üzerinde çeşitli özelliklere sahip sürekli fonksiyonlar oluşturmak için yaygın olarak kullanılır. Tüm metrik uzaylar ve tüm kompakt Hausdorff uzayları normal olduğu için yaygın olarak uygulanabilir . Lemma, Tietze genişleme teoremi tarafından genelleştirilir (ve genellikle ispatında kullanılır) .

Lemma, matematikçi Pavel Samuilovich Urysohn'un adını almıştır .

Tartışma

İki alt-gruplar ve a topolojik alan söylenmektedir çevreye göre ayrılmış varsa yakın çevre içinde ve arasında ayrık bulunmaktadır. Özellikle ve mutlaka ayrıktır. ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili U}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili V}$ ${\görüntüleme stili B}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$

İki düz alt-gruplar ve söylenmektedir bir işlev ile ayrılan bir mevcutsa sürekli fonksiyon ile ilgili olarak aralık biriminin bu tür tüm ve her için Böyle bir fonksiyon, bir adlandırılır Urysohn fonksiyonu için ve özellikle ve zorunlu olarak ayrık bulunmaktadır. ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$ $f:X\to [0,1]$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili [0,1]}$ ${\görüntüleme stili f(a)=0}$ ${\ Displaystyle a\in A}$ ${\görüntüleme stili f(b)=1}$ ${\görüntüleme stili b\B'de.}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B.}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$

İki alt-gruplar halinde izler ve bir işlev ile ayrılır o zaman kendi muhafazalardır. Ayrıca, eğer iki alt küme ve bir fonksiyon tarafından ayrılırsa , o zaman ve komşuluklarla ayrılır. ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$
${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$

Bir normal bir alan herhangi iki ayrık kapalı setleri çevreye göre ayrılabilen bir topolojik alandır. Urysohn'un lemması, bir topolojik uzayın, ancak ve ancak herhangi iki ayrık kapalı kümenin sürekli bir fonksiyonla ayrılabilmesi durumunda normal olduğunu belirtir.

Setleri ve ihtiyaç edilmeyecektir kesin ayrılmış yani, bilmiyoruz ve genel kutu içinde değil, gerektirmektedir ve için dış ve olan bu özellik sahip olduğu alanlarda gayet normal uzaylar . ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$ ${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili f(x)\neq 0}$ ${\görüntüleme stili \neq 1}$ ${\görüntüleme stili x}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B.}$

Urysohn'un lemması, 'Tychonoff özelliği' ve 'tamamen Hausdorff uzayları' gibi diğer topolojik özelliklerin formülasyonuna yol açmıştır. Örneğin, lemmasının bir sonuç, normal yani , T ₁ boşluk vardır Tychonoff .

Resmi açıklama

Bir topolojik uzay herhangi iki boş olmayan kapalı ayrık alt kümeleri için, ancak ve ancak normaldir ve bir sürekli harita vardır öyle ve ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$ ${\görüntüleme stili X,}$ $f:X\to [0,1]$ $f(A)=\{0\}$ ${\görüntüleme stili f(B)=\{1\}.}$

Kanıt taslağı

Urysohn'un " soğan " fonksiyonunun çizimi .

Prosedür, iki ayrık kapalı kümeyle başlayarak, normallik tanımının tamamen dolaysız bir uygulamasıdır (neler olduğunu görmek için aşağıda açıklanan tümevarımdaki ilk birkaç adımı temsil eden bazı şekiller çizildiğinde). Akıllı kanıt parçası böylece diyadik fraksiyonları tarafından yapılan açık kümelerin indeksleme.

Her için diyadik fraksiyonun biz inşa edeceğiz açıkaltkümeyi ait öyle ki: ${\görüntüleme stili r\in (0,1),}$ ${\görüntüleme stili U(r)}$ ${\görüntüleme stili X}$

${\görüntüleme stili U(r)}$ içerir ve herkes için ayrıdır ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B}$ ${\görüntüleme stili r,}$
For kapanması arasında bulunan ${\görüntüleme stili r<s,}$ ${\görüntüleme stili U(r)}$ ${\görüntüleme stili U(lar).}$

Bu kümelere sahip olduğumuzda , herhangi biri için olup olmadığını tanımlarız ; aksi halde her yer için infimum'u belirtir . İkili rasyonellerin yoğun olduğu gerçeğini kullanarak , bunun sürekli olduğunu ve özellik ve özelliklere sahip olduğunu göstermek çok zor değildir. ${\görüntüleme stili f(x)=1}$ $x\U(r)'de değil$ ${\görüntüleme stili r}$ $f(x)=\inf\{r:x\in U(r)\}$ $x\in X,$ ${\görüntüleme stili \inf }$ ${\görüntüleme stili f}$ $f(A)\subseteq \{0\}$ $f(B)\subseteq \{1\}.$

Kümeleri inşa etmek için aslında biraz daha fazlasını yapıyoruz: kümeler inşa ediyoruz ve öyle ki ${\görüntüleme stili U(r),}$ ${\görüntüleme stili U(r)}$ ${\görüntüleme stili V(r)}$

${\görüntüleme stili A\alt küme U(r)}$ ve herkes için ${\görüntüleme stili B\alt küme V(r)}$ ${\görüntüleme stili r,}$
${\görüntüleme stili U(r)}$ ve herkese açık ve ayrıktır ${\görüntüleme stili V(r)}$ ${\görüntüleme stili r,}$
Çünkü tamamlayıcısında bulunur ve tamamlayıcısı içinde bulunur ${\görüntüleme stili r<s,}$ ${\görüntüleme stili V(ler)}$ ${\görüntüleme stili U(r)}$ ${\görüntüleme stili V(r)}$ ${\görüntüleme stili U(lar).}$

Tümleyeni kapalı olduğundan ve ikinci koşulu içerdiğinden , yukarıdan koşul (2)'yi ifade eder. ${\görüntüleme stili V(r)}$ ${\görüntüleme stili U(r),}$

Bu yapı matematiksel tümevarımla ilerler . İlk tanımlamak ve yana normaldir, iki ayrık açık kümeleri bulabilirsiniz ve hangi içerirler ve sırasıyla. Şimdi varsayalım ve setleri ve zaten inşa edilmiş bu yana herhangi biri için, normaldir biz içeren iki ayrık açık kümeleri bulabilirsiniz ve sırasıyla. Bu iki açık kümeleri Çağrı ve yukarıda üç koşulun doğrulayın. $U(1)=X\setminus B$ $V(0)=X\setminus A.$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili U(1/2)}$ ${\görüntüleme stili V(1/2)}$ ${\görüntüleme stili A}$ ${\görüntüleme stili B,}$ $n\geq 1$ $U\sol(k/2^{n}\sağ)$ $V\sol(k/2^{n}\sağ)$ $k=1,\ldots ,2^{n}-1.$ ${\görüntüleme stili X}$ $a\in \sol\{0,1,\ldots ,2^{n}-1\sağ\},$ $X\setminus V\sol(a/2^{n}\sağ)$ $X\setminus U\sol((a+1)/2^{n}\sağ),$ $U\sol((2a+1)/2^{n+1}\sağ),$ $V\sol((2a+1)/2^{n+1}\sağ),$