Topolojik homomorfizma - Topological homomorphism

Olarak fonksiyonel analiz , bir topolojik homomorfizması ya da sadece homomorfizması (karışıklık ortaya çıkacaktır ise) analog homomorfizması kategorisi için topolojik vektör uzayı (TVSS). Bu kavram, fonksiyonel analizde oldukça önemlidir ve ünlü açık haritalama teoremi , Fréchet uzayları arasında sürekli bir lineer haritanın topolojik bir homomorfizma olması için yeterli bir koşul verir .

Tanımlar

Bir topolojik homomorfizmi ya da sadece homomorfizması (karışıklık ortaya olan) a, sürekli bir doğrusal harita arasındaki topolojik vektör uzayı (TVSS) ile indüklenen harita şekilde bir bir açık eşleme zaman olan görüntü arasında verilen alt uzay topolojisi ile indüklenen bu kavram olup Fonksiyonel analizde oldukça önemli olan ve ünlü açık haritalama teoremi , Fréchet uzayları arasında sürekli bir lineer haritanın topolojik bir homomorfizma olması için yeterli bir koşul verir . ${\görüntüleme stili u:X\to Y}$ $u:X\to \operatöradı {Im} u$ $\operatöradı {Im} u:=u(X),$ ${\görüntüleme stili u,}$ ${\görüntüleme stili Y.}$

Bir TVS gömmeveya bir topolojik monomorfizm , bir enjektif topolojik homomorfizmdir. Eşdeğer olarak, bir TVS yerleştirme, aynı zamanda bir topolojik yerleştirme olan doğrusal bir haritadır .

Karakterizasyonlar

Bunun TVS'ler arasında doğrusal bir harita olduğunu varsayalım ve aşağıdaki kurallı doğrusal haritaların bileşimine ayrıştırılabileceğine dikkat edin : ${\görüntüleme stili u:X\to Y}$ ${\görüntüleme stili u}$

X~{\overset {\pi }{\rightarrow }}~X/\operatöradı {ker} u~{\overset {u_{0}}{\rightarrow }}~\operatöradı {Im} u~{ \overset {\operatöradı {In} }{\rightarrow }}~Y

nerede kanonik olduğu bölüm dönüşümü ve bir içerme haritası . $\pi :X\to X/\operatör adı {ker} u$ $\operatöradı {In} :\operatöradı {Im} u\to Y$

Aşağıdakiler eşdeğerdir:

${\görüntüleme stili u}$ bir topolojik homomorfizmadır
li> içindeki orijin her komşuluk tabanı için orijinin bir komşuluk tabanıdır. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {U}}}$ ${\görüntüleme stili X,}$ $u\sol({\mathcal {U}}\sağ)$ ${\görüntüleme stili Y}$
indüklenen harita , TVS'lerin bir izomorfizmidir $u_{0}:X/\operatöradı {ker} u\to \operatöradı {Im} u$

Ek olarak, aralığı sonlu boyutlu bir Hausdorff uzayıysa, aşağıdakiler eşdeğerdir: ${\görüntüleme stili u}$

${\görüntüleme stili u}$ bir topolojik homomorfizmadır
${\görüntüleme stili u}$ sürekli
${\görüntüleme stili u}$ orijinde süreklidir
${\ Displaystyle u^{-1}(0)}$ kapalı ${\görüntüleme stili X}$

Yeterli koşullar

Teorem - Let bir bir surjective sürekli lineer haritası olması LF-uzay TVS içine If da olduğu LF-space veya eğer bir olduğunu Fréchet uzay sonra bir topolojik homomorfizma. ${\görüntüleme stili u:X\to Y}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y.}$ ${\görüntüleme stili Y}$ ${\görüntüleme stili Y}$ ${\görüntüleme stili u:X\to Y}$

Teorem — İki Hausdorff TVS arasında sürekli bir lineer operatör olduğunu varsayalım . Eğer yoğun vektör alt uzay olduğunu ve kısıtlama varsa için bir topolojik homomorfizması daha sonra da bir topolojik homomorfizma. ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$ ${\görüntüleme stili M}$ ${\görüntüleme stili X}$ $f{\big\vert }_{M}:M\to Y$ ${\görüntüleme stili M}$ ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$

Yani eğer ve bir Haussdorf tamamlanmış hali ve sırasıyla ve eğer o zaman bir topolojik homomorfizması vardır 'ın eşsiz sürekli doğrusal uzantısı bir topolojik homomorfizma. (Ancak, bu mümkün surjective olabilir ama için için için değil İnjektif olun.) ${\görüntüleme stili C}$ ${\görüntüleme stili D}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili Y,}$ ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$ ${\görüntüleme stili f}$ ${\ Displaystyle F:C\'den D'ye}$ ${\ Displaystyle f:X\'den Y'ye}$ ${\ Displaystyle F:C\'den D'ye}$

Açık eşleme teoremi

Açık dönüşüm teoremi olarak da bilinen, Banach sitesindeki homomorfizmi teoremi, topolojik homomorfizması için tam metriklenebilir TVSS arasında sürekli bir doğrusal operatör için yeterli bir koşul sağlar.

Teorem - Let iki tam metriklenebilir TVSS arasında sürekli bir doğrusal haritası olması. Eğer bunlardan aralığı yoğun bir alt kümesi ya da daha sonra bir yetersiz (olduğunu birinci kategorinin olarak) ya da başka bir örten topolojik homomorfizma. Özellikle, bir topolojik homomorfizma ancak ve ancak aşağıdakilerin kapalı bir alt kümesi ise ${\görüntüleme stili u:X\to Y}$ $\operatöradı {Im} u,$ ${\görüntüleme stili u,}$ ${\görüntüleme stili Y}$ ${\ Displaystyle \ operatör adı {Im} u}$ ${\görüntüleme stili Y}$ ${\görüntüleme stili u:X\to Y}$ ${\görüntüleme stili u:X\to Y}$ ${\ Displaystyle \ operatör adı {Im} u}$ ${\görüntüleme stili Y.}$

Doğal sonucu - Let ve bir vektör alanı olmak TVS topolojileri her topoloji yapar, öyle ki bir içine komple metriklenebilir TVSS . Eğer ya da sonra ${\görüntüleme stili \sigma }$ ${\görüntüleme stili\tau }$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili X}$ $\sigma \subseteq \tau$ $\tau \subseteq \sigma$ ${\görüntüleme stili \sigma =\tau .}$

Sonuç - ise a, tam metriklenebilir TVS , ve iki kapalı vektör altuzayları olan ve eğer cebirsel doğrudan toplamıdır ve daha sonra (vektör uzayı kategorisinde doğrudan toplamı yani) doğrudan toplamıdır ve topolojik kategorisinde vektör uzayları. ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili M}$ ${\görüntüleme stili N}$ ${\görüntüleme stili X,}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili M}$ ${\görüntüleme stili N}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili M}$ ${\görüntüleme stili N}$

Örnekler

Bir TVS üzerindeki her sürekli doğrusal fonksiyonel , bir topolojik homomorfizmadır.

Izin bir olmak alanın üzerine boyutlu TVS ve izin sıfırdan farklı. Izin tanımlanabilir If her zamanki vardır Öklit topoloji ve eğer olduğunu Haussdorf sonra TVS-izomorfizm olduğunu. ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili 1}$ $\mathbb {K}$ ${\görüntüleme stili x\in X}$ $L:\mathbb {K} \to X$ ${\görüntüleme stili L(ler):=sx.}$ $\mathbb {K}$ ${\görüntüleme stili X}$ $L:\mathbb {K} \to X$

Ayrıca bakınız

Homomorfizm – Aynı türden iki cebirsel yapı arasındaki yapıyı koruyan harita
Eşlemeyi aç
Surjection of Fréchet uzayları – Fréchet uzayları arasında sürekli bir lineer haritanın surjective olduğunu karakterize eden teorem.
Topolojik vektör uzayı – Yakınlık kavramına sahip vektör uzayı

Referanslar

bibliyografya

Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur, vectoriels topologiques'den kaçınır [ Topolojik Vektör Uzayları: Chapters 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de matematik . 2 . Eggleston, HG tarafından tercüme edilmiştir; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Jarchow, Hans (1981). Yerel dışbükey uzaylar . Stuttgart: BG Teubner. ISBN'si 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topolojik Vektör Uzayları I . Grundlehren der matematikçi Wissenschaften. 159 . Garling tarafından çevrildi, DJH New York: Springer Science & Business Media. ISBN'si 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
Köthe, Gottfried (1979). Topolojik Vektör Uzayları II . Grundlehren der matematikçi Wissenschaften. 237 . New York: Springer Bilim ve İş Medyası. ISBN'si 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topolojik Vektör Uzayları . Matematikte Cambridge Yolları . 53 . Cambridge İngiltere: Cambridge University Press . ISBN'si 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Schechter, Eric (1996). Analiz El Kitabı ve Temelleri . San Diego, CA: Akademik Basın. ISBN'si 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Swartz, Charles (1992). Fonksiyonel Analize giriş . New York: M. Dekker. ISBN'si 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
Swartz, Charles (1992). Fonksiyonel Analize giriş . New York: M. Dekker. ISBN'si 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Valdivia, Manuel (1982). Nachbin, Leopoldo (ed.). Yerel Dışbükey Uzaylarda Konular . 67 . Amsterdam New York, NY: Elsevier Science Pub. Şirket ISBN'si 978-0-08-087178-3. OCLC 316568534 .
Voigt, Jürgen (2020). Topolojik Vektör Uzayları Üzerine Bir Ders . Matematikte Kompakt Ders Kitapları. Çam: Birkhäuser Basel . ISBN'si 978-3-030-32945-7. OCLC 1145563701 .
Wilansky, Albert (2013). Topolojik Vektör Uzaylarında Modern Yöntemler . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

Languages

In other projects