Dönemsel - Termial

Gelen matematik , termial bir pozitif tam sayı $, n$ , ile gösterilen $n ?$ , $n'den$ küçük veya $n'ye$ eşit tüm pozitif tam sayıların toplamıdır . Örneğin,

{\ displaystyle 5? = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 \ ,.}

$0$ değeri $?$ olan $0$ , bir için kuralına göre, boş bir toplamı .

Terim kelimesi Donald E. Knuth tarafından The Art of Computer Programming adlı eserinde icat edilmiştir . Bu katkı analog faktöriyel bir fonksiyonu, ürün arasındaki tam sayıların $1$ ile $n$ . O uzatılmasını göstermek için kullandı etki pozitif tamsayılar gelen gerçek sayılar .

Pozitif tamsayılar terimi aynı zamanda üçgen sayılar olarak da bilinir . İlk birkaç (sekans A000217 olarak OEIS a)

Tarih

18. yüzyıldan beri Leonhard Euler ve diğer bazı matematikçiler , faktör işlevinin alanını gerçek sayılara ve hatta karmaşık sayılara genişletmeye çalışıyorlardı ve sonunda Gama işlevini ortaya koydular . 1997'de Donald E. Knuth , terimsel işlevi $n$ $?$ Alan uzantısının anlamını göstermek için ek olarak faktöryel analoğu olarak Bilgisayar Programlama Sanatı adlı eserinde .

Tanım

Terimsel fonksiyon toplamı ile tanımlanır

{\ displaystyle n? = 1 + 2 + 3 + \ cdots + (n-2) + (n-1) + n \ ,,}

başlangıçta $n \geq 1$ tamsayısı için . Bu yazılabilir Sigma toplamı gösterimde olarak

{\ displaystyle n? = \ toplam _ {i = 1} ^ {n} i.}

Bu formüllerden, tekrarlama ilişkisi türetilebilir.

{\ displaystyle n? = n + (n-1)? \ ,.}

Örneğin, biri var

{\ displaystyle {\ başlar {hizalı} 5? & = 5 + 4? \\ 6? & = 6 + 5? \\ 50? & = 50 + 49? \ end {hizalı}}}

ve bunun gibi.

Terimsel fonksiyon, aritmetik sıra için toplama formülü kullanılarak hesaplanabilir :

{\ displaystyle n? = {\ frac {n (n + 1)} {2}} \ ,.}

Örneğin ,. ${\ displaystyle 100? = {\ frac {100 \ times 101} {2}} = 5050}$

Sıfır dönem

Yineleme ilişkisinin $n = 0'a$ genişletilebilmesi için tanımlanması gerekir.

{\ displaystyle 0? = 0}

Böylece

{\ displaystyle 1? = 1 + 0? = 1.}

Tamsayı olmayan bir terim

Terim işlevi, formül kullanılarak tamsayı olmayan değerler için de tanımlanabilir . ${\ displaystyle n? = {\ frac {n (n + 1)} {2}}}$

Örneğin ,. ${\ displaystyle \ sol ({\ frac {1} {2}} \ sağ)? = {\ frac {3} {8}}}$

Uygulamalar

Terim, matematikte daha az sıklıkla kullanılır, ancak yine de kombinatorik gibi alanlarda bazı kullanımları vardır .

Bir dizi $n$ farklı öğe için, $2$ - kombinasyon sayısı (yani, ikisini seçmenin yolu sayısı) eşittir $(n - 1)?$ . Yani

{\ displaystyle {n \ 2'yi seç} = (n-1)? \ ,.}

Dört dörtlü oynarken , termial gerekli ifadeyi bulmak için yararlı bir araç olabilir, özellikle de kurallar ondalık nokta ve karekök kullanımına izin vermediğinde (çünkü $0$ ve $2$ sayıları görünmez olarak kullanılır). Örneğin,

{\ displaystyle 13 = 4? + 4-4 \ div 4}

{\ displaystyle 18 = 4! +4? -4 \ times 4}

Termial benzeri toplam ve fonksiyonlar

Çift terminal

Benzer bir tek pozitif tamsayıya faktör, her şeyden toplamı tek tamsayılar iki katına $n$ olarak adlandırılır çift termial ve $n$ ve ile gösterilen $n ??$ . Yani,

{\ displaystyle (2k-1) ?? = \ toplamı _ {i = 1} ^ {k} (2i-1) = 1 + 3 + 5 + \ cdots + (2k-3) + (2k-1) \ ,.}

Örneğin ,. ${\ displaystyle 9 ?? = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25}$

Çift termial dizisi $n = 1, 3, 5, 7, ...$ olan kare sayısı dizisi. Olarak başlar

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... (dizi A000290 olarak OEIS )

İlkel

Primial , ilkel bir analog olarak tanıtılabilir ve $n §$ ile gösterilir . N'den küçük veya $n'ye$ eşit asal sayıların toplamı olarak tanımlanır , yani

{\ displaystyle n \ S = p _ {\ pi (n)} \ S = \ toplam _ {i = 1} ^ {\ pi (n)} p_ {i} \ ,,}

nerede olduğu prime-sayma fonksiyonu . ${\ displaystyle \ pi (n)}$

Örneğin ,. ${\ displaystyle 11 \ S = p_ {5} \ S = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28}$

İlk birkaç sonuç

0, 2, 5, 10, 17, 28, 41, ... (dizi A007504 olarak OEIS )

Karşılıklı termial

Karşılıklı terim , ilk $n$ pozitif tamsayıların karşılıklı toplamı olarak tanımlanır . Bu eşittir n -inci harmonik sayısı .

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {i}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} = H_ {n}.}

Örneğin, ${\ displaystyle \ toplamı _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {1} {i}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} = {\ frac {11} {6}}.}$

Languages

In other projects