Toplama - Summation

Gelen matematik , toplamı olan ekleme a dizisinin her türlü sayı olarak adlandırılan addends veya summands ; sonuç onların toplamı veya toplamıdır . Sayıların yanı sıra diğer değer türleri de toplanabilir: fonksiyonlar , vektörler , matrisler , polinomlar ve genel olarak üzerinde "+" ile gösterilen bir işlemin tanımlandığı her tür matematiksel nesnenin öğeleri .

Sonsuz dizilerin toplamına seri denir . Limit kavramını içerirler ve bu makalede ele alınmamışlardır.

Açık bir dizinin toplamı, art arda eklemeler olarak gösterilir. Örneğin, [1, 2, 4, 2] toplamı 1 + 2 + 4 + 2 olarak gösterilir ve 9 ile sonuçlanır, yani 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Toplama birleştirici ve değişmeli olduğundan, parantezlere gerek yoktur ve sonuç, toplamların sırasına bakılmaksızın aynıdır. Yalnızca bir öğe dizisinin toplamı, bu öğenin kendisiyle sonuçlanır. Konvansiyonel olarak boş bir dizinin (eleman içermeyen bir dizi) toplamı 0 ile sonuçlanır.

Çok sık olarak, bir dizinin öğeleri, dizideki yerlerinin bir işlevi olarak, düzenli bir model aracılığıyla tanımlanır . Basit modeller için, uzun dizilerin toplamı, elipslerle değiştirilen çoğu toplama ile temsil edilebilir. Örneğin, birinci 100 toplamıdır doğal sayılar olarak yazılabilir 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . Aksi takdirde, toplama Σ notasyonu kullanılarak gösterilir , burada büyük bir Yunan harfi sigmadır . Örneğin, ilk n doğal sayının toplamı şu şekilde gösterilebilir:

Uzun toplamlar ve değişken uzunluklu toplamlar için (elipsler veya Σ notasyonu ile tanımlanır), sonuç için kapalı form ifadeleri bulmak yaygın bir sorundur . Örneğin,

Bu tür formüller her zaman mevcut olmasa da, birçok toplama formülü keşfedilmiştir - en yaygın ve temel olanlardan bazıları bu makalenin geri kalanında listelenmiştir.

gösterim

Sermaye-sigma gösterimi

toplama sembolü

Matematiksel gösterim, birçok benzer terimin toplamını kompakt bir şekilde temsil eden bir sembol kullanır: toplama sembolü , , dik büyük Yunan harfi sigmanın büyütülmüş bir şekli . Bu şu şekilde tanımlanır

burada i bir toplamı indeksi ; a i , toplamın her bir terimini temsil eden indekslenmiş bir değişkendir; m , toplamanın alt sınırıdır ve n , toplamanın üst sınırıdır . Toplama sembolünün altındaki " i = m ", i indeksinin m'ye eşit olarak başladığı anlamına gelir . İndeks, i , her ardışık terim için bir artırılır ve i = n olduğunda durur .

"Toplamı Bu olarak okunur bir i gelen, i = m için n ".

İşte karelerin toplamını gösteren bir örnek:

Genel olarak, herhangi bir değişken toplama indisi olarak kullanılabilirken (belirsizliğin oluşmaması şartıyla), en yaygın olanlardan bazıları , , , ve gibi harfleri içerir ; ikincisi de genellikle bir toplamın üst sınırı için kullanılır.

Alternatif olarak, bağlam yeterince açıksa, toplamanın indeksi ve sınırları bazen toplama tanımından çıkarılır. Bu, özellikle dizin 1'den n'ye kadar çalıştığında geçerlidir . Örneğin, biri şunu yazabilir:

Bu gösterimin, keyfi bir mantıksal koşulun sağlandığı ve toplamın, koşulu karşılayan tüm değerler üzerinden alınmasının amaçlandığı genellemeleri sıklıkla görülür. Örneğin:

belirtilen aralıktaki tüm ( tamsayılar ) toplamıdır ,

kümedeki tüm öğelerin toplamıdır ve

bölen tüm pozitif tam sayıların toplamıdır .

Birçok sigma işaretinin kullanımını genelleştirmenin de yolları vardır. Örneğin,

aynıdır

Benzer bir gösterim, toplamına benzer, ancak toplama yerine çarpma işlemini kullanan (ve boş bir dizi için 0 yerine 1 veren) bir dizinin ürününü belirtmek söz konusu olduğunda uygulanır . Aynı temel yapı, Yunanca büyük harf pi'nin büyütülmüş bir biçimiyle kullanılır ve .

Özel durumlar

2'den az sayı toplamak mümkündür:

  • Toplamın bir toplamı varsa , o zaman değerlendirilen toplam olur .
  • Toplamın toplamı yoksa, o zaman hesaplanan toplam sıfırdır , çünkü sıfır, toplamanın kimliğidir . Bu boş toplam olarak bilinir .

Bu dejenere durumlar genellikle sadece toplama notasyonu özel bir durumda dejenere bir sonuç verdiğinde kullanılır. Örneğin, yukarıdaki tanımda toplamda yalnızca bir terim varsa; ise , o zaman hiçbiri yoktur.

Resmi tanımlama

Toplama özyinelemeli olarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

, b < a için ;
, için ba .

Ölçü teorisi gösterimi

Ölçü ve entegrasyon teorisi gösteriminde , bir toplam belirli bir integral olarak ifade edilebilir ,

burada bir alt-kümesi ile ilgili tamsayılar için ve burada bir sayma ölçer .

Sonlu farklar hesabı

[ m , n ] aralığındaki tamsayılar üzerinden tanımlanan bir f fonksiyonu verildiğinde , aşağıdaki denklem geçerlidir:

Bu analog olan hesabın temel teoremi içinde sonlu farklar hesabı belirtmektedir:

nerede

bir türevi ve f .

Yukarıdaki denklemin bir uygulama örneği aşağıdaki gibidir:

Kullanılması binom teoremi , bu şekilde yeniden yazılabilir:

Yukarıdaki formül, şu şekilde tanımlanan fark operatörünün tersine çevrilmesi için daha yaygın olarak kullanılır :

burada f , negatif olmayan tamsayılar üzerinde tanımlanan bir fonksiyondur. Bu nedenle, bu tür bir fonksiyonu belirli bir ön , bir sorun hesaplamak için antidifference arasında f , bir fonksiyonu olacağı şekilde . Yani, Bu fonksiyon bir sabitin eklenmesine kadar tanımlanır ve şu şekilde seçilebilir:

Orada her zaman değil, kapalı bir şekilde ifade böyle bir toplamı için değil, Faulhaber formül durumda burada kapalı bir form sağlar ile ve doğrusallık her için, polinom fonksiyonu arasında n .

Belirli integrallerle yaklaşım

Bu tür pek çok yaklaşım, herhangi bir artan f fonksiyonu için geçerli olan toplamlar ve integraller arasındaki aşağıdaki bağlantıyla elde edilebilir :

ve azalan herhangi bir fonksiyon için f :

Daha genel yaklaşımlar için Euler-Maclaurin formülüne bakın .

Toplamın indeksin integrallenebilir bir fonksiyonu tarafından verildiği (veya enterpolasyon yapılabildiği) toplamlar için, toplama , karşılık gelen belirli integralin tanımında meydana gelen bir Riemann toplamı olarak yorumlanabilir . Bu nedenle, örneğin şunu bekleyebiliriz

çünkü sağ taraf tanım gereği sol tarafın sınırıdır . Bununla birlikte, belirli bir toplam için n sabittir ve f hakkında ek varsayımlar olmaksızın yukarıdaki yaklaşımdaki hata hakkında çok az şey söylenebilir : çılgınca salınan fonksiyonlar için Riemann toplamının keyfi olarak Riemann integralinden uzak olabileceği açıktır.

kimlikler

Aşağıdaki formüller sonlu toplamları içerir; trigonometrik fonksiyonları veya diğer aşkın fonksiyonları içeren ifadelerin sonsuz toplamları veya sonlu toplamları için , matematiksel serilerin listesine bakın .

Genel kimlikler

( dağıtıcılık )
( değişebilirlik ve çağrışımsallık )
(indeks kayması)
sonlu bir A kümesinden bir B kümesine bir σ önermesi için (indeks değişimi); bu, önceki formülü genelleştirir.
(bir toplamı bölme, ilişkilendirme kullanarak )
(önceki formülün bir çeşidi)
(ilk terimden son terime kadar olan toplam, son terimden ilk terime kadar olan toplam eşittir)
(yukarıdaki formülün özel bir durumu)
(değişebilirlik ve ilişkisellik, yine)
(değişebilirlik ve çağrışımsallığın başka bir uygulaması)
( çift ​​indeksler için bir toplamı tek ve çift kısımlarına bölmek )
(tek indeksler için bir toplamı tek ve çift kısımlarına bölme)
( dağıtıcılık )
(dağıtılabilirlik çarpanlara ayırmaya izin verir)
( logaritma bir ürünün faktörlerin logaritma toplamıdır)
( toplamın üsteli , toplamların üstelinin ürünüdür)

Aritmetik ilerlemelerin güçleri ve logaritması

i'ye bağlı olmayan her c için
( İlk n doğal sayıdan oluşan en basit aritmetik ilerlemenin toplamı .)
(Birinci tek doğal sayıların toplamı)
(Birinci çift doğal sayıların toplamı)
(Bir logaritma toplamı , ürünün logaritmasıdır)
(İlk karelerin toplamı , bkz. kare piramidal sayı .)
( Nicomachus teoremi )

Daha genel olarak, Faulhaber'in formülü şu şekildedir :

burada bir Bernoulli sayısını belirtir ve bir binom katsayısıdır .

Üslerde toplama indeksi

Aşağıdaki toplamları olarak, bir 1'den farklı olduğu varsayılır.

(bir geometrik ilerlemenin toplamı )
( a = 1/2 için özel durum )
( A göre katı bir türevi , bir geometrik ilerleme)
(bir aritmetik-geometrik dizinin toplamı )

Binom katsayıları ve faktöriyeller

Binom katsayılarını içeren çok sayıda toplama özdeşliği vardır ( Somut Matematiğin bütün bir bölümü sadece temel tekniklere ayrılmıştır). En temel olanlardan bazıları şunlardır.

Binom teoremini içeren

binom teoremi
a = b = 1 olduğu özel durum
, p = a = 1 − b olduğu özel durum , ki bu, binom dağılımının toplamını ifade eder
değerdir bir = b = 1 arasında türevi ile ilgili olarak bir binom teoremi
değerdir bir = b = 1 arasında İlkel göre bir binom teoremi

Permütasyon numaralarını içeren

Aşağıdaki toplamlarda, n'nin k- permütasyonlarının sayısıdır .

, nerede ve kat fonksiyonunu belirtir .

Diğerleri

harmonik sayılar

(yani , n inci harmonik sayısı )
(bu genelleştirilmiş bir harmonik sayıdır )

Büyüme oranları

Aşağıdakiler faydalı yaklaşımlardır ( teta notasyonu kullanılarak ):

-1'den büyük gerçek c için
(Bkz. Harmonik sayı )
1'den büyük gerçek c için
için negatif olmayan gerçek c
negatif olmayan gerçek c , d için
negatif olmayan gerçek b > 1, c , d için

Ayrıca bakınız

Notlar

Kaynaklar

Dış bağlantılar