Tensör alanı - Tensor field

Gelen matematik ve fizik , bir tensör alanı atar bir tensör matematiksel alan (tipik olarak bir her noktasına Öklid alan veya manifold ). Tensör alanları, diferansiyel geometri , cebirsel geometri , genel görelilik , malzemelerdeki gerilim ve gerinim analizinde ve fizik bilimlerindeki sayısız uygulamada kullanılmaktadır . Bir tensör bir bir genellemedir olarak skalar ve (örneğin, hız için bir değer temsil eden saf bir sayı) vektörü (hız gibi saf sayısı artı bir yönü,), bir tensör alanı bir genellemedir skaler alan ya da vektör bu alanda bu uzayın her noktasına sırasıyla bir skaler veya vektör atar.

"Tensörler" olarak adlandırılan birçok matematiksel yapı, tensör alanlarıdır. Örneğin, Riemann eğrilik tensörü , adından da anlaşılacağı gibi bir tensör değil, bir tensör alanıdır : Bernhard Riemann'ın adını alır ve bir topolojik uzay olan Riemann manifoldunun her noktasına bir tensörü ilişkilendirir .

geometrik giriş

Sezgisel olarak, bir vektör alanı, değişken uzunluk ve yön ile bir bölgenin her noktasına eklenmiş bir "ok" olarak en iyi şekilde görselleştirilir. Eğri bir uzaydaki vektör alanına bir örnek, Dünya yüzeyinin her noktasında yatay rüzgar hızını gösteren bir hava durumu haritasıdır.

Tensör alanının genel fikri, daha zengin geometri gereksinimini - örneğin, bir metrik tensör durumunda noktadan noktaya değişen bir elipsoid - kavramımızın belirli bir yönteme bağlı olmasını istemediğimiz fikriyle birleştirir. yüzey haritalama. Enlem ve boylamdan veya sayısal koordinatları tanıtmak için kullandığımız belirli "kartografik projeksiyon" ne olursa olsun bağımsız olarak var olmalıdır.

Koordinat geçişleri aracılığıyla

Aşağıdaki Schouten (1951) ve (1957) McConnell , bir tensör kavramı (ya da bir referans çerçevesinin bir kavramda üzerine dayanır koordinat sistemi ), (bir arka plan referans çerçevesine göre) tespit edilebilir, ama genel olarak izin verilebilir bu koordinat sistemlerinin bazı dönüşüm sınıfları içinde değişir.

Örneğin, n -boyutlu gerçek koordinat uzayına ait koordinatlar , keyfi dönüşümlere tabi tutulabilir : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle x^{k}\mapsto A_{j}^{k}x^{j}+a^{k}}$

( n -boyutlu indekslerle, toplam ima edilir ). Bir kovaryant vektör veya kovektör, bu afin dönüşüm altında kurala göre dönüşen bir işlevler sistemidir.${\displaystyle v_{k}}$

${\displaystyle v_{k}\mapsto v_{i}A_{k}^{i}.}$

Kartezyen koordinat tabanlı vektörlerin listesi , afin dönüşüm altında olduğundan, bir kovektör olarak dönüşür . Bir kontravariant vektör, böyle bir afin dönüşüm altında bir dönüşüme uğrayan koordinatların bir fonksiyon sistemidir.${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}\mapsto A_{k}^{i}\mathbf {e} _{i}}$${\görüntüleme stili v^{k}}$

${\displaystyle v^{k}\mapsto (A^{-1})_{j}^{k}v^{j}.}$

Bu, miktarın seçilen koordinat sistemine bağlı olmayan değişmez bir nesne olmasını sağlamak için gereken gereksinimdir . Daha genel olarak, valans (bir tensör p , q ) sahip olmasıdır s aşağı endeksleri ve q, dönüşüm yasası varlık ile üst kat endeksleri, ${\displaystyle v^{k}\mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle {T_{i_{1}\cdots i_{p}}}^{j_{1}\cdots j_{q}}\mapsto A_{i_{1}}^{i'_{1}}\ cdots A_{i_{p}}^{i'_{p}}{T_{i'_{1}\cdots i'_{p}}}^{j'_{1}\cdots j'_{ q}}(A^{-1})_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots (A^{-1})_{j'_{q}}^{j_{ Q}}.}$

Bir tensör alanı kavramı, izin verilen koordinat dönüşümlerinin düzgün (veya türevlenebilir , analitik , vb.) olması için özelleştirilmesiyle elde edilebilir . Kovektör alanı, geçiş fonksiyonlarının (verilen sınıfta) Jacobian tarafından dönüştürülen koordinatların bir fonksiyonudur . Benzer şekilde, bir kontravaryant vektör alanı , ters Jacobian tarafından dönüştürülür. ${\displaystyle v_{k}}$${\görüntüleme stili v^{k}}$

Tensör demetleri

Bir tensör demeti, fiberin , bir manifold olan taban uzayının tanjant uzayının ve/veya kotanjant uzayının herhangi bir sayıdaki kopyasının bir tensör ürünü olduğu bir fiber demetidir . Bu nedenle, fiber bir vektör uzayıdır ve tensör demeti, vektör demetinin özel bir türüdür .

Vektör demeti, "parametrelere sürekli (veya düzgün bir şekilde) bağlı vektör uzayı"nın doğal bir fikridir - parametreler bir manifold M'nin noktalarıdır . Örneğin, bir açıya bağlı olarak tek boyutlu bir vektör uzayı bir Möbius şeridi veya alternatif olarak bir silindir gibi görünebilir . V bölü M vektör demeti verildiğinde , karşılık gelen alan kavramı demetin bir bölümü olarak adlandırılır : M üzerinde değişen m için , bir vektör seçimi

v _m içinde V _m ,

burada V _m "at" vektör alanıdır m .

Yana tensör ürün konsepti iki vektör demetlerinin tensör ürününü alarak bazında herhangi bir seçim, bağımsızdır M rutindir. Tanjant demeti ( tanjant uzayları demeti ) ile başlayarak , tensörlerin bileşensiz işlenmesinde açıklanan tüm aparat , girişte belirtildiği gibi yine koordinatlardan bağımsız olarak rutin bir şekilde taşınır.

Bu nedenle tensör alanının bir tanımını verebiliriz , yani bazı tensör demetinin bir bölümü olarak . (Tensor demetleri olmayan vektör demetleri vardır: örneğin Möbius bandı.) Bu, garantili geometrik içeriktir, çünkü her şey içsel bir şekilde yapılmıştır. Daha kesin olarak, bir tensör alanı manifoldun herhangi bir noktasına uzayda bir tensör atar.

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*},}$

burada V bir teğet alanı bu noktada ve V ^* olduğu cotangent alanı . Ayrıca bkz. teğet demeti ve kotanjant demeti .

Verilen iki tensör demeti E → M ve F → M , doğrusal bir harita A : Γ( E ) → Γ( F ) E'nin bölümlerinin uzayından F'nin bölümlerine kadar olan bir tensör bölümü olarak kabul edilebilir eğer ve ancak bunu karşılamaktadır bir ( fs ) = fA ( s ), her bölüm, s y (içinde E ) ve her biri yumuşak bir fonksiyonu f ile M . Bu nedenle, bir tensör bölümü, yalnızca bölümlerin vektör uzayı üzerindeki doğrusal bir harita değil, aynı zamanda bölümler modülü üzerindeki bir C ^∞ ( M )-doğrusal haritasıdır . Bu özellik, örneğin, Lie türevi ve kovaryant türevinin tensör olmamasına rağmen, bunlardan oluşturulan burulma ve eğrilik tensörlerinin olduğunu kontrol etmek için kullanılır. ${\displaystyle \scriptstyle E^{*}\otimes F}$

gösterim

Tensör alanlarının gösterimi bazen kafa karıştırıcı şekilde tensör boşluklarının gösterimine benzer olabilir. Bu nedenle, teğet demeti TM = T ( M ) bazen şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle T_{0}^{1}(M)=T(M)=TM}$

tanjant demetinin manifold M üzerindeki (1,0) tensör alanlarının (yani vektör alanları) menzil uzayı olduğunu vurgulamak için . Bu, çok benzer görünen gösterimle karıştırılmamalıdır.

${\displaystyle T_{0}^{1}(V)}$;

ikinci durumda, sadece bir tensör uzayımız varken, ilkinde, manifold M'deki her nokta için tanımlanmış bir tensör uzayımız var .

Kıvrımlı (komut dosyası) harfler bazen M üzerindeki sonsuz türevlenebilir tensör alanları kümesini belirtmek için kullanılır . Böylece,

${\ Displaystyle {\Mathcal {T}}_{n}^{m}(M)}$

( m , n ) tensör demetinin M üzerindeki sonsuz türevlenebilir bölümleridir. Bir tensör alanı bu kümenin bir elemanıdır.

Cı- ^∞ ( M ) modülü açıklaması

Bir manifold M üzerindeki tensör alanlarını karakterize etmenin daha soyut (ama genellikle kullanışlı) bir yolu daha vardır ; bu, tensör alanlarını farklı bir tipte olsa da dürüst tensörlere (yani tek çok çizgili eşlemelere) dönüştürür (gerçi bu genellikle kişinin sık sık " denmesinin nedeni bu değildir). tensör" gerçekten "tensör alanı" anlamına geldiğinde). İlk olarak, tüm pürüzsüz (C kümesini düşünebilir ^∞ üzerine) vektör alanları M , tek boşluk olarak (yukarıdaki gösterimde bölümüne bakınız) - Bir modül üzerinden halka pürüzsüz fonksiyonların, C ^∞ ( M ), noktasal skalerle çarpma işlemi. Çoklu doğrusallık ve tensör ürünleri kavramları, herhangi bir değişmeli halka üzerindeki modüllerin durumuna kolayca uzanır . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {T}}(M)}$

Motive edici bir örnek olarak, pürüzsüz kovektör alanlarının ( 1-formlar ) uzayını , ayrıca düzgün fonksiyonlar üzerinde bir modül düşünün . Bunlar, noktasal değerlendirme ile düzgün fonksiyonlar elde etmek için düz vektör alanları üzerinde hareket eder, yani bir kovektör alanı ω ve bir vektör alanı X verildiğinde , tanımlarız ${\görüntüleme stili {\matematiksel {T}}^{*}(M)}$

( ω ( X ))( p ) = ω ( p )( X ( p )).

Çünkü katılan her şeyin noktasal doğanın, eylem w üzerinde X bir olan C ^∞ ( M ise) -linear harita,

( ω ( fX ))( p ) = f ( p ) ω ( p )( X ( p )) = ( fω )( p )( X ( p )) = ( fω ( X ))( p )

herhangi biri için p içinde M ve yumuşak bir fonksiyonu f . Böylece, kovektör alanlarını sadece kotanjant demetinin bölümleri olarak değil, aynı zamanda vektör alanlarının fonksiyonlara doğrusal eşlemeleri olarak da kabul edebiliriz. Çift-dual yapı ile, vektör alanları benzer şekilde kovektör alanlarının fonksiyonlara eşlenmesi olarak ifade edilebilir (yani, "doğal olarak" kovektör alanlarıyla başlayabilir ve oradan çalışabiliriz).

Üzerinde sıradan tek tensörlerinin yapımı (değil tensör alanları!) İçin tam paralel olarak M vektörler ve covectors çoklu doğrusal haritalar gibi, biz genel (kabul edilebilir k , l üzerinde tensör alanları) M olarak C ^∞ ( M tanımlanan eşler -multilinear) ilgili l kopyaları ve k kopyaları halinde C ^∞ ( M ). ${\görüntüleme stili {\matematiksel {T}}(M)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {T}}^{*}(M)}$

Şimdi, rasgele herhangi haritalama verilen T bir üründen k kopyalarının ve l kopyaları içine C ^∞ ( M ), bunun üzerine bir tensör alanının doğar çıkıyor M ise ve yalnızca çoklu doğrusal üzerinde C ^∞ ( M ) . Dolayısıyla, bu tür bir çoklu doğrusallık, tek bir noktada değerlendirildiğinde bile vektör alanlarının tüm değerlerine bağlı olan bir fonksiyonun aksine, gerçekten noktasal olarak tanımlanmış bir nesneyle, yani bir tensör alanıyla uğraştığımız gerçeğini örtük olarak ifade eder. ve 1-formları aynı anda. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {T}}^{*}(M)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {T}}(M)}$

Bu genel kuralın sık bir örnek uygulaması, bir vektör alanına bir çift vektör alanı alan düz vektör alanlarının bir eşlemesi olan Levi-Civita bağlantısının M üzerinde bir tensör alanı tanımlamadığını göstermektedir . Bunun nedeni , Y'de yalnızca R- doğrusal olmasıdır ( tam C ^∞ ( M )-doğrusallığı yerine, Leibniz kuralını sağlar, )). Bununla birlikte, bir tensör alanı olmamasına rağmen, yine de bileşenden bağımsız bir yorumla geometrik bir nesne olarak nitelendirildiğini vurgulamak gerekir. ${\displaystyle (X,Y)\mapsto \nabla _{X}Y}$ ${\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y}$

Uygulamalar

Eğrilik tensörü diferansiyel geometride tartışılır ve stres-enerji tensörü fizikte önemlidir ve bu iki tensör Einstein'ın genel görelilik teorisi ile ilişkilidir .

In elektromanyetizma , elektrik ve manyetik alanlar bir birleştirilir elektromanyetik tensör alanına .

Manifoldlar üzerinde entegrasyonu tanımlamada kullanılan diferansiyel formların bir tür tensör alanı olduğunu belirtmekte fayda var .

tensör hesabı

Olarak teorik fizik ve diğer alanlarda, diferansiyel denklemler tensör alanları bakımından poz (tensör doğası tarafından garanti) doğada geometrik ve geleneksel olarak bağlantılı hem ilişkileri ifade etmek için bir çok genel bir yol sağlar diferansiyel hesap . Bu tür denklemleri formüle etmek bile yeni bir kavram, kovaryant türev gerektirir . Bu, bir vektör alanı boyunca bir tensör alanının varyasyonunun formülasyonunu ele alır . Daha sonra tensör hesabı olarak adlandırılan orijinal mutlak diferansiyel hesap kavramı, geometrik bağlantı kavramının izolasyonuna yol açtı .

Bir hat demeti ile büküm

Tensör alanı fikrinin bir uzantısı , M üzerinde fazladan bir L hattı demeti içerir . Eğer W tensör ürün paketi olan V ile L , o zaman W sadece aynı boyut vektör uzayı demetidir V . Bu, 'bükülmüş' bir tensör alanı türü olan tensör yoğunluğu kavramını tanımlamaya izin verir . Bir tensör yoğunluğu özel bir durumdur L demeti olan bir manifold üzerinde yoğunluklara , yani belirleyici demeti arasında kotanjant paket . (Daha doğru bir deyişle, bir de uygulanması gereken mutlak değerini için geçiş fonksiyonları - Bu bir çok az fark yaratır yönlendirilebilir manifolduna .) Daha geleneksel bir açıklama için bkz tensör yoğunluğu makalesine.

Yoğunlukları (yine yönlendirilebilirliği varsayılarak) demetinin bir özelliği L yani L ^s gerçek sayı değerleri için iyi tanımlanmış olduğu s ; bu, kesinlikle pozitif gerçek değerler alan geçiş işlevlerinden okunabilir. Bu, örneğin, s = ½ olduğu durumda, bir yarı yoğunluk alabileceğimiz anlamına gelir . Genel olarak bölümlerini sunar W , tensör ürünü V ile L ^ler ve dikkate tensör yoğunluk alanları ağırlığı s .

Manifoldlar üzerinde integral operatörlerin tanımlanması ve geometrik nicemleme gibi alanlarda yarı yoğunluklar uygulanır .

düz durumda

Ne zaman M bir olan Öklid uzayı ve tüm alanlar tarafından değişmez olduğu alınır çeviriler vektörleri tarafından M , bir tensör alanı 'kökenli oturan' bir tensör ile eş anlamlı olan bir duruma geri almak. Bunun büyük bir zararı yoktur ve genellikle uygulamalarda kullanılır. Tensör yoğunlukları uygulanan gibi, does bir fark yaratır. Yoğunluklar demeti 'bir noktada' ciddi olarak tanımlanamaz; ve bu nedenle tensörlerin çağdaş matematiksel tedavisinin bir sınırlaması, tensör yoğunluklarının dolambaçlı bir şekilde tanımlanmasıdır.

Döngüler ve zincir kuralları

Tensör kavramının gelişmiş bir açıklaması olarak, çok değişkenli durumda zincir kuralı , değişiklikleri koordine etmek için uygulandığı gibi, ayrıca tensör alanlarına yol açan kendi kendine tutarlı tensör kavramlarının gerekliliği olarak yorumlanabilir.

Soyut olarak zincir kuralını 1- cocycle olarak tanımlayabiliriz . Teğet demeti içsel bir şekilde tanımlamak için gereken tutarlılığı verir. Tensörlerin diğer vektör demetleri, tensör yapılarının fonksiyonel özelliklerinin zincir kuralının kendisine uygulanmasından kaynaklanan karşılaştırılabilir ortak çevrimlere sahiptir ; bu yüzden onlar da içsel (okunur, 'doğal') kavramlardır.

Genellikle tensörlere 'klasik' yaklaşım olarak konuşulan şey, bunu geriye doğru okumaya çalışır - ve bu nedenle, gerçekten temelden ziyade buluşsal, post hoc bir yaklaşımdır. Tensörleri bir koordinat değişikliği altında nasıl dönüştürdüklerine göre tanımlamada örtük olan, ortak döngünün ifade ettiği kendi kendine tutarlılık türüdür. Tensör yoğunluklarının inşası, döngü düzeyinde bir 'bükülme'dir. Geometriciler , tensör büyüklüklerinin geometrik doğası hakkında hiçbir şüphe duymadılar ; bu tür bir soy argümanı soyut olarak tüm teoriyi haklı çıkarır.

genellemeler

Tensör yoğunlukları

Tensör alanı kavramı, farklı şekilde dönüşen nesneler göz önüne alınarak genelleştirilebilir. Koordinat dönüşümleri altında sıradan tensör alanı olarak dönüşümü, aynı zamanda belirleyicisi ile çarpılır dışında olduğu bir amacı Jacobi için koordinat dönüşümü tersinin ağırlık , inci güç ağırlığı olan bir tensör yoğunluğu olarak adlandırılır w . Olarak değişmez, çoklu cebir dilinde bir tensör yoğunluklarının düşünebiliriz çoklu doğrusal harita bir kendi değerleri dikkate demet yoğunluğu (1-boyutlu) alanı gibi , n -biçimleri (burada n, alan boyutu olan) halinde, değerlerini sadece R ile almak yerine . Daha yüksek "ağırlıklar", o zaman aralıkta bu boşlukla ek tensör ürünleri almaya karşılık gelir.

Özel bir durum, skaler yoğunluklardır. Skaler 1-yoğunluklar özellikle önemlidir çünkü integrallerini bir manifold üzerinde tanımlamak mantıklıdır. Örneğin, genel görelilikteki Einstein-Hilbert eyleminde ortaya çıkarlar. Bir skaler 1-yoğunluğun en yaygın örneği, bir metrik tensör g varlığında determinantının koordinatlarda karekökü olan hacim öğesidir . Metrik tensör 2. dereceden bir kovaryant tensördür ve bu nedenle belirleyicisi koordinat geçişinin karesine göre ölçeklenir: ${\displaystyle {\sqrt {\det g}}}$

${\displaystyle \det(g')=\left(\det {\frac {\partial x}{\partial x'}}\sağ)^{2}\det(g),}$

bu, +2 ağırlığındaki bir skaler yoğunluk için dönüşüm yasasıdır.

Daha genel olarak, herhangi bir tensör yoğunluğu, uygun ağırlıkta bir skaler yoğunluğa sahip sıradan bir tensörün ürünüdür. Vektör demetleri dilinde , teğet demetin belirleyici demeti, diğer demetleri w kere 'bükmek' için kullanılabilen bir çizgi demetidir . Yerel olarak daha genel dönüşüm yasası bu tensörleri tanımak için gerçekten kullanılabilirken, ortaya çıkan küresel bir soru var, dönüşüm yasasında bir kişinin ya Jacobian determinantını ya da onun mutlak değerini yazabileceğini yansıtıyor. Yoğunluklar demetinin (pozitif) geçiş fonksiyonlarının integral olmayan güçleri anlamlıdır, böylece bir yoğunluğun ağırlığı bu anlamda tamsayı değerleriyle sınırlı değildir. Yönlendirilebilir manifoldlarda pozitif Jacobian determinantı ile koordinat değişikliklerini sınırlamak mümkündür , çünkü eksi işaretlerini ortadan kaldırmanın tutarlı bir global yolu vardır; ama aksi takdirde yoğunlukların çizgi demeti ve n- formlarının çizgi demeti farklıdır. İçsel anlam hakkında daha fazla bilgi için , bir manifold üzerindeki yoğunluğa bakın .

Ayrıca bakınız

• Jet paketi
• Ricci hesabı  – Tensör tabanlı hesaplamalar için tensör indeks gösterimi
• Spinor alanı

Notlar

Referanslar

• Frankel, T. (2012), The Geometry of Physics (3. baskı) , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-60260-1.
• Lambourne [Açık Üniversite], RJA (2010), Relativite, Gravitasyon ve Kozmoloji , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-13138-4.
• Lerner, RG ; Trigg, GL (1991), Fizik Ansiklopedisi (2. Baskı) , VHC Publishers.
• McConnell, AJ (1957), Tensör Analizi Uygulamaları , Dover Publications, ISBN 9780486145020.
• McMahon, D. (2006), Görelilik DeMystified , McGraw Hill (ABD), ISBN 0-07-145545-0.
• C. Misner, KS Thorne, JA Wheeler (1973), Yerçekimi , WH Freeman & Co, ISBN 0-7167-0344-0CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı ).
• Parker, CB (1994), McGraw Hill Fizik Ansiklopedisi (2. Baskı) , McGraw Hill, ISBN 0-07-051400-3.
• Schouten, Jan Arnoldus (1951), Fizikçiler için Tensör Analizi , Oxford University Press.
• Steenrod, Norman (5 Nisan 1999). Fiber Demetlerinin Topolojisi . Princeton Matematik Serisi. 14 . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN'si 978-0-691-00548-5. OCLC  40734875 .