Diferansiyel hesap - Differential calculus

Siyahla çizilmiş bir fonksiyonun grafiği ve kırmızıyla çizilmiş bu fonksiyona teğet bir çizgi. Teğet doğrunun eğimi, fonksiyonun işaretli noktadaki türevine eşittir.

Gelen matematik , diferansiyel hesap bir alt alan bir hesap çalışmaları oranları hangi miktarlarda değiştirmek. Kalkülüsün iki geleneksel bölümünden biridir, diğeri integral hesabıdır - bir eğrinin altındaki alanın incelenmesi.

Diferansiyel hesabın birincil amacı , bir fonksiyonun türevi , diferansiyel gibi ilgili kavramlar ve bunların uygulamalarıdır. Bir fonksiyonun seçilen bir girdi değerindeki türevi, o girdi değerine yakın fonksiyonun değişim oranını tanımlar. Türev bulma işlemine farklılaşma denir . Geometrik olarak, bir noktada türev olan eğimli bir teğet çizgisi için fonksiyon grafiği türevi var ve bu noktada tanımlandığı koşuluyla, bu noktada. Bir için gerçek değerli fonksiyonu bir reel değişkenin, bir noktasında bir fonksiyonun türevi, genel olarak en iyi tespit doğrusal yaklaşıma bu noktada işlevine.

Diferansiyel hesap ve integral hesap, farklılaşmanın entegrasyonun tersi olduğunu belirten temel kalkülüs teoremi ile bağlantılıdır .

Farklılaştırmanın neredeyse tüm nicel disiplinlerde uygulamaları vardır. Olarak fizik , türev yer değiştirme süresi ile ilgili olarak bir hareket parçası ait hız gövdesinin ve zamana olan ile ilgili olarak hızın türevi hızlanma . Bir cismin momentumunun zamana göre türevi, cisme uygulanan kuvvete eşittir; Ünlü bu türev ifadesi yol yeniden düzenleyerek F = m a ilişkili denklemi Newton'un hareket ikinci yasa . Reaksiyon oranı, a kimyasal reaksiyon bir türevidir. Gelen işlemler araştırma , türevler taşıma malzemeleri ve dizayn fabrikalarına en verimli şekilde belirler.

Türevler, bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu bulmak için sıklıkla kullanılır . Türevleri içeren denklemlere diferansiyel denklemler denir ve doğal fenomenleri tanımlamada temeldir . Türevler ve bunların genellemeleri, karmaşık analiz , fonksiyonel analiz , diferansiyel geometri , ölçü teorisi ve soyut cebir gibi matematiğin birçok alanında görülür .

Türev

Keyfi bir fonksiyonun grafiği . Turuncu çizgi 'ye teğettir , yani tam o noktada eğrinin eğimi ve düz çizgi aynıdır.
Türevlenebilir bir fonksiyonun farklı noktalarındaki türevi

noktasında türevi , teğetin eğimidir . Bunun için bir sezgi elde etmek için, önce formda yazılmış bir lineer denklemin eğimini bulmaya aşina olmak gerekir . Bir denklemin eğimi onun dikliğidir. Herhangi iki nokta toplama ve değişim bölerek bulunabilir değişiklikle , yani . Çünkü, grafiğinin eğimi aşağıdaki diyagramda gösterildiği gibi :

grafiği

Kısaca, genellikle 'değişim' anlamına gelen Yunanca Delta harfiyle birlikte yazılır . Doğrusal bir denklemin eğimi sabittir, yani diklik her yerde aynıdır. Bununla birlikte, örneğin birçok grafik, dikliklerine göre değişir. Bu, artık iki keyfi nokta seçemeyeceğiniz ve eğimi hesaplayamayacağınız anlamına gelir. Bunun yerine, grafiğin eğimi, belirli bir noktaya 'sadece dokunan' bir çizgi olan teğet çizgi dikkate alınarak hesaplanabilir. Bir eğrinin belirli bir noktadaki eğimi, o noktaya teğetin eğimine eşittir. Örneğin, bir eğime sahip en noktaya teğet çizgisinin eğimi eşit olduğu için :

'nin grafiğine teğet olan düz bir çizgi ile . Teğet doğrunun eğimi eşittir . (Grafik eksenlerinin 1:1 ölçek kullanmadığına dikkat edin.)

Bir fonksiyonun türevi basitçe bu teğet doğrunun eğimidir. Teğet doğru, teğet noktasında yalnızca tek bir noktaya dokunsa da, iki noktadan geçen bir doğru ile yaklaşık olarak alınabilir. Bu bir sekant çizgisi olarak bilinir . Kesen çizginin geçtiği iki nokta birbirine yakınsa, kesen çizgi teğet çizgiye çok benzer ve sonuç olarak eğimi de çok benzer:

Noktalı çizgi , her ikisi de eğri üzerinde bulunan ve noktalarından geçer . Bu iki nokta birbirine oldukça yakın olduğundan, noktalı çizgi ve teğet çizgi benzer bir eğime sahiptir. İki nokta birbirine yaklaştıkça, kesen çizgi tarafından üretilen hata yok denecek kadar küçük olur.

Kesen çizgi kullanmanın avantajı, eğiminin doğrudan hesaplanabilmesidir. Grafikteki iki noktayı ve nerede küçük bir sayı olduğunu düşünün . Daha önce olduğu gibi, bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi formülle hesaplanabilir . Bu verir

'ye yaklaştıkça , kesen doğrunun eğimi, teğet doğrunun eğimine daha da yaklaşır. Bu resmen olarak yazılmıştır

Yukarıdaki ifade, ' 0'a yaklaştıkça, kesen doğrunun eğimi belirli bir değere yaklaşır' anlamına gelir. Yaklaşılan değerin türevi ; bu şöyle yazılabilir . Eğer türev aynı zamanda şu şekilde yazılabilir ile, son derece küçük bir değişikliği temsil eder. Örneğin, x'deki sonsuz küçük bir değişikliği temsil eder. Özetle, eğer , türevi ise

böyle bir sınır varsa. Böylece bir fonksiyonun türevini doğru bir şekilde tanımlamayı başardık, yani 'teğet doğrunun eğimi' artık kesin bir matematiksel anlama sahiptir. Yukarıdaki tanımı kullanarak bir fonksiyonu ayırt etmek, ilk ilkelerden farklılaşma olarak bilinir. Burada ilk prensiplerden farklılaşmasını kullanarak bir kanıt, bu türevidir olduğu :

Gibi yaklaşımlar , yaklaşımlar . Bu nedenle, . Bu ispat, if ve are sabitlerini göstermek için genelleştirilebilir . Bu, güç kuralı olarak bilinir . Örneğin, . Bununla birlikte, diğer birçok fonksiyon polinom fonksiyonları kadar kolay türevlendirilemez , bu da bazen bir fonksiyonun türevini bulmak için daha ileri tekniklerin gerekli olduğu anlamına gelir. Bu teknikler zincir kuralı , çarpım kuralı ve bölüm kuralını içerir . Diğer fonksiyonlar kavramına yol açan, hiç ayırt edilemez Diferensiyellenebilirlik .

Bir fonksiyonun türeviyle yakından ilgili bir kavram, onun diferansiyelidir . Zaman X ve Y gerçek değişkenler, türev f de x grafiği teğet çizgisinin eğimidir f de x . f'nin kaynağı ve hedefi tek boyutlu olduğundan, f'nin türevi gerçek bir sayıdır. Eğer x ve y vektörleri, o zaman grafiği için en iyi lineer yaklaşım f bağlıdır f kerede birkaç yönde değişir. Tek bir yönde en iyi doğrusal yaklaşımın alınması , genellikle gösterilen kısmi bir türevi belirler. y/x. f'nin tüm yönlerde aynı anda doğrusallaştırılmasına toplam türev denir .

Farklılaşma tarihi

Teğet bir çizgi anlamında türev kavramı çok eski bir kavramdır ve Öklid (MÖ 300), Arşimet (MÖ 287–212) ve Pergalı Apollonius ( yak. 262– gibi) gibi Yunan geometricilerine aşinadır . 190). Arşimet ayrıca bölünemezleri de kullandı , ancak bunlar öncelikle türevler ve teğetlerden ziyade alanları ve hacimleri incelemek için kullanıldı (bkz . Mekanik Teoremler Yöntemi ).

Sonsuz küçüklerin değişim oranlarını incelemek için kullanımı , belki de MS 500 gibi erken bir tarihte, gökbilimci ve matematikçi Aryabhata'nın (476-550) Ay'ın yörüngesini incelemek için sonsuz küçükleri kullandığı Hint matematiğinde bulunabilir . Değişim oranlarını hesaplamak için sonsuz küçüklerin kullanımı, Bhāskara II ( 1114–1185 ) tarafından önemli ölçüde geliştirilmiştir ; gerçekten de, " Rolle teoremi " gibi, diferansiyel hesabın anahtar kavramlarının birçoğunun çalışmalarında bulunabileceği iddia edilmiştir .

İslam matematikçi , Sharaf al-Din el-Tusi onun içinde (1135-1213), Denklemler üzerinde Treatise , bazı kübik denklemleri için kurulmuş koşullar uygun kübik polinomların maximum bularak, çözüm olması. Örneğin, x = 2 a /3 olduğunda kübik ax 2x 3'ün maksimumunun meydana geldiğini kanıtladı ve bundan yola çıkarak, ax 2x 3 = c denkleminin c = 4 a 3 olduğunda tam olarak bir pozitif çözümü olduğu sonucuna vardı. / 27 , ve iki pozitif çözümler her 0 < c <4 , bir 3 /27 . Bilim tarihçisi Roshdi Rashed , et-Tūsī'nin bu sonucu elde etmek için kübik türevi kullanmış olması gerektiğini savundu. Rashed'in vardığı sonuca, fonksiyonun türevinin bilinmesini gerektirmeyen başka yöntemlerle sonuç elde edebileceğini iddia eden diğer bilim adamları tarafından itiraz edilmiştir.

Kalkülüsün modern gelişimi genellikle , farklılaşma ve türevlere bağımsız ve birleşik yaklaşımlar sağlayan Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz'e (1646-1716) atfedilir . Anahtar fikir, ancak, onlara bu krediyi kazandırdı oldu hesabı temel teoremi anlamlı zamanından beri uzatıldı olmasaydı alan ve hacim hesaplamak için bu hale eskimiş en Önceki yöntemler,: ilgili türev ve integral İbn Heysem ( Alhazen). Hem Newton hem de Leibniz, türevler hakkındaki fikirleri için Pierre de Fermat (1607-1665), Isaac Barrow (1630-1677), René Descartes (1596-1650), Christiaan Huygens (1629-1695 ) gibi matematikçilerin daha önceki önemli çalışmalarına dayandılar. ), Blaise Pascal (1623-1662) ve John Wallis (1616-1703). Fermat'ın etkisiyle ilgili olarak, Newton bir keresinde bir mektupta şöyle yazmıştı: " Fermat'ın teğetleri çizme biçiminden bu yöntemin [akışların] ipucunu aldım ve onu soyut denklemlere doğrudan ve ters olarak uygulayarak genel yaptım. " Isaac Barrow genellikle türevin erken gelişimi için kredi verilir. Bununla birlikte, Newton ve Leibniz, farklılaşma tarihinde kilit figürler olmaya devam ediyor, çünkü Newton, teorik fiziğe farklılaşmayı ilk uygulayan kişiydi , Leibniz ise bugün hala kullanılan gösterimin çoğunu sistematik olarak geliştirdi.

17. yüzyıldan beri birçok matematikçi farklılaşma teorisine katkıda bulunmuştur. 19. yüzyılda, matematik, Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866) ve Karl Weierstrass (1815-1897) gibi matematikçiler tarafından çok daha katı bir temele oturtuldu . Farklılaşmanın Öklid uzayına ve karmaşık düzleme genelleştirilmesi de bu dönemde olmuştur .

Türev uygulamaları

Optimizasyon

Eğer f a, türevlenebilir fonksiyonu üzerinde (ya da bir açık aralık ) ve x a, lokal maksimum veya yerel minimum bir f , daha sonra türev f de x , sıfırdır. Nokta f ( x ) = 0 olarak adlandırılır kritik noktaları ya da sabit noktaları (ve değerini f de x denen kritik değeri ). Eğer f yerde türevlenebilir olduğu varsayılır değil, o noktaları hangi o da kritik noktaları belirlenir türevlenebilir olması başarısız olur.

Eğer f , iki kez türevlenebilir sonra tersine, kritik nokta X ve f dikkate alınarak analiz edilebilir , ikinci türev arasında f de x  :

  • pozitifse, x yerel bir minimumdur;
  • negatifse, x yerel bir maksimumdur;
  • sıfır ise, x yerel minimum, yerel maksimum olabilir veya hiçbiri olabilir. (Örneğin, f ( x ) = x 3 , x = 0'da kritik bir noktaya sahiptir , ancak burada ne maksimum ne de minimum vardır, oysa f ( x ) = ± x 4 , x = 0'da kritik bir noktaya sahiptir ve a sırasıyla minimum ve maksimum.)

Buna ikinci türev testi denir . Birinci türev testi olarak adlandırılan alternatif bir yaklaşım, kritik noktanın her iki tarafındaki f' işaretinin dikkate alınmasını içerir .

Bu nedenle türevleri almak ve kritik noktaları çözmek, optimizasyonda faydalı olabilecek yerel minimum veya maksimumları bulmanın basit bir yoludur . Tarafından aşırı değer teoremi olup, bir sürekli fonksiyon kapalı aralık kez, en azından minimum ve maksimum değerleri elde gerekir. Fonksiyon türevlenebilir ise, minimum ve maksimum sadece kritik noktalarda veya uç noktalarda ortaya çıkabilir.

Bunun grafik çiziminde de uygulamaları vardır: türevlenebilir bir fonksiyonun yerel minimum ve maksimumları bir kez bulunduktan sonra, kritik noktalar arasında artacağı veya azalacağı gözleminden grafiğin kaba bir çizimi elde edilebilir.

Daha yüksek boyutlarda , skaler değerli bir fonksiyonun kritik noktası , gradyanın sıfır olduğu bir noktadır . İkinci türev testi hala dikkate kritik noktalarını analiz etmek için kullanılabilir öz arasında Hessian matrisinin kritik noktada fonksiyonunun ikinci kısmi türevlerinin. Tüm özdeğerler pozitifse, nokta yerel bir minimumdur; hepsi negatifse, bu bir yerel maksimumdur. Bazı pozitif ve bazı negatif özdeğerler varsa, kritik noktaya " semer noktası " denir ve bu durumlardan hiçbiri geçerli değilse (yani bazı özdeğerler sıfırsa) test sonuçsuz kabul edilir.

varyasyon hesabı

Optimizasyon problemine bir örnek: Eğrinin de yüzeyde olması gerektiğini varsayarak, bir yüzeydeki iki nokta arasındaki en kısa eğriyi bulun. Yüzey bir düzlem ise, en kısa eğri bir çizgidir. Ancak yüzey örneğin yumurta şeklindeyse, en kısa yol hemen net değildir. Bu yollara jeodezik denir ve varyasyon hesabındaki en temel problemlerden biri jeodezik bulmaktır. Başka bir örnek: Uzayda kapalı bir eğriyi dolduran en küçük alan yüzeyini bulun. Bu yüzeye minimal yüzey denir ve o da varyasyon hesabı kullanılarak bulunabilir.

Fizik

Matematik fizikte hayati öneme sahiptir: birçok fiziksel süreç, diferansiyel denklemler adı verilen türevleri içeren denklemlerle tanımlanır . Fizik, özellikle niceliklerin zaman içinde nasıl değiştiği ve geliştiği ile ilgilenir ve " zaman türevi " kavramı - zaman içindeki değişim oranı - birkaç önemli kavramın kesin tanımı için esastır. Özellikle, bir nesnenin konumunun zamana göre türevleri Newton fiziğinde önemlidir :

  • hız , bir nesnenin yer değiştirmesinin (zamana göre) türevidir (orijinal konumdan uzaklık)
  • ivme , bir nesnenin hızının (zamana göre) türevidir, yani bir nesnenin konumunun (zamana göre) ikinci türevidir.

Örneğin, bir nesnenin bir çizgi üzerindeki konumu

o zaman nesnenin hızı

ve nesnenin ivmesi

hangi sabit.

Diferansiyel denklemler

Bir diferansiyel denklem, bir fonksiyonlar topluluğu ile bunların türevleri arasındaki bir ilişkidir. Bir adi diferansiyel denklem bu değişkene göre bunların türevleri tek değişkenli fonksiyonları ile ilgilidir bir diferansiyel denklemler. Bir kısmi diferansiyel denklem kendi birden fazla değişkenli fonksiyonları ile ilgilidir diferansiyel denklem olan kısmi türev . Diferansiyel denklemler doğal olarak fizik bilimlerinde, matematiksel modellemede ve matematiğin kendisinde ortaya çıkar. Örneğin, Newton'un ivme ve kuvvet arasındaki ilişkiyi açıklayan ikinci yasası adi diferansiyel denklem olarak ifade edilebilir.

Isı denklemi bir çubuk aracılığıyla nasıl ısı difüze açıklayan bir uzay boyutlu, kısmi diferansiyel denklem olan

Burada u ( x , t ) çubuğun x konumunda ve t zamanındaki sıcaklığıdır ve α , ısının çubuktan ne kadar hızlı yayıldığına bağlı olan bir sabittir. (2-3¡)-(3+2)

Ortalama değer teoremi

Ortalama değer teoremi: Her türevlenebilir fonksiyon için olan bir orada ile .

Ortalama değer teoremi, türevin değerleri ile orijinal fonksiyonun değerleri arasında bir ilişki verir. Eğer f ( x ) , bir gerçek değerli bir fonksiyondur ve olduğu bir ve b olan sayılardır , bir < b , daha sonra ortalama değer teoremi bu hafif hipotez altında, iki nokta arasındaki eğim ( a , f ( a )) ve ( B , f ( b ) , a ve b arasındaki bir c noktasında f'ye teğet olan doğrunun eğimine eşittir . Diğer bir deyişle,

Pratikte, ortalama değer teoreminin yaptığı, bir fonksiyonu türevi cinsinden kontrol etmektir. Örneğin, f'nin her noktada sıfıra eşit türevi olduğunu varsayalım . Bu, teğet çizgisinin her noktada yatay olduğu anlamına gelir, bu nedenle fonksiyon da yatay olmalıdır. Ortalama değer teoremi bu doğru olması gerektiğini gösteriyor: grafik üzerinde herhangi iki nokta arasındaki eğim f teğet hattının birinin eğimi eşit olmalıdır f . Tüm bu eğimler sıfırdır, bu nedenle grafikteki bir noktadan başka bir noktaya giden herhangi bir doğrunun da eğimi sıfır olacaktır. Ancak bu, fonksiyonun yukarı veya aşağı hareket etmediğini, dolayısıyla yatay bir çizgi olması gerektiğini söylüyor. Türev üzerindeki daha karmaşık koşullar, orijinal fonksiyon hakkında daha az kesin ama yine de oldukça faydalı bilgilere yol açar.

Taylor polinomları ve Taylor serileri

Türev, belirli bir noktada bir fonksiyonun mümkün olan en iyi doğrusal yaklaşımını verir, ancak bu orijinal fonksiyondan çok farklı olabilir. Yaklaşımı iyileştirmenin bir yolu, ikinci dereceden bir yaklaşım almaktır. Yani, gerçek değerli bir f ( x ) fonksiyonunun x 0 noktasında doğrusallaştırılması doğrusal bir polinomdur a + b ( xx 0 ) ve ikinci dereceden bir denklemi ele alarak daha iyi bir yaklaşıklık elde etmek mümkün olabilir. polinom a + b ( x - x 0 ) + c ( x - x 0 ) 2 . Daha da iyisi bir kübik polinom a + b ( x - x 0 ) + c ( x - x 0 ) 2 + d ( x - x 0 ) 3 olabilir ve bu fikir keyfi olarak yüksek dereceli polinomlara genişletilebilir. Bu polinomların her biri için , yaklaşımı mümkün olduğu kadar iyi yapan a , b , c ve d katsayılarının olası en iyi seçimi olmalıdır .

In mahalle arasında x 0 için, bir mümkün olan en iyi seçenek daima edilir f ( x 0 ) , ve için b mümkün olan en iyi seçimdir her zaman 'f ( x 0 ) . İçin c , d ve daha yüksek dereceden katsayıları, bu katsayılar daha yüksek türevleri ile belirlenir f . c her zaman olmalıf'' ( x 0 )/2, ve d her zaman olmalıdırf''' ( x 0 )/3!. Bu katsayılar kullanılarak verir Taylor polinomu ait f . d dereceli Taylor polinomu, f'ye en iyi yaklaşan d dereceli polinomdur ve katsayıları yukarıdaki formüllerin genelleştirilmesiyle bulunabilir. Taylor teoremi , yaklaşımın ne kadar iyi olduğuna dair kesin bir sınır verir. Eğer f derece bir polinom az olduğu ya da eşit d , o derece Taylor polinom d eşittir f .

Taylor polinomlarının limiti, Taylor serisi adı verilen sonsuz bir seridir . Taylor serisi genellikle orijinal fonksiyona çok iyi bir yaklaşımdır. Taylor serilerine eşit olan fonksiyonlara analitik fonksiyonlar denir . Süreksizlikleri veya keskin köşeleri olan fonksiyonların analitik olması mümkün değildir; ayrıca analitik olmayan düzgün fonksiyonlar da vardır.

Örtük fonksiyon teoremi

Daireler gibi bazı doğal geometrik şekiller bir fonksiyonun grafiği olarak çizilemez . Örneğin, eğer f ( x , y ) = x 2 + y 2 - 1 , daha sonra çevre çiftleri kümesidir ( x , y ) bu şekilde f ( x , y ) = 0 . Bu kümeye f'nin sıfır kümesi denir ve bir paraboloid olan f'nin grafiği ile aynı değildir . Kapalı fonksiyon teoremi, f ( x , y ) = 0 gibi ilişkileri fonksiyonlara dönüştürür . Bu kavram, eğer f olduğunu sürekli türevlenebilir sonra etrafındaki en noktaları, sıfır kümesi f birbirine yapıştırılarak fonksiyonların grafikleri gibi görünüyor. Bunun doğru olmadığı noktalar, f'nin türevi üzerindeki bir koşul tarafından belirlenir . Örneğin daire, iki fonksiyonun grafiklerinden ± 1 - x 2 birbirine yapıştırılabilir . (-1, 0) ve (1, 0) hariç daire üzerindeki her noktanın bir komşuluğunda, bu iki fonksiyondan birinin daireye benzeyen bir grafiği vardır. (Bu iki fonksiyon da (-1, 0) ve (1, 0) ile buluşur , ancak bu, örtük fonksiyon teoremi tarafından garanti edilmez.)

Örtük fonksiyon teoremi, bir fonksiyonun birbirine yapıştırılmış ters çevrilebilir fonksiyonların grafiklerine benzediğini belirten ters fonksiyon teoremi ile yakından ilişkilidir .

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar