Kuantum işlemi - Quantum operation

Olarak kuantum mekaniği , bir kuantum işlemi (aynı zamanda kuantum dinamik harita veya kuantum işlemi ) kuantum mekanik sistem uğrayabildiği dönüşümlerin geniş bir sınıfını tarif etmek için kullanılan bir matematiksel olarak bir. Bu ilk olarak George Sudarshan tarafından bir yoğunluk matrisi için genel bir stokastik dönüşüm olarak tartışıldı . Kuantum işlem formalizmi, yalnızca yalıtılmış sistemlerin üniter zaman evrimini veya simetri dönüşümlerini değil, aynı zamanda bir çevre ile ölçüm ve geçici etkileşimlerin etkilerini de tanımlar. Kuantum hesaplama bağlamında , bir kuantum işlemine kuantum kanalı denir .

Bazı yazarların "kuantum işlemi" terimini , yoğunluk matrislerinin uzayı üzerindeki tamamen pozitif (CP) ve iz artmayan haritalara atıfta bulunmak için ve " kuantum kanalı " terimini bunların alt kümesine atıfta bulunmak için kullandıklarına dikkat edin. kesinlikle iz koruyucu.

Kuantum işlemleri, bir kuantum mekanik sistemin yoğunluk operatörü tanımına göre formüle edilir . Kesin olarak, bir kuantum işlemi, yoğunluk operatörleri kümesinden kendisine doğru doğrusal , tamamen pozitif bir haritadır. Kuantum bilgisi bağlamında, genellikle bir kuantum işleminin fiziksel olması gerektiği , yani herhangi bir durum için tatmin edici olması gerektiği şeklindeki ek kısıtlama uygulanır . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {E}}}$${\displaystyle 0\leq \operatöradı {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$${\görüntüleme stili \rho }$

Bazı kuantum süreçleri , kuantum işlem formalizmi içinde ele alınamaz; prensipte, bir kuantum sisteminin yoğunluk matrisi tamamen keyfi zaman evrimine uğrayabilir. Kuantum işlemleri , kuantum bilgilerine ek olarak ölçümler sırasında elde edilen klasik bilgileri de yakalayan kuantum enstrümanları tarafından genelleştirilir .

Arka plan

Schrödinger resmi doyurucu bir açıklama sağlar zaman evrim belirli varsayımlar altında bir kuantum mekanik sistem için devletin. Bu varsayımlar şunları içerir:

• Sistem göreceli değildir
• Sistem izole edilmiştir.

Zaman evrimi için Schrödinger resminin birkaç matematiksel olarak eşdeğer formülasyonu vardır. Böyle bir formülasyon, durumun zamandaki değişim oranını Schrödinger denklemi yoluyla ifade eder . Bu açıklama için daha uygun bir formülasyon aşağıdaki gibi ifade edilir:

Geçişi etkisi t , izole edilmiş bir sistem durumuna bağlı olarak zaman birimi S üniter operatör tarafından verilen u _t Hilbert alanı üzerine H ilişkili S .

Bu, sistem s zamanının bir anında v ∈ H'ye karşılık gelen bir durumdaysa , t zaman biriminden sonraki durumun U _t v olacağı anlamına gelir . Göreceli sistemler için evrensel bir zaman parametresi yoktur, ancak yine de belirli tersinir dönüşümlerin kuantum mekanik sistem üzerindeki etkisini formüle edebiliriz. Örneğin, farklı referans çerçevelerindeki gözlemcileri ilişkilendiren durum dönüşümleri, üniter dönüşümlerle verilir. Her durumda, bu durum dönüşümleri saf durumları saf durumlara taşır; bu, genellikle bu idealize edilmiş çerçevede, hiçbir uyumsuzluk olmadığı söylenerek formüle edilir .

Ölçüm yapılanlar gibi etkileşimli (veya açık) sistemler için durum tamamen farklıdır. İlk olarak, bu tür sistemlerin karşılaştığı durum değişiklikleri saf durumlarının setinde bir transformasyon ile özel olarak hesaba edilemez (olduğunu, norm 1 vektörlere bağlantılı olanlar H ). Böyle bir etkileşimden sonra, saf φ durumundaki bir sistem artık saf φ durumunda olmayabilir. Genel olarak, ilgili olasılıklar λ ₁ ,..., λ _k olan saf haller φ ₁ ,..., φ _k dizisinin istatistiksel bir karışımında olacaktır . Saf halden karışık bir duruma geçiş, uyumsuzluk olarak bilinir.

Etkileşen bir sistem durumunu ele almak için çok sayıda matematiksel formalizm oluşturulmuştur. Kuantum işlem formalizmi , Man-Duen Choi'nin daha önceki matematiksel çalışmalarına dayanan Karl Kraus'un çalışmasından 1983 civarında ortaya çıktı . Yoğunluk durumlarından yoğunluk durumlarına bir haritalama gibi ölçüm gibi işlemleri ifade etme avantajına sahiptir. Özellikle, kuantum işlemlerinin etkisi, yoğunluk durumları kümesi içinde kalır.

Tanım

Bir yoğunluk operatörünün , birim izli bir Hilbert uzayında negatif olmayan bir operatör olduğunu hatırlayın .

Matematiksel olarak, bir kuantum işlemi, Hilbert uzayları H ve G üzerindeki iz sınıfı operatörlerin uzayları arasında doğrusal bir haritadır Φ öyle ki:

• Eğer S yoğunluk operatörü, Tr (Φ (bir S )) ≤ 1.
• Φ tamamen pozitiftir , yani herhangi bir n doğal sayısı ve girişleri izleme sınıfı operatörler olan n boyutundaki herhangi bir kare matris için

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}}$

ve hangisi negatif değilse, o zaman

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})& \cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}}$

ayrıca negatif değildir. Diğer bir deyişle, Φ ise tamamen pozitif herkes için pozitif n , üzerinde kimlik haritayı gösterir C * cebiri ait matrisleri. ${\ Displaystyle \ Phi \ bazen I_{n}}$${\ Displaystyle I_{n}}$${\görüntüleme stili n\kez n}$

İlk koşula göre, kuantum işlemlerinin istatistiksel toplulukların normalleştirme özelliğini korumayabileceğini unutmayın. Olasılık terimleriyle, kuantum işlemleri Markovyen altı olabilir . Bir kuantum işleminin yoğunluk matrisleri kümesini koruması için, iz koruyucu olduğu ek varsayımına ihtiyacımız var.

Kuantum bilgisi bağlamında burada tanımlanan kuantum işlemleri yani izi artırmayan tamamen pozitif haritalara kuantum kanalları veya stokastik haritalar da denir . Buradaki formülasyon, kuantum durumları arasındaki kanallarla sınırlıdır; ancak, klasik durumları da içerecek şekilde genişletilebilir, bu nedenle kuantum ve klasik bilgilerin aynı anda ele alınmasına izin verir.

Kraus operatörleri

Kraus ' teoremi (ismini Karl Kraus ) karakterize tamamen pozitif haritalar , kuantum devletler arasında bu modeli kuantum işlemleri. Gayrı, böyle bir kuantum operasyonun eylemdir teoremi olmasını sağlar bir devlet üzerinde her zaman olduğu gibi yazılabilir operatörlerin bazı seti için, tatmin edici , 𝟙 kimlik operatörüdür. ${\görüntüleme stili\Phi }$${\görüntüleme stili \rho }$${\displaystyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$${\displaystyle \{B_{k}\}_{k}}$${\displaystyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}={\text{𝟙}}\!\!\!\!}$

Teoremin ifadesi

teorem . Let ve boyut Hilbert boşluklardan ve sırasıyla ve arasında bir kuantum işlemi olabilir ve . O zaman matrisler var${\görüntüleme stili {\matematiksel {H}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili\Phi }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {H}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}}$

haritalama için öyle ki, herhangi bir devlet için ,${\görüntüleme stili {\matematiksel {H}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {G}}}$${\görüntüleme stili \rho }$ Tersine, bu formun herhangi bir haritası , sağlanan bir kuantum işlemidir.${\görüntüleme stili\Phi }$ memnun.

Matrislere Kraus operatörleri denir . (Bazen bunlar , özellikle kuantum işleminin çevrenin gürültülü, hata üreten etkilerini temsil ettiği kuantum bilgi işleme bağlamında, gürültü operatörleri veya hata operatörleri olarak bilinirler .) Stinespring çarpanlara ayırma teoremi , yukarıdaki sonucu keyfi ayrılabilir Hilbert'e genişletir. boşluklar H ve G . Orada S , bir izleme sınıfı operatörü ve bir dizi sınırlı operatör ile değiştirilir. ${\displaystyle \{B_{i}\}}$${\displaystyle \{B_{i}\}}$

üniter eşdeğerlik

Kraus matrisleri, genel olarak kuantum işlemi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmez . Örneğin , Choi matrisinin farklı Cholesky çarpanlarına ayırmaları , farklı Kraus operatörleri kümeleri verebilir. Aşağıdaki teorem, aynı kuantum işlemini temsil eden tüm Kraus matris sistemlerinin üniter bir dönüşümle ilişkili olduğunu belirtir: ${\görüntüleme stili\Phi }$

teorem . Izin sonlu boyutlu Hilbert alanı üzerinde (ille iz koruyucu) kuantum operasyon H , iki temsil Kraus matrislerin dizileri ile ve . O zaman öyle bir üniter operatör matrisi var ki ${\görüntüleme stili\Phi }$${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle (u_{ij})_{ij}}$

${\displaystyle C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.}$

Sonsuz boyutlu durumda, bu, iki minimal Stinespring temsili arasındaki bir ilişkiye genellenir .

Her şey kuantum işlemleri, uygun bir bağlantıdan sonra üniter evrim tarafından uygulanabilir olduğunu Stinespring teoreminin bir sonucudur Ancilla orijinal sisteme.

Uyarılar

Bu sonuçlar , ize göre benzersiz bir Hermitian-pozitif yoğunluk operatörü ( Choi matrisi ) tarafından tamamen pozitif sonlu boyutlu bir haritayı karakterize eden tamamen pozitif haritalar üzerindeki Choi teoreminden de türetilebilir . Belirli bir kanalın tüm olası Kraus temsilleri arasında , Kraus operatörlerinin ortogonallik ilişkisi ile ayırt edilen kanonik bir form vardır . Bu tür kanonik ortogonal Kraus operatörleri seti, karşılık gelen Choi matrisinin köşegenleştirilmesi ve özvektörlerinin kare matrisler halinde yeniden şekillendirilmesiyle elde edilebilir. ${\displaystyle \operatöradı {Tr} A_{i}^{\hançer }A_{j}\sim \delta _{ij}}$

Ayrıca bir "Radon Nikodym türevi" gibi bir yoğunluk operatörü tanımlayan "tamamen olumlu haritaları için Belavkin en Radon Nikodym teoremi" olarak bilinen Choi teoreminin, bir sonsuz boyutlu cebirsel genelleme duyulmaktadır kuantum kanalı tamamen hakim göre pozitif harita (referans kanalı). Kuantum kanalları için göreceli aslına uygunlukları ve karşılıklı bilgileri tanımlamak için kullanılır.

dinamikler

Göreceli olmayan bir kuantum mekanik sistem için, zamandaki evrimi , Q'nun tek parametreli bir otomorfizm grubu {α _t } _t ile tanımlanır . Bu, üniter dönüşümlere daraltılabilir: belirli zayıf teknik koşullar altında ( kuantum mantığı ve Varadarajan referansı hakkındaki makaleye bakın ), altta yatan Hilbert uzayının üniter dönüşümlerinin güçlü bir sürekli tek parametreli grubu { U _t } _t vardır. elemanlar E ve Q formül I'e göre gelişmeye

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.}$

Sistem zaman evrimi ayrıca istatistiksel durum uzayının zaman evrimi olarak ikili olarak kabul edilebilir. İstatistiksel durum evrimi operatörleri {β bir ailesi tarafından verilen _T } _t şekildedir

${\displaystyle \operatöradı {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatöradı {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatöradı {Tr} (SU_{t} EU_{t}^{*})=\operatör adı {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).}$

Açıkça, her t değeri için , S → U * _t S U _t bir kuantum işlemidir. Ayrıca, bu işlem geri dönüşümlüdür .

Bu kolayca genelleştirilebilir: Eğer G bağlı olan Lie grubu simetri Q aynı zayıf süreklilik koşulları karşılayan, o zaman işlem bir eleman g arasında G yekpare bir operatör tarafından verilen U :

${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.\dört }$

Bu g → U _g eşlemesi , G'nin projektif bir temsili olarak bilinir . S → U * _g S U _g eşlemeleri , tersine çevrilebilir kuantum işlemleridir.

kuantum ölçümü

Kuantum işlemleri, kuantum ölçüm sürecini tanımlamak için kullanılabilir . Aşağıdaki sunum, ayrılabilir bir karmaşık Hilbert uzayı H üzerindeki kendinden birleşik projeksiyonlar açısından, yani bir PVM ( İzdüşüm değerli ölçüm ) cinsinden ölçümü açıklar . Genel durumda, POVM kavramları aracılığıyla ortogonal olmayan operatörler kullanılarak ölçümler yapılabilir . Ortogonal olmayan durum, kuantum aletinin genel verimliliğini artırabileceğinden ilginçtir .

ikili ölçümler

Kuantum sistemleri bir dizi evet-hayır sorusu uygulanarak ölçülebilir . Bu soru dizisinin kuantum mantığındaki orto-tümlemeli Q önermelerinden seçildiği anlaşılabilir . Kafes, ayrılabilir bir karmaşık Hilbert uzayı H üzerindeki kendine bitişik projeksiyonların uzayına eşdeğerdir .

E bazı özelliklerine sahip olup olmadığını belirlemek amacıyla bazı S durumundaki bir sistem düşünün ; burada E , kuantum evet-hayır sorularının kafesinin bir öğesidir . Bu bağlamda ölçüm, devletin özelliği karşılayıp karşılamadığını belirlemek için sistemi bir prosedüre tabi tutmak anlamına gelir. Bu tartışmada sistem durumuna yapılan referans, istatistiksel bir sistemler topluluğu göz önüne alınarak operasyonel bir anlam verilebilir . Her ölçüm belirli bir 0 veya 1 değeri verir; ayrıca ölçüm sürecinin topluluğa uygulanması, istatistiksel durumda öngörülebilir bir değişiklikle sonuçlanır. İstatistiksel durumun bu dönüşümü kuantum işlemi ile verilir.

${\displaystyle S\mapsto ESE+(IE)S(IE).}$

Burada E bir izdüşüm operatörü olarak anlaşılabilir .

Genel dava

Genel durumda, ikiden fazla değer alan gözlenebilirler üzerinde ölçümler yapılır.

Gözlenebilir bir A saf nokta spektrumuna sahip olduğunda , özvektörlerin ortonormal temeli cinsinden yazılabilir . Yani, A spektral bir ayrışmaya sahiptir.

${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda\operatöradı {E} _{A}(\lambda )}$

burada E _bir (λ) ikili ortogonal ailesidir çıkıntılar , ilgili eigenspace üzerine her A ölçüm değeri X ile bağlantılı.

Gözlenebilir ölçümü A bir özdeğeri verir A . Bir ile tekrarlanan ölçümler, istatistiksel topluluğu S özdeğer spektrumu üzerindeki dağılım olasılığı sistemlerinin sonuçları A . Bu ise kesikli olasılık dağılımı , tarafından verilmektedir

${\displaystyle \operatöradı {Pr} (\lambda )=\operatöradı {Tr} (S\operatöradı {E} _{A}(\lambda )).}$

İstatistiksel durum S'nin ölçümü harita tarafından verilir.

${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda }\operatöradı {E} _{A}(\lambda )S\operatöradı {E} _{A}(\lambda )\ .}$

Yani, ölçümden hemen sonra istatistiksel durum, gözlemlenebilirin olası λ değerleri ile ilişkili özuzaylar üzerinde klasik bir dağılımdır: S bir karma durumdur .

Tamamen pozitif olmayan haritalar

Shaji ve Sudarshan , Physics Letters A makalesinde, yakından incelendiğinde, açık kuantum evriminin iyi bir temsili için tam pozitifliğin bir gereklilik olmadığını savundular. Hesaplamaları, gözlemlenen sistem ve çevre arasındaki bazı sabit başlangıç ​​korelasyonlarıyla başlandığında, sistemin kendisiyle sınırlı haritanın mutlaka pozitif bile olmadığını göstermektedir. Ancak, yalnızca ilk korelasyonların biçimi hakkındaki varsayımı karşılamayan durumlar için olumlu değildir. Böylece, kuantum evrimini tam olarak anlamak için, tamamen pozitif olmayan haritaların da dikkate alınması gerektiğini gösteriyorlar.

Ayrıca bakınız

• Kuantum dinamik yarı grup
• süper operatör

Referanslar

• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2010). Kuantum Hesaplama ve Kuantum Bilgisi (10. baskı). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN'si 9781107002173. OCLC  665137861 .
• Choi, Man-Duen (1975). "Karmaşık matrisler üzerinde tamamen pozitif lineer haritalar" . Lineer Cebir ve Uygulamaları . Elsevier BV. 10 (3): 285–290. doi : 10.1016/0024-3795(75)90075-0 . ISSN  0024-3795 .
• Sudarshan, EKG; Mathews, PM; Rau, Jayaseetha (1961-02-01). "Kuantum-Mekanik Sistemlerin Stokastik Dinamiği". Fiziksel İnceleme . Amerikan Fizik Derneği (APS). 121 (3): 920-924. Bibcode : 1961PhRv..121..920S . doi : 10.1103/physrev.121.920 . ISSN  0031-899X .
• Belavkin, Başkan Yardımcısı; Staszewski, P. (1986). "Tamamen pozitif haritalar için bir Radon-Nikodym teoremi". Matematiksel Fizik Üzerine Raporlar . Elsevier BV. 24 (1): 49–55. Bibcode : 1986RpMP...24...49B . doi : 10.1016/0034-4877(86)90039-x . ISSN  0034-4877 .
• K. Kraus, Durumlar, Etkiler ve İşlemler: Kuantum Teorisinin Temel Kavramları , Springer Verlag 1983
• WF Stinespring, C* -cebirlerinde Pozitif Fonksiyonlar , Proceedings of the American Mathematical Society, 211-216, 1955
• V. Varadarajan, The Geometry of Quantum Mechanics cilt 1 ve 2, Springer-Verlag 1985