Poly-Bernoulli numarası - Poly-Bernoulli number

Gelen matematik , poli-Bernoulli sayıları olarak gösterilmektedir, yanı M. Kaneko tarafından tanımlanan ${\ Displaystyle B_{n}^{(k)}}$

${\displaystyle {Li_{k}(1-e^{-x}) \over 1-e^{-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}^{( k)}{x^{n} \n üzerinde!}}$

nerede Li olduğu polylogarithm . Bunlar olağan Bernoulli sayılarıdır . ${\ Displaystyle B_{n}^{(1)}}$

Ayrıca Poly-Bernoulli sayılarının a,b,c parametreleri ile genelleştirilmesi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

${\displaystyle {Li_{k}(1-(ab)^{-x}) \over b^{x}-a^{-x}}c^{xt}=\sum _{n=0}^ {\infty}B_{n}^{(k)}(t;a,b,c){x^{n} \üzerinde n!}}$

nerede Li olduğu polylogarithm .

Kaneko ayrıca iki kombinatoryal formül verdi:

${\displaystyle B_{n}^{(-k)}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m+n}m!S(n,m)(m+1) ^{k},}$

${\displaystyle B_{n}^{(-k)}=\sum _{j=0}^{\min(n,k)}(j!)^{2}S(n+1,j+1 )S(k+1,j+1),}$

burada bir boyut kümesini boş olmayan alt kümelere bölme yollarının sayısı (ikinci türün Stirling sayısı ). ${\görüntüleme stili S(n,k)}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili k}$

Bir kombinatoryal yorumlanması negatif indeksi poli-Bernoulli sayıları kümesini numaralandırmak olmasıdır ile (0,1) -matrisleri bunların satır ve sütun toplamları gelen benzersiz reconstructible. Aynı zamanda, bir tahtadaki eğimli bir kale tarafından yapılan açık turların sayısıdır ( tanım için bkz. A329718 ). ${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili k}$ ${\displaystyle \underbrace {1\cdots 1} _{n}\underbrace {0\cdots 0} _{k}}$

Poly-Bernoulli sayısı aşağıdaki asimptotiği karşılar: ${\ Displaystyle B_{k}^{(-k)}}$

${\displaystyle B_{k}^{(-k)}\sim (k!)^{2}{\sqrt {\frac {1}{k\pi (1-\log 2)}}}\left( {\frac {1}{\log 2}}\sağ)^{2k+1},\quad {\text{as }}k\rightarrow \infty .}$

Pozitif bir tamsayı n ve bir asal sayı p için , poli-Bernoulli sayıları şunları sağlar:

${\displaystyle B_{n}^{(-p)}\eşdeğer 2^{n}{\pmod {p}},}$

Fermat'ın küçük teoreminin bir analogu olarak görülebilir . Ayrıca, denklem

${\displaystyle B_{x}^{(-n)}+B_{y}^{(-n)}=B_{z}^{(-n)}}$

x , y , z , n > 2 tam sayıları için çözümü yoktur ; Fermat'ın Son Teoreminin bir analogu . Ayrıca, Poly-Euler sayıları olarak bilinen Poly-Bernoulli sayılarının (Bernoulli sayıları ve Euler sayıları gibi) bir analogu vardır .

Ayrıca bakınız

• Bernoulli sayıları
• Stirling sayıları
• Gregory katsayıları
• Bernoulli polinomları
• İkinci tür Bernoulli polinomları
• Stirling polinomları

Referanslar

• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999a), "Çoklu zeta değerleri, poli-Bernoulli sayıları ve ilgili zeta fonksiyonları" , Nagoya Mathematical Journal , 153 : 189–209, MR  1684557.
• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999b), "Poli-Bernoulli sayıları hakkında", Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 48 (2): 159–167, MR  1713681
• Brewbaker, Çad (2008), "Poli-Bernoulli sayıları ve iki Fermat analogunun bir kombinatoryal yorumu" , Integers , 8 : A02, 9, MR  2373086.
• Hamahat, Y.; Masubuchi, H. (2007), "Özel multi-poly-Bernoulli sayıları", Journal of Integer Sequences , 10 (4), Article 07.4.1, MR  2304359.
• Kaneko, Masanobu (1997), "Poli-Bernoulli sayıları" , Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux , 9 (1) : 221–228 , doi : 10.5802/jtnb.197 , MR  1469669.