Bernoulli numarası - Bernoulli number
n | kesir | ondalık |
---|---|---|
0 | 1 | +1.000000000 |
1 | ± 1/2 | ±0.500000000 |
2 | 1/6 | +0.166666666 |
3 | 0 | +0.000000000 |
4 | -1/30 | −0.033333333 |
5 | 0 | +0.000000000 |
6 | 1/42 | +0.023809523 |
7 | 0 | +0.000000000 |
8 | -1/30 | −0.033333333 |
9 | 0 | +0.000000000 |
10 | 5/66 | +0.075757575 |
11 | 0 | +0.000000000 |
12 | -691/2730 | -0.253113553 |
13 | 0 | +0.000000000 |
14 | 7/6 | +1.166666666 |
15 | 0 | +0.000000000 |
16 | -3617/510 | -7.092156862 |
17 | 0 | +0.000000000 |
18 | 43867/798 | +54.97117794 |
19 | 0 | +0.000000000 |
20 | -174611/330 | -529.1242424 |
Gelen matematik , Bernoulli sayıları B , n , bir olan sekans arasında rasyonel sayı sık meydana sayı teorisi . Bernoulli sayıları görünür (ve tanımlanabilir) Taylor serisi açılımlarını teğet ve hiperbolik tanjant fonksiyonlar, Faulhaber formül toplamı m ilk inci güçler , n de, pozitif tamsayılar Euler-Maclaurın formül ve Riemann zeta fonksiyonunun belirli değerleri için ifadelerde .
İlk 20 Bernoulli sayısının değerleri yandaki tabloda verilmiştir. Literatürde burada ve ile gösterilen iki uzlaşım kullanılır ; sadece n = 1 için farklılık gösterirler , nerede ve . Her bir tek için n > 1 , B , n = 0 . Her çift için n > 0 , B , n , negatif ise olup , n , aksi 4 ve pozitif bölünebilen. Bernoulli sayıları, ve ile birlikte Bernoulli polinomlarının özel değerleridir .
Bernoulli sayıları yaklaşık olarak aynı zamanlarda İsviçreli matematikçi Jacob Bernoulli tarafından keşfedildi ve onlardan sonra isimlendirildiler ve bağımsız olarak Japon matematikçi Seki Takakazu tarafından keşfedildi . Seki'nin keşfi ölümünden sonra 1712'de Katsuyō Sanpō adlı eserinde yayınlandı ; Bernoulli, ayrıca ölümünden sonra, onun içinde Ars Conjectandi 1713 arasında Ada Lovelace 'ın notu G üzerinde Analitik Engine 1842 arasında bir anlatır algoritma Bernoulli sayılar için Babbage'den ler makinesine'. Sonuç olarak, Bernoulli sayıları, yayınlanan ilk karmaşık bilgisayar programının konusu olma özelliğini taşıyor .
gösterim
Bu makalede kullanılan üst simge ± , Bernoulli sayıları için iki işaret kuralını ayırt eder. Yalnızca n = 1 terimi etkilenir:
-
B-
n ile B-
1 = -1/2 ( OEIS : A027641 / OEIS : A027642 ) tarafından öngörülen işareti kongre olduğunu NIST ve en modern ders kitaplarının. -
B+
nile B+
1 = +1/2 ( OEIS : A164555 / OEIS : A027642 ), bazen daha eski literatürde kullanılır.
Aşağıdaki formüllerde, ilişki ile bir işaret kuralından diğerine geçiş yapılabilir veya n = 2 veya daha büyük tamsayılar için bunu yok sayın.
Yana B n = 0 tüm tek için n > 1 ve birçok formüller yalnızca birkaç yazar "yazma, hatta endeksi Bernoulli sayıları içeren B n " yerine B 2 n . Bu makale bu gösterimi takip etmez.
Tarih
Erken tarih
Bernoulli sayılarının kökleri, antik çağlardan beri matematikçilerin ilgisini çeken tamsayı kuvvetlerinin toplamlarının hesaplanmasının erken tarihine dayanmaktadır.
Yöntem ilk toplamını hesaplamak için , n pozitif tam kareler ve birinci küp toplamı , n pozitif tam bilinmemektedir, ancak gerçek 'formül', bir deyişle, tamamen verilen tek açıklamaları vardır edildi. Antik çağın bu sorunu ele alan büyük matematikçileri arasında Pisagor (c. 572-497 BCE, Yunanistan), Arşimet (287-212 BCE, İtalya), Aryabhata (d. 476, Hindistan), Abu Bakr al-Karaji (d. 1019, İran) ve Ebu Ali el-Hasan ibn el-Hasan ibn el- Heytham (965-1039, Irak).
On altıncı yüzyılın sonlarında ve on yedinci yüzyılın başlarında matematikçiler önemli ilerleme kaydettiler. Batı'da İngiltere'den Thomas Harriot (1560-1621), Almanya'dan Johann Faulhaber (1580-1635), Pierre de Fermat (1601-1665) ve diğer Fransız matematikçi Blaise Pascal (1623-1662) önemli roller oynadılar.
Thomas Harriot, sembolik notasyon kullanarak güçlerin toplamları için formüller türeten ve yazan ilk kişi gibi görünüyor, ancak o bile yalnızca dördüncü güçlerin toplamına kadar hesapladı. Johann Faulhaber 1631 Academia Cebiri'nde 17. kuvvete kadar olan kuvvetler toplamları için kendisinden öncekilerin çok üstünde formüller vermiş, ancak genel bir formül vermemiştir.
1654'te Blaise Pascal, p = 0, 1, 2, ..., k için ilk n pozitif tamsayının p inci kuvvetlerinin toplamlarıyla ilgili Pascal'ın kimliğini kanıtladı .
İsviçreli matematikçi Jakob Bernoulli (1654-1705), tüm güç toplamları için tek tip bir formül sağlayan B 0 , B 1 , B 2 ,... sabitlerinden oluşan tek bir dizinin varlığını ilk fark eden kişiydi .
O desen üzerine vurduğunda Bernoulli deneyimli sevinç toplamı için onun formülü hızla ve kolayca katsayılarını hesaplamak için gerekli c herhangi bir pozitif tamsayı için güçler inci c yaptığı açıklama görülebilir. O yazdı:
- "Bu tablonun yardımıyla, ilk 1000 sayının onuncu kuvvetlerinin toplamının 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500 toplamını vereceğini bulmam çeyrek saatten az sürdü."
Bernoulli'nin sonucu ölümünden sonra 1713'te Ars Conjectandi'de yayınlandı. Seki Takakazu , Bernoulli sayılarını bağımsız olarak keşfetti ve sonucu bir yıl önce, yine ölümünden sonra 1712'de yayınlandı. Ancak Seki, yöntemini bir sabitler dizisine dayanan bir formül olarak sunmadı. .
Bernoulli'nin güçler toplamı formülü, bugüne kadarki en kullanışlı ve genelleştirilebilir formülasyondur. Bernoulli'nin formülündeki katsayılar, Abraham de Moivre'nin önerisini takiben şimdi Bernoulli sayıları olarak adlandırılıyor .
Bernoulli'nin formülüne bazen güçlerin toplamını hesaplamak için dikkate değer yollar bulan ancak Bernoulli'nin formülünü asla belirtmeyen Johann Faulhaber'den sonra Faulhaber'in formülü denir . Knuth'a göre Faulhaber'in formülünün kesin bir kanıtı ilk olarak 1834'te Carl Jacobi tarafından yayınlandı . Knuth'un Faulhaber'in formülüyle ilgili derinlemesine çalışması şu sonuca varıyor (LHS üzerindeki standart olmayan gösterim daha sonra açıklanmaktadır):
- "Faulhaber, Bernoulli sayılarını hiçbir zaman keşfetmedi; yani, tek bir B 0 , B 1 , B 2 , ...
- veya
- tüm güçler toplamı için. O, örneğin, o onun formülleri dönüştürülür sonra neredeyse yarısı katsayılarının sıfır olduğu ortaya çıktı gerçeğini hiç bahsetmedi Σ n m içinde polinom N içinde polinomları n ."
"Summae Potestatum"un Yeniden İnşası
Bernoulli sayıları OEIS : A164555 (n) / OEIS : A027642 (n) kitabında Jakob Bernoulli tarafından tanıtıldı Ars Conjectandi ana formül tekabül faks ikinci yarısında görülebilir 1713 sayfa 97'de ölümünden sonra yayınladı. Bernoulli tarafından A , B , C ve D olarak gösterilen sabit katsayılar , şu anda A = B 2 , B = B 4 , C = B 6 , D = B 8 olarak yaygın olan gösterimle eşleştirilir . Sentezleme c · c -1 · C -2 · c -3 araçları c (· c -1) · ( c -2) · ( c -3) - küçük noktalar sembolleri gruplama olarak kullanılır. Günümüz terminolojisini kullanarak bu ifadeler düşen faktöriyel güçlerdir c k . Faktöriyel gösterim k ! 1 × 2 × ... × k için bir kısayol olarak 100 yıl sonrasına kadar tanıtılmamıştı. Sol taraftaki integral sembolü, 1675'te "summa" (toplam) için uzun bir S harfi olarak kullanan Gottfried Wilhelm Leibniz'e kadar uzanır . Sol taraftaki n harfi bir toplama indeksi değildir, ancak 1, 2, ..., n olarak anlaşılması gereken toplama aralığının üst sınırını verir . Her şeyi pozitif c için bir araya getirirsek , bugün bir matematikçi Bernoulli'nin formülünü şu şekilde yazabilir:
Bu formül, B 1 = ayarını önerir.1/2sadece çift indeksleri 2, 4, 6... kullanan sözde 'arkaik' numaralandırmadan modern forma geçerken (bir sonraki paragrafta farklı konvansiyonlar hakkında daha fazla bilgi). Bu bağlamda, en dikkat çekici bir gerçektir düşen faktöriyel c k -1 sahip için k = 0 değeri1/c +1. Böylece Bernoulli'nin formülü yazılabilir.
Eğer B 1 = 1/2 , değer recapturing Bernoulli bu pozisyonda katsayısı verdi.
İlk yarıdaki formül , son terimde bir hata içeriyor; yerine olmalıdır .
Tanımlar
Son 300 yılda Bernoulli sayılarının birçok karakterizasyonu bulundu ve her biri bu sayıları tanıtmak için kullanılabilir. Burada en faydalı olanlardan sadece üç tanesinden bahsedilmiştir:
- özyinelemeli denklem,
- açık formül,
- üreten bir fonksiyon.
Üç yaklaşımın denkliğinin kanıtı için .
özyinelemeli tanım
Bernoulli sayıları toplam formüllerine uyar
nerede ve δ Kronecker deltasını gösterir . Çözmek özyinelemeli formülleri verir
açık tanım
1893'te Louis Saalschütz , Bernoulli sayıları için toplam 38 açık formül listeledi ve genellikle eski literatürde bazı referanslar verdi. Onlardan biri:
oluşturma işlevi
Üstel üreten fonksiyonlar ,
ikame nerede .
(Sıradan) üreten fonksiyon
Bir olan asimptotik seri . ψ 1 trigamma fonksiyonunu içerir .
Bernoulli sayıları ve Riemann zeta fonksiyonu
Bernoulli sayıları Riemann zeta fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir :
-
B+
n= - nζ - (1 n ) için , n ≥ 1 .
Burada zeta fonksiyonunun argümanı 0 veya negatiftir.
Zeta fonksiyonel denklemi ve gama yansıma formülü ile aşağıdaki bağıntı elde edilebilir:
- için n ≥ 1 .
Şimdi zeta fonksiyonunun argümanı pozitiftir.
Daha sonra ζ → 1 ( n → ∞ ) ve Stirling'in formülünden şu sonucu çıkar:
- için n → ∞ .
Bernoulli sayılarının verimli hesaplanması
Bazı uygulamalarda, B 0'dan B p − 3 modulo p'ye kadar olan Bernoulli sayılarını hesaplayabilmek faydalıdır , burada p bir asaldır; olmadığını test etmek için, örneğin Vandiver en varsayım için de geçerlidir p , hatta sadece belirlemek için p bir olduğunu düzensiz asal . En azından (sabit bir çoklu), çünkü yukarıda özyinelemeli formüller kullanılarak, böyle bir hesaplama yapmak mümkün değildir s 2 aritmetik işlemler gerekli olacaktır. Neyse ki, sadece O ( p (log p ) 2 ) işlemlerini gerektiren daha hızlı yöntemler geliştirilmiştir (bkz. büyük O notasyonu ).
David Harvey'in hesaplanmasıyla Bernoulli numaraları hesaplanması için bir algoritma tarif B n modülo p birçok küçük asal için p , ve daha sonra yeniden B n ile Çin kalan teoremi . Harvey , bu algoritmanın asimptotik zaman karmaşıklığının O ( n 2 log( n ) 2 + ε ) olduğunu yazıyor ve bu uygulamanın diğer yöntemlere dayalı uygulamalardan önemli ölçüde daha hızlı olduğunu iddia ediyor . Bu uygulamanın kullanılması Harvey bilgisayarlı B n için n = 10 8 . Harvey'in uygulaması, sürüm 3.1'den beri SageMath'e dahil edilmiştir . Bunun öncesinde, Bernd Kellner bilgisayarlı B n tam hassasiyet için n = 10 6 Aralık 2002 ve için Oleksandr Pavlyk içinde n = 10 7 ile Mathematica Nisan 2008'de.
Bilgisayar Yıl n Rakamlar* J. Bernoulli ~1689 10 1 L. Euler 1748 30 8 JC Adams 1878 62 36 DE Knuth, TJ Buckholtz 1967 1 672 3 330 G. Ücret, S. Plouffe 1996 10 000 27 677 G. Ücret, S. Plouffe 1996 100 000 376 755 M.Ö. Kellner 2002 1 000 000 4 767 529 O. Pavlik 2008 10 000 000 57 675 260 D.Harvey 2008 100 000 000 676 752 569
- * Rakamlar zaman 10 üs olarak anlaşılmalıdır B n normalize gerçek bir sayı olarak yazılır bilimsel gösterim .
Bernoulli sayılarının uygulamaları
asimptotik analiz
Bernoulli sayılarının matematikteki en önemli uygulaması muhtemelen Euler-Maclaurin formülündeki kullanımlarıdır . f'nin yeterince sıklıkla türevlenebilir bir fonksiyon olduğunu varsayarsak , Euler-Maclaurin formülü şu şekilde yazılabilir:
Bu formülasyon, B kuralını varsayar.-
1 = -1/2. B kuralının kullanılması+
1 = +1/2 formül olur
Burada (yani is just'in sıfırıncı mertebeden türevi ). Dahası, let anlamında olabildikleri bir antitürevi ait . Tarafından hesabın temel teoremi ,
Böylece son formül, Euler-Maclaurin formülünün aşağıdaki kısa ve öz biçimine daha da basitleştirilebilir.
Bu form örneğin zeta fonksiyonunun önemli Euler-Maclaurin açılımı için kaynaktır.
Burada s k artan faktöriyel gücü ifade etmektedir .
Bernoulli sayıları, diğer asimptotik açılımlarda da sıklıkla kullanılır . Aşağıdaki örnek, digamma fonksiyonunun ψ klasik Poincaré tipi asimptotik açılımıdır .
güçlerin toplamı
Bernoulli sayıları belirgin özelliği kapalı form toplamının ifadesi m birinci yetkileri inci n pozitif tamsayılar. İçin m , n, ≥ 0 tanımlar
Bu ifade, her zaman olduğu gibi tekrar yazılabilir polinom içinde n derecesi m + 1 . Katsayıları bu polinomların tarafından Bernoulli sayıları ile ilgili Bernoulli formülü :
nerede (m +
1k) binom katsayısınıbelirtir.
Örneğin, alma m 1 olmak verir üçgen numaraları 0, 1, 3, 6, ... OEIS : A000217 .
Alarak m 2 olduğu verir kare piramit sayılar 0, 1, 5, 14, ... OEIS : A000330 .
Bazı yazarlar Bernoulli sayıları için alternatif kuralı kullanır ve Bernoulli'nin formülünü şu şekilde belirtir:
Bernoulli'nin formülüne bazen güçler toplamını hesaplamak için olağanüstü yollar bulan Johann Faulhaber'den sonra Faulhaber'in formülü de denir .
Faulhaber'in formülü V. Guo ve J. Zeng tarafından bir q -analog'a genelleştirildi .
Taylor serisi
Bernoulli sayıları , birçok trigonometrik fonksiyonun ve hiperbolik fonksiyonun Taylor serisi açılımında görünür .
Laurent serisi
Bernoulli sayıları aşağıdaki Laurent serilerinde görünür :
topolojide kullanım
Kervaire-Milnor formül ait Diffeomorfizm sınıflarının siklik grubun sipariş için egzotik (4 n - 1) -spheres bağlanan , paralel manifoldlar Bernoulli numaraları içermektedir. ES n , n ≥ 2 için bu tür egzotik kürelerin sayısı olsun , o zaman
Hirzebruch imza teoremi için L genus a düz yönlendirilmiş kapalı manifold arasında bir boyuta 4 N Bernoulli numaralarını içerir.
Kombinatoryal sayılarla bağlantılar
Bernoulli sayısının çeşitli kombinatoryal sayılarla bağlantısı, klasik sonlu farklar teorisine ve temel bir kombinatoryal ilkenin bir örneği olarak Bernoulli sayılarının kombinatoryal yorumuna, dahil etme-dışlama ilkesine dayanır .
Worpitzky sayılarıyla bağlantı
Devam edilecek tanım 1883'te Julius Worpitzky tarafından geliştirildi. Temel aritmetiğin yanı sıra sadece faktöriyel fonksiyon n ! ve güç fonksiyonu k m kullanılır. İşaretsiz Worpitzky sayıları şu şekilde tanımlanır:
İkinci tür Stirling sayılarıyla da ifade edilebilirler.
Bir Bernoulli sayısı daha sonra harmonik dizi 1 ile ağırlıklandırılmış Worpitzky sayılarının dahil etme-hariç tutma toplamı olarak tanıtılır , 1/2, 1/3, ...
- B 0 = 1
- B 1 = 1 -1/2
- B 2 = 1 -3/2 + 2/3
- B 3 = 1 -7/2 + 12/3 - 6/4
- B 4 = 1 -15/2 + 50/3 - 60/4 + 24/5
- B 5 = 1 -31/2 + 180/3 - 390/4 + 360/5 - 120/6
- B 6 = 1 -63/2 + 602/3 - 2100/4 + 3360/5 - 2520/6 + 720/7
Bu temsilde B vardır+
1 = +1/2.
s n , n ≥ 0 dizisini göz önünde bulundurun . Worpitzky en sayılar itibaren OEIS : A028246 , OEIS : A163626 uygulanan s 0 , s 0 , s 1 , s 0 , s 1 , s 2 , s 0 , s 1 , s 2 , s 3 , ... Akiyama ile aynıdır – s n'ye uygulanan Tanigawa dönüşümü (bkz . Birinci türden Stirling sayılarıyla bağlantı ). Bu tablo aracılığıyla görülebilir:
Worpitzky'nin temsilinin ve Akiyama-Tanigawa dönüşümünün kimliği1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 -1 0 2 -2 0 0 3 -3 0 0 0 4 -4 1 -3 2 0 4 -10 6 0 0 9 -21 12 1 -7 12 -6 0 8 -38 54 -24 1 -15 50 -60 24
İlk satır s 0 , s 1 , s 2 , s 3 , s 4'ü temsil eder .
Bu nedenle ikinci bir kısmi Euler sayıları için OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ):
- E 0 = 1
- E 1 = 1 -1/2
- E 2 = 1 -3/2 + 2/4
- E 3 = 1 -7/2 + 12/4 - 6/8
- E 4 = 1 -15/2 + 50/4 - 60/8 + 24/16
- D 5 = 1 -31/2 + 180/4 - 390/8 + 360/16 - 120/32
- E 6 = 1 -63/2 + 602/4 - 2100/8 + 3360/16 - 2520/32 + 720/64
Bernoulli sayılarını Worpitzky sayılarıyla temsil eden ikinci bir formül n ≥ 1 içindir.
İkinci Bernoulli sayılarının basitleştirilmiş ikinci Worpitzky temsili:
OEIS : A164555 ( n + 1 ) / OEIS : A027642 ( n + 1 ) =n + 1/2 n + 2 − 2X OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 )
ikinci Bernoulli sayılarını ikinci kesirli Euler sayılarına bağlayan. Başlangıç:
- 1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, ... = (1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1/21, ...) × (1, 1/2, 0, -1/4, 0, 1/2, ...)
İlk parantez numerators şunlardır OEIS : A111701 (bkz birinci türden numaralar Stirling ile bağlantı ).
İkinci türden Stirling sayılarıyla bağlantı
S ( k , m ) ikinci türden Stirling sayılarını ifade ediyorsa , o zaman şunlardan biri vardır:
burada j m düşen faktöriyeli gösterir .
Bir tanımlarsa Bernoulli polinomları B k ( j ) olarak:
burada k = 0, 1, 2,... için B k , Bernoulli sayılarıdır.
Ardından, binom katsayısının aşağıdaki özelliğinden sonra :
birinde var,
Bir de Bernoulli polinomları için aşağıdakilere sahiptir,
Katsayısı j içinde (j
m + 1) olduğu(−1) m/m + 1.
Bernoulli polinomlarının iki ifadesinde j'nin katsayısını karşılaştırarak , biri:
(sonuç olarak B 1 = +1/2) Bernoulli sayıları için açık bir formüldür ve Von-Staudt Clausen teoremini kanıtlamak için kullanılabilir .
Birinci türden Stirling sayılarıyla bağlantı
Birinci türden işaretsiz Stirling sayılarıyla ilgili iki ana formül [n
m] Bernoulli sayılarına ( B 1 = + ile)1/2) NS
ve bu toplamın tersine çevrilmesi ( n ≥ 0 , m ≥ 0 için )
Burada A n , m sayıları, ilk birkaçı aşağıdaki tabloda gösterilen rasyonel Akiyama–Tanigawa sayılarıdır.
Akiyama-Tanigawa numarası mn0 1 2 3 4 0 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1 1/2 1/3 1/4 1/5 ... 2 1/6 1/6 3/20 ... ... 3 0 1/30 ... ... ... 4 -1/30 ... ... ... ...
Akiyama-Tanigawa sayıları, Bernoulli sayılarını yinelemeli olarak hesaplamak için kullanılabilen basit bir yineleme ilişkisini sağlar. Bu, yukarıdaki 'algoritmik açıklama' bölümünde gösterilen algoritmaya götürür. Bkz OEIS : A051714 / OEIS : A051715 .
Bir autosequence imza sekansına eşit dönüşümü binom bunun tersi olan bir dizidir. Ana diyagonal sıfır = ise OEIS : A000004 , autosequence birinci türden olduğunu. Örnek: OEIS : A000045 , Fibonacci sayıları. Ana köşegen 2 ile çarpılan birinci üst köşegen ise, ikinci türdendir. Örnek: OEIS : A164555 / OEIS : A027642 , ikinci Bernoulli sayıları (bkz OEIS : A190339 ). Akiyama-Tanigawa uygulanan dönüşüm 2 - n = 1 / OEIS : A000079 için kablolar OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A06519 ( n + 1). Buradan:
İkinci Euler sayıları için Akiyama-Tanigawa dönüşümü mn0 1 2 3 4 0 1 1/2 1/4 1/8 1/16 1 1/2 1/2 3/8 1/4 ... 2 0 1/4 3/8 ... ... 3 -1/4 -1/4 ... ... ... 4 0 ... ... ... ...
Bkz OEIS : A209308 ve OEIS : A227577 . OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ), ikinci (fraksiyonel) Euler sayıları ve ikinci türden bir autosequence vardır.
- (OEIS : A164555 ( n + 2 )/OEIS : A027642 ( n + 2 ) = 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, ... ) × (2 n + 3 − 2/n + 2= 3,14/3, 15/2, 62/5, 21, ... ) =OEIS : A198631 ( n + 1 )/OEIS : A006519 ( n + 2 ) = 1/2, 0, -1/4, 0, 1/2, ... .
Ayrıca değerli için OEIS : A027641 / OEIS : A027642 (bkz Worpitzky sayılarla Connection ).
Pascal üçgeni ile bağlantı
Pascal üçgenini Bernoulli sayılarına bağlayan formüller var
burada , bir N-ile-n belirleyicisi Hessenberg matris parçası Pascal üçgeni öğeleri şunlardır:
Örnek:
Euler sayılarıyla bağlantı
Euler sayılarını birbirine bağlayan formüller var ⟨n
m⟩ Bernoulli sayılarına:
Her iki formül için geçerlidir n 0 ≥ eğer B 1 olarak ayarlanır1/2. Eğer B 1 olarak ayarlanır -1/2bunlar sadece sırasıyla n ≥ 1 ve n ≥ 2 için geçerlidir .
İkili ağaç gösterimi
Stirling polinomları σ n ( x ) Bernoulli sayılarıyla B n = n ile ilişkilidir ! σ n (1) . SC Woon, σ n (1)' i ikili bir ağaç olarak hesaplamak için bir algoritma tanımladı :
Woon'un özyinelemeli algoritması ( n ≥ 1 için ) kök düğüme N = [1,2] atayarak başlar . Bir düğüm Verilen K = [ a 1 , bir 2 , ..., bir k ] ağacın, bir sol çocuk L ( N ) = [- bir 1 , bir 2 + 1, bir 3 , .. ., a k ] ve sağ çocuk R ( N ) = [ a 1 , 2, a 2 , ..., a k ] . Bir düğüm , N = [ a 1 , bir 2 , ..., bir k ] olarak yazılır ± [ a 2 , ..., bir k ] ağacın başlangıç kısmı içinde, yukarıda gösterilen ± işareti belirten bir 1 .
Bir N düğümü verildiğinde , N'nin faktöriyeli şu şekilde tanımlanır:
Toplamı n sabit bir ağaç seviyesinin düğümleri N ile sınırlıdır1/N !olan σ n (1) bu şekilde,
Örneğin:
- B 1 = 1!(1/2!)
- B 2 = 2!(-1/3! + 1/2!2!)
- B 3 = 3! (1/4! - 1/2!3! - 1/3!2! + 1/2!2!2!)
İntegral gösterimi ve devamı
n > 0 için b (2 n ) = B 2 n özel değerlerine sahiptir .
Örneğin, b (3) =3/2ζ (3) π −3 ben ve b (5) = −15/2ζ (5) π -5 ben . Burada ζ , Riemann zeta fonksiyonudur ve i , sanal birimdir . Leonhard Euler ( Opera Omnia , Ser. 1, Cilt 10, s. 351) bu sayıları dikkate aldı ve hesapladı.
Euler sayıları ve π ile ilişkisi
Euler sayıları iyice Bernoulli sayı ile bağlantılı bir tamsayı dizisi vardır. Bernoulli ve Euler sayılarının asimptotik açılımlarının karşılaştırılması, Euler sayılarının E 2 n büyüklüklerinin yaklaşık olarak olduğunu göstermektedir.2/π(4 2 n − 2 2 n ) Bernoulli sayılarından B 2 n kat daha büyüktür . Sonuç olarak:
Bu asimptotik denklem, π'nin hem Bernoulli hem de Euler sayılarının ortak kökünde olduğunu ortaya koymaktadır . Aslında π bu rasyonel yaklaşımlardan hesaplanabilir.
Bernoulli sayıları Euler sayıları ile ifade edilebilir ve bunun tersi de geçerlidir. , Tek için yana , n , B , n = E , n = 0 (istisna ile B 1 ), bu zaman durumu dikkate yeterli n ve eşitlenir.
Bu dönüşüm formülleri, Bernoulli ve Euler sayıları arasındaki bağlantıyı ifade eder. Daha önemlisi, yakından bağlı, sayı olarak daha radikal bir dizisi ile ifade edilebilir sayıların her iki tür, bir derin aritmetik kök sık görülür tt . Bu sayılar için tanımlandığı gibidir , n > 1 olarak
ve konvansiyonel olarak S 1 = 1 . Bu sayıların büyüsü, rasyonel sayılar oldukları gerçeğinde yatmaktadır. Bu ilk olarak Leonhard Euler tarafından dönüm noktası niteliğindeki De summis serierum reciprocarum ( Karşılıklı serilerin toplamları üzerine) başlıklı makalesinde kanıtlandı ve o zamandan beri matematikçileri büyüledi. Bu sayıların ilk birkaçı
Bunlar sec x + tan x'in genişlemesindeki katsayılardır .
Bernoulli sayıları ve Euler sayıları en iyi olarak anlaşılacaktır özel görüş dizisinden seçilen bu sayıların, S , n ve özel uygulamalar için tartılır.
İfade [ N bile] 1 değerine sahip olduğu , n eşit ve aksi halde 0 (olup Iverson dirsek ).
Bu özdeşlikler, bu bölümün başındaki Bernoulli ve Euler sayılarının bölümünün sadece R n = özel durumu olduğunu göstermektedir.2 S , n/S n + 1n çift olduğunda . R ' n, rasyonel yaklaşık değerler TT ve birbirini takip eden iki terim her kuşatmaktadırlar gerçek değeri tt . İle başlayarak , n = 1 sekansı başlar ( OEIS : A132049 / OEIS : A132050 ):
Bu rasyonel sayılar, Euler'in yukarıda alıntılanan makalesinin son paragrafında da yer almaktadır.
Akiyama-Tanigawa dizisi için dönüşüm düşünün OEIS : A046978 ( n + 2 ) / OEIS : A016116 ( n + 1 ):
0 1 1/2 0 -1/4 -1/4 -1/8 0 1 1/2 1 3/4 0 -5/8 -3/4 2 -1/2 1/2 9/4 5/2 5/8 3 -1 -7/2 -3/4 15/2 4 5/2 -11/2 -99/4 5 8 77/2 6 -61/2
İkincisinden itibaren, birinci sütunun payları Euler formülünün paydalarıdır. İlk sütun -1/2X OEIS : A163982 .
Algoritmik bir görünüm: Seidel üçgeni
S n dizisinin beklenmeyen ancak önemli bir özelliği daha vardır: S n'nin paydaları faktöriyel ( n − 1) böler ! . Başka bir deyişle: T n = S n ( n − 1) sayıları ! bazen Euler zikzak sayıları olarak adlandırılan tam sayılardır.
Böylece Bernoulli ve Euler sayılarının yukarıdaki gösterimleri bu dizi açısından şu şekilde yeniden yazılabilir:
Bu özdeşlikler, Bernoulli ve Euler sayılarını hesaplamayı kolaylaştırır: Euler sayıları E n , T 2 n + 1 ile hemen verilir ve Bernoulli sayıları B 2 n , rasyonel aritmetikten kaçınarak bazı kolay kaydırmalarla T 2 n'den elde edilir .
Geriye kalan sayıları hesaplamak için uygun bir yol bulmaktır T n . Ancak, zaten 1877 yılında Philipp Ludwig von Seidel basit hesaplamak için yapar ustaca bir algoritma, yayınlanan T n .
- 0 satırına 1 koyarak başlayın ve k'nin şu anda doldurulmakta olan satırın numarasını göstermesine izin verin
- Eğer k garip, daha sonra satır sol ucundaki numarasını koymak k - 1 satır ilk pozisyonda k ve her giriş için sayının toplamı olmak üzere sağa soldan satır doldurmak sol ve üstteki sayı
- Satırın sonunda son sayıyı çoğaltın.
- Eğer k çift ise, diğer yönde de benzer şekilde ilerleyin.
Seidel'in algoritması aslında çok daha geneldir (bkz. Dominique Dumont'un açıklaması) ve daha sonra birkaç kez yeniden keşfedildi.
Seidel'in yaklaşımına benzer şekilde DE Knuth ve TJ Buckholtz, T 2 n sayıları için bir tekrarlama denklemi verdiler ve B 2 n ve E 2 n'nin 'sadece tamsayılar üzerinde basit işlemleri kullanan elektronik bilgisayarlarda' hesaplanması için bu yöntemi önerdiler .
VI Arnold, Seidel'in algoritmasını yeniden keşfetti ve daha sonra Millar, Sloane ve Young, Seidel'in algoritmasını boustrophedon dönüşümü adı altında popüler hale getirdi .
Üçgen formu:
1 1 1 2 2 1 2 4 5 5 16 16 14 10 5 16 32 46 56 61 61 272 272 256 224 178 122 61
Sadece OEIS : A000657 biri 1 ve birlikte OEIS : A214267 iki 1'ler ile, OEIS içindedir.
Aşağıdaki satırlarda ek 1 ve bir 0 ile dağıtım:
1 0 1 -1 -1 0 0 -1 -2 -2 5 5 4 2 0 0 5 10 14 16 16 -61 -61 -56 -46 -32 -16 0
Bu OEIS : A239005 , imzalı bir sürümü OEIS : A008280 . Ana andiagonal olan OEIS : A122045 . Ana diyagonal olan OEIS : A155585 . Merkezi sütun OEIS : A099023 . Sıra toplamları: 1, 1, -2, -5, 16, 61 .... bakınız OEIS : A163747 . Aşağıda 1, 1, 0, -2, 0, 16, 0 ile başlayan diziye bakın.
Akiyama-Tanigawa algoritması uygulanır OEIS : A046978 ( n + 1 ) / OEIS : A016116 ( n ) verimler:
1 1 1/2 0 -1/4 -1/4 -1/8 0 1 3/2 1 0 -3/4 -1 -1 3/2 4 15/4 0 -5 -15/2 1 5 5 -51/2 0 61 -61
1. Birinci sütun OEIS : A122045 . Binom dönüşümü şunlara yol açar:
1 1 0 -2 0 16 0 0 -1 -2 2 16 -16 -1 -1 4 14 -32 0 5 10 -46 5 5 -56 0 -61 -61
Bu dizinin ilk satırı OEIS : A155585 . Artan antidiagonals mutlak değerlerdir OEIS : A008280 . Antidiagonals toplamıdır - OEIS : A163747 ( n + 1 ).
2. İkinci sütun 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385... . Binom dönüşüm verimi:
1 2 2 -4 -16 32 272 1 0 -6 -12 48 240 -1 -6 -6 60 192 -5 0 66 32 5 66 66 61 0 -61
Bu dizinin ilk satırı 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584... . İkinci ikiye bölmenin mutlak değerleri, birinci ikiye bölmenin mutlak değerlerinin iki katıdır.
Akiyama-Tanigawa algoritması kullanılarak göz önünde OEIS : A046978 ( n ) / ( OEIS : A158780 ( n + 1 ) = abs ( OEIS : A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2,3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/16, 17/16, 33/32... .
1 2 2 3/2 1 3/4 3/4 -1 0 3/2 2 5/4 0 -1 -3 -3/2 3 25/4 2 -3 -27/2 -13 5 21 -3/2 -16 45 -61
Mutlak değerler birinci kolon OEIS : A000111 bir trigonometrik fonksiyonların payı olabilir.
OEIS : A163747 birinci tür bir autosequence olan (ana diyagonal olan OEIS : A000004 ). Karşılık gelen dizi:
0 -1 -1 2 5 -16 -61 -1 0 3 3 -21 -45 1 3 0 -24 -24 2 -3 -24 0 -5 -21 24 -16 45 -61
İlk iki üst köşegenlerinin olan -1 3 -24 402 ... = (1) , n + 1 × OEIS : A002832 . Antidiagonals toplamıdır 0 -2 0 ... 10 = 2 x OEIS : A122045 ( n + 1).
- OEIS : A163982 örneği için olduğu gibi, ikinci çeşit bir autosequence olan OEIS : A164555 / OEIS : A027642 . Dolayısıyla dizi:
2 1 -1 -2 5 16 -61 -1 -2 -1 7 11 -77 -1 1 8 4 -88 2 7 -4 -92 5 -11 -88 -16 -77 -61
Burada ana diyagonal, 2 -2 8 -92 ... , burada, birinci üst birinin çift OEIS : A099023 . Antidiagonals toplamıdır 2 0 -4 0 ... = 2 x OEIS : A155585 ( n + 1). OEIS : A163747 - OEIS : A163982 = 2 x OEIS : A122045 .
Kombinatoryal bir görünüm: alternatif permütasyonlar
1880 civarında, Seidel'in algoritmasının yayınlanmasından üç yıl sonra, Désiré André kombinatoryal analizin artık klasik bir sonucunu kanıtladı. Tan x ve sec x trigonometrik fonksiyonlarının Taylor açılımının ilk terimlerine bakarak André şaşırtıcı bir keşif yaptı.
Katsayılar , sırasıyla tek ve çift indeksin Euler sayılarıdır . Sonuç olarak, olağan genleşme kahve renkli x + iki x katsayıları gibi rasyonel sayılar sahip G n .
André daha sonra bir yineleme argümanı aracılığıyla , tek boyutun değişen permütasyonlarının tek indeksin Euler sayıları (teğet sayılar olarak da adlandırılır) ve çift boyutun değişen permütasyonlarının Euler çift indeksi sayıları (aynı zamanda denir) tarafından numaralandırıldığını göstermeyi başardı. sekant sayılar).
İlgili diziler
Birinci ve ikinci Bernoulli sayılarının aritmetik ortalaması, ortak Bernoulli sayılarıdır: B 0 = 1 , B 1 = 0 , B 2 =1/6, B 3 = 0 , B 4 = -1/30, OEIS : A176327 / OEIS : A027642 . Onun tersi Akiyama-Tanigawa dönüşümü ikinci sıradaki Via OEIS : A177427 , onlar Balmer serisi yol OEIS : A061037 / OEIS : A061038 .
Akiyama-Tanigawa algoritması uygulanır OEIS : A060819 ( n + 4 ) / OEIS : A145979 ( n ) Bernoulli numaralarına açar OEIS : A027641 / OEIS : A027642 , OEIS : A164555 / OEIS : A027642 veya OEIS : A176327 OEIS : A176289 B 1 olmadan , içsel Bernoulli sayıları B ben ( n ) olarak adlandırılır .
1 5/6 3/4 7/10 2/3 1/6 1/6 3/20 2/15 5/42 0 1/30 1/20 2/35 5/84 -1/30 -1/30 -3/140 -1/105 0 0 -1/42 -1/28 -4/105 -1/28
Bu nedenle iç Bernoulli sayı ve cihaz aracılığıyla Balmer serisi arasındaki başka bir bağlantı OEIS : A145979 ( n ).
OEIS : A145979 ( n - 2 ) = 0, 2, 1, 6, ..., negatif olmayan bir sayı permütasyon.
İlk satırın terimleri f(n) = 1/2 + 1/n + 2. 2, f(n), ikinci türden bir otomatik dizidir. 3/2, f(n) ters binom dönüşümü ile 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2'ye öncülük eder.
g(n) = 1/2 - 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3'ü düşünün. Akiyama-Tanagiwa dönüşümleri şunları verir:
0 1/6 1/4 3/10 1/3 5/14 ... -1/6 -1/6 -3/20 -2/15 -5/42 -3/28 ... 0 -1/30 -1/20 -2/35 -5/84 -5/84 ... 1/30 1/30 3/140 1/105 0 -1/140 ...
0, g(n), ikinci türden bir otomatik dizidir.
Euler OEIS : A198631 ( n ) / OEIS : A006519 ( n + 1 ikinci dönem olmadan) (1/2) kesirli içsel Euler sayılarıdır E ben ( n ) = 1, 0, −1/4, 0, 1/2, 0, -17/8, 0, ... Karşılık gelen Akiyama dönüşümü:
1 1 7/8 3/4 21/32 0 1/4 3/8 3/8 5/16 -1/4 -1/4 0 1/4 25/64 0 -1/2 -3/4 -9/16 -5/32 1/2 1/2 -9/16 -13/8 -125/64
İlk satır Eu ( n )'dir . Bir sıfırdan önce gelen Eu ( n ) birinci türden bir otomatik dizidir. Oresme numaraları ile bağlantılıdır. İkinci satırın numerators olan OEIS : A069834 farkı tablodur 0 öncesinde:
0 1 1 7/8 3/4 21/32 19/32 1 0 -1/8 -1/8 -3/32 -1/16 -5/128 -1 -1/8 0 1/32 1/32 3/128 1/64
Bernoulli sayılarının aritmetik özellikleri
Bernoulli sayıları, Riemann zeta fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir: B n = − nζ (1 − n ) n ≥ 0 tamsayıları için n = 0 için sağlanır − nζ (1 − n ) ifadesi sınırlayıcı değer olarak anlaşılır ve konvansiyon B 1 =1/2kullanıldı. Bu, onları negatif tamsayılardaki zeta fonksiyonunun değerleriyle yakından ilişkilendirir. Bu nedenle, derin aritmetik özelliklere sahip olmaları ve sahip olmaları beklenebilir. Örneğin, Agoh–Giuga varsayımı , p'nin yalnızca ve ancak pB p − 1'in -1 modulo p ile uyumlu olması durumunda bir asal sayı olduğunu varsayar . Bernoulli sayıların bölünebilme özellikleri ile ilgilidir ideal sınıf gruplarının arasında cyclotomic alanları Kummer ve onun güçlenmesine bir teoremi ile Herbrand-Ribet teoremi ve gerçek kuadratik alanların sınıf numaralarına Ankeny-Artin-Chowla .
Kummer teoremleri
Bernoulli sayıları, Kummer'in teoremi tarafından Fermat'ın Son Teoremi (FLT) ile ilgilidir ve şöyle der:
- Tek asal Eğer p Bernoulli sayıları arasında numerators bir bölünmemesi B 2 , B 4 , ..., B p - 3 daha sonra x p + y p + z p = 0 , sıfır olmayan tamsayılar hiçbir çözüm vardır.
Bu özelliğe sahip asal sayılara normal asal sayılar denir . Kummer'in bir başka klasik sonucu da aşağıdaki kongrüanslardır .
- Let s bir tek asal olmak ve b eşit sayıda olacak şekilde p - 1 bölmek değil b . Sonra herhangi bir negatif olmayan tamsayı için k
Bu uyumların genelleştirilmesi p -adic süreklilik olarak adlandırılır.
p -adic süreklilik
Eğer B , m ve n, pozitif tamsayı öyle ki m ve n, bölünemeyen değildir p - 1 ve m ≡ n (mod p b 1 - ( p 1) -) , sonra
Yana B , n = - nζ (1 - N ) , bu da yazılabilir
burada u = 1 − m ve v = 1 − n , böylece u ve v pozitif değildir ve 1 modulo p − 1 ile uyumlu değildir . Bu bize , Euler çarpım formülünden 1 − p − s alınan Riemann zeta fonksiyonunun, modulo p − 1 ile belirli bir a ≢ 1 mod ( p −) uyumlu tek negatif tamsayılar üzerindeki p -adik sayılarda sürekli olduğunu söyler. 1) , ve böylece tüm p -adic tamsayılar için ζ p ( s ) sürekli bir işleve genişletilebilir , p -adic zeta işlevi .
Ramanujan'ın denklikleri
Aşağıdaki bağıntılar, Ramanujan nedeniyle , orijinal özyinelemeli tanımlarıyla verilenden daha verimli olan Bernoulli sayılarını hesaplamak için bir yöntem sağlar:
Von Staudt-Clausen teoremi
Von Staudt–Clausen teoremi, Karl Georg Christian von Staudt ve Thomas Clausen tarafından 1840'ta bağımsız olarak verildi . Teorem, her n > 0 için ,
bir tamsayıdır. Toplamı boyunca uzanan asal s olan p 1 - böler 2 , n .
Bunun bir sonucu, paydası olmasıdır B 2 n her asal ürünü ile verilir p olan p 1 - böler 2 , n . Özellikle, bu paydası olan kare serbest ve 6 ile bölünebilir.
Tek Bernoulli sayıları neden yok oluyor?
Toplam
n indeksinin negatif değerleri için değerlendirilebilir . Bunu yapmak , k'nin çift değerleri için bunun tek bir fonksiyon olduğunu gösterecektir; bu, toplamın yalnızca tek indeks terimlerine sahip olduğu anlamına gelir. Bu ve Bernoulli toplamı formülü, B 2 k + 1 − m'nin m çift için 0 ve 2 k + 1 − m > 1 olduğunu ima eder ; ve B 1 için terimin çıkarma işlemiyle iptal edildiği. Worpitzky'nin temsili ile birleştirilmiş von Staudt–Clausen teoremi de bu soruya kombinatoryal bir cevap verir ( n > 1 için geçerlidir ).
Von Staudt-Clausen teoremi itibaren tek için bilinmektedir n > 1 sayıda 2 B , n , bir tamsayıdır. Söz konusu tamsayının sıfır olduğu önceden biliniyorsa, bu önemsiz görünüyor. Ancak, Worpitzky'nin temsilini uygulayarak kişi
bir şekilde tamsayı toplamı önemsiz değildir. Burada, Bernoulli sayılarının tek indekste kaybolmasını açıklayan bir kombinatoryal gerçek ortaya çıkıyor. Let S n , m den surjective haritaların sayısını olmak {1, 2, ..., n } için {1, 2, ..., m }, ardından S n , m = m ! {n
m} . Son denklem sadece eğer tutabilir
Bu denklem tümevarımla kanıtlanabilir. Bu denklemin ilk iki örneği
- n = 4: 2 + 8 = 7 + 3 ,
- n = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40 .
Bu nedenle, Bernoulli sayıları tek indekste kaybolur, çünkü bazı açık olmayan kombinatoryal kimlikler Bernoulli sayılarında somutlaşır.
Riemann hipotezinin yeniden ifade edilmesi
Bernoulli sayıları ve Riemann zeta fonksiyonu arasındaki bağlantı , yalnızca Bernoulli sayısını kullanan Riemann hipotezinin (RH) alternatif bir formülasyonunu sağlayacak kadar güçlüdür . Aslında Marcel Riesz , RH'nin aşağıdaki iddiaya eşdeğer olduğunu kanıtladı:
- her ε için >1/4öyle bir C ε > 0 sabiti vardır ( ε'a bağlı olarak ) öyle ki | Sağ ( x ) | < C ε x ε as x → ∞ .
Burada R, ( x ) olan Riesz işlevi
n, k belirtmektedir yükselen faktörlü gücü arasında gösterimde DE Knuth . sayılar β n =B n/nzeta fonksiyonunun çalışmasında sık olarak görülür ve nedeni önemlidir β n bir olan p asal için -integer p p - 1 bölmek yok n . Β N adlandırılabilinir Bernoulli numaraları ayrılır .
Genelleştirilmiş Bernoulli sayıları
Genelleştirilmiş Bernoulli sayıları kesin cebirsel sayılar ilgili Bernoulli numaraları benzer bir şekilde tanımlanır, özel değerler arasında Dirichlet L -functions Bernoulli sayıları Riemann zeta fonksiyonunun özel değerler ile ilişkili olduğu da aynı şekilde.
Let χ bir olmak Dirichlet karakter modülo f . Bağlı genelleştirilmiş Bernoulli sayıları kay kare testi ile tanımlanmaktadır
İstisna dışında B 1,1 =1/2, herhangi bir Dirichlet karakteri χ için , χ (−1) ≠ (−1) k ise B k , χ = 0 olur .
Bernoulli sayıları ile Riemann zeta fonksiyonunun pozitif olmayan tamsayılardaki değerleri arasındaki ilişkiyi genelleştirirsek, tüm tamsayılar için k ≥ 1 bulunur :
burada L ( s , χ ) Dirichlet olan L bir fonksiyonu gibi kay kare testi .
ek
çeşitli kimlikler
-
Umbral hesap , soyut bir sembol B kullanarak Bernoulli formülünün kompakt bir formunu verir :
burada parantez içindeki terimin binom açılımı sırasında görünen B k sembolü , Bernoulli sayısı B k (ve B 1 = +1/2). Daha anlamlı ve anımsatıcı olarak, bu belirli bir integral olarak yazılabilir:
Diğer birçok Bernoulli kimliği bu sembolle kompakt bir şekilde yazılabilir, örn.
- Let n olmak negatif olmayan ve hatta
- N inci kümülant arasında düzgün olasılık dağılımı aralığına [-1, 0] olduğuB n/n.
- Let n ? =1/n !ve n ≥ 1 . O halde B n aşağıdaki ( n + 1) × ( n + 1) determinantıdır:
- Çift sayılı Bernoulli sayıları için, B 2 p , ( p + 1) × ( p + 1) determinantı ile verilir:
- Let n ≥ 1 . Sonra ( Leonhard Euler )
- Let n ≥ 1 . Sonra
- Let n ≥ 0 . Sonra ( Leopold Kronecker 1883)
- Let , n ≥ 1 ve m ≥ 1 . Sonra
- Let n ≥ 4 ve
- Let n ≥ 4 . Yuri Matiyasevich bulundu (1997)
-
Faber– Pandharipande – Zagier –Gessel özdeşliği : n ≥ 1 için ,
- Bir sonraki bir formül için de geçerlidir , n 0 ≥ eğer B 1 = B 1 (1) =1/2, ancak yalnızca n ≥ 1 için eğer B 1 = B 1 (0) = −1/2.
- Let n ≥ 0 . Sonra
- M. B. Gelfand'ın bir karşılıklılık ilişkisi:
Ayrıca bakınız
- Bernoulli polinomu
- İkinci tür Bernoulli polinomları
- zil numarası
- Euler numarası
- Genocchi numarası
- Kummer kongrüansları
- Poli-Bernoulli numarası
- Hurwitz zeta işlevi
- Euler toplamı
- Stirling polinomu
- güçlerin toplamı
Notlar
Referanslar
- Abramowitz, M.; Stegun, IA (1972), "§23.1: Bernoulli ve Euler Polinomları ve Euler-Maclaurin Formülü", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (9. baskı ed.), New York: Dover Publications, s. 804-806.
- Arfken, George (1970). Fizikçiler için matematiksel yöntemler (2. baskı). Akademik Basın. ISBN'si 978-0120598519.
- Arlettaz, D. (1998), "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie", Math. Dönem , 45 : 61–75, doi : 10.1007/s005910050037 , S2CID 121753654.
- Ayoub, A. (1981), "Euler ve Zeta Fonksiyonu", Amer. Matematik. Aylık , 74 (2): 1067–1086, doi : 10.2307/2319041 , JSTOR 2319041.
- Conway, John ; Guy, Richard (1996), Sayıların Kitabı , Springer-Verlag.
- Dilçer, K.; Skula, L.; Slavutskii, I. Sh. (1991), "Bernoulli sayıları. Bibliyografya (1713–1990)" , Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics , Kingston, Ontario (87).
- Dumont, D.; Viennot, G. (1980), "Genocchi sayılarının Seidel neslinin bir kombinatoryal yorumu", Ann. Ayrık Matematik. , Annals of Discrete Mathematics, 6 : 77–87, doi : 10.1016/S0167-5060(08)70696-4 , ISBN 978-0-444-86048-4.
- Entringer, RC (1966), "Euler ve Bernoulli sayılarının bir kombinatoryal yorumu", Nieuw. Kemer V. Wiskunde , 14 : 241–6.
- Ücret, G.; Plouffe, S. (2007). "Bernoulli sayılarının hesaplanması için verimli bir algoritma". arXiv : matematik/0702300 ..
- Graham, R .; Knuth, DE ; Patashnik, O. (1989). Somut Matematik (2. baskı). Addison-Wesley. ISBN'si 0-201-55802-5.
- İrlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Modern Sayı Teorisine Klasik Bir Giriş (2. baskı), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97329-X
- Jordan, Charles (1950), Sonlu Farklar Hesabı , New York: Chelsea Publ. şirket.
- Kaneko, M. (2000), "Bernoulli sayıları için Akiyama-Tanigawa algoritması" , Journal of Integer Sequences , 12 : 29, Bibcode : 2000JIntS...3...29K.
- Knuth, DE (1993). "Johann Faulhaber ve Yetkiler Toplamı". Hesaplama Matematiği . Amerikan Matematik Derneği. 61 (203): 277–294. arXiv : matematik/9207222 . doi : 10.2307/2152953 . JSTOR 2152953 .
- Luschny, Peter (2007), Bernoulli sayılarının dahil edilmesi.
- Luschny, Peter (8 Ekim 2011), "TheLostBernoulliNumbers" , OeisWiki , alındı 11 Mayıs 2019.
- The Mathematics Genealogy Project , Fargo: Department of Mathematics, North Dakota State University, nd, orijinalinden arşivlendi10 Mayıs 2019 , alındı 11 Mayıs 2019.
- Miller, Jeff (23 Haziran 2017), "Calculus Sembollerinin En Erken Kullanımları " , Çeşitli Matematiksel Sembollerin En Erken Kullanımları , alındı 11 Mayıs 2019.
- Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974), "Ek B: Bernoulli Sayıları", Karakteristik Sınıflar , Annals of Mathematics Studies, 76 , Princeton University Press ve University of Tokyo Press, s. 281–287.
- Pietrocola, Giorgio (31 Ekim 2008), "Esplorando un antico sentiero: teoremi sulla somma di potenze di interi Successivi (Corollario 2b)" , Maecla (İtalyanca) , alındı 8 Nisan 2017.
- Slavutskii, İlya Ş. (1995), "Bernoulli sayılarının Staudt ve aritmetik özellikleri", Historia Scientiarum , 2 : 69-74.
- von Staudt, KG Ch. (1845), "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram", Erlangen.
- Sun, Zhi-Wei (2005–2006), Bernoulli ve Euler polinomları hakkında bazı ilginç sonuçlar , orijinalinden 2001-10-31'de arşivlendi.
- Woon, SC (1998). "Riemann zeta fonksiyonu ve Bernoulli sayıları arasındaki ilişkinin genelleştirilmesi". arXiv : matematik.NT/9812143 ..
- Worpitzky, J. (1883), "Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 94 : 203–232.
Dipnotlar
Dış bağlantılar
- "Bernoulli sayıları" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
- İlk 498 Bernoulli Numaraları gelen Project Gutenberg
- Bernoulli sayılarını hesaplamak için çok modüllü bir algoritma
- Bernoulli Sayı Sayfası
- Bernoulli sayısı programları en LiteratePrograms
- Weisstein, Eric W. "Bernoulli Numarası" . Matematik Dünyası .
- P. Luschny. "Düzensiz Asalların Hesaplanması" .
- P. Luschny. "Bernoulli Sayılarının Hesaplanması ve Asimptotiği" .
- Gottfried Helms. "Pascal-(Binom) matrisi bağlamında Bernoullinumbers" (PDF) .
- Gottfried Helms. "Pascal-/Bernoulli-matrix bağlamında benzer güçlerin toplamı" (PDF) .
- Gottfried Helms. "Bazı özel özellikler, Bernoulli ve ilgili sayıların toplamları" (PDF) .