Platonun sorunu - Plateau's problem

Bir katenoid şeklinde bir sabun köpüğü

In matematik , plato problemi bir varlığını göstermektir minimal yüzeye belirli bir sınır, tarafından gündeme bir sorunla Joseph-Louis Lagrange Ancak, adını 1760'da Joseph Plateau denedi sabun filmleri . Sorun, varyasyon hesabının bir parçası olarak kabul edilir . Varlık ve düzenlilik problemleri geometrik ölçü teorisinin bir parçasıdır .

Tarih

Problemin çeşitli özel biçimleri çözüldü, ancak Jesse Douglas ve Tibor Radó tarafından bağımsız olarak haritalamalar (daldırmalar) bağlamında genel çözümler ancak 1930'da bulundu . Yöntemleri oldukça farklıydı; Radó'nun çalışması René Garnier'in önceki çalışması üzerine inşa edildi ve yalnızca doğrultulabilir basit kapalı eğriler için geçerliydi , oysa Douglas tamamen yeni fikirler kullandı ve sonucu keyfi bir basit kapalı eğri için tuttu. Her ikisi de minimizasyon problemlerini kurmaya dayanıyordu; Radó "enerjiyi" en aza indirirken, Douglas şimdi adlandırılan Douglas integralini en aza indirdi. Douglas , çabalarından dolayı 1936'da Fields Madalyası ile ödüllendirildi .

Daha yüksek boyutlarda

Problemin daha yüksek boyutlara genişletilmesinin (yani, boyutlu uzayda -boyutlu yüzeyler için ) incelenmesinin çok daha zor olduğu ortaya çıkıyor. Orijinal sorununa çözüm her zaman düzenli iken Üstelik, bu uzatılmış sorununa çözüm olabileceğini çıkıyor tekillikleri eğer . Gelen hiperyüzey durumda nerede , tekillik yalnızca ortaya . Plato sorun bu tekil çözeltisinin bir örneği, Simons koni üzerinde koni olarak birinci tarafından tarif edilmiştir Jim Simons tarafından bir alan asgarileştirir olduğu gösterilmiştir Bombieri , De Giorgi ve Giusti . Genişletilmiş problemi belirli özel durumlarda çözmek için, eş boyut 1 için çevre teorisi ( De Giorgi ) ve daha yüksek eş boyut için doğrultulabilir akımlar teorisi ( Federer ve Fleming) geliştirilmiştir. Teori, kapalı bir Hausdorff boyutu kümesinden uzakta düzgün olan eş boyut 1 çözümlerinin varlığını garanti eder . Daha yüksek eş- boyutluluk durumunda Almgren , düzenlilik teoreminde en fazla tekil boyut kümesine sahip çözümlerin varlığını kanıtladı . Almgren'in bir öğrencisi olan SX Chang, Almgren'in integral akımları (rastgele eş-boyutta) en aza indiren 2 boyutlu alanın tekilliklerinin sonlu bir ayrık küme oluşturduğunu göstermek için yaptığı çalışma üzerine inşa etti. ${\görüntüleme stili k}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili k\leq n-2}$${\görüntüleme stili k=n-1}$${\ Displaystyle n\geq 8}$${\displaystyle S^{3}\times S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\görüntüleme stili n-8}$${\görüntüleme stili k-2}$

Jenny Harrison ve Harrison Pugh'un aksiyomatik yaklaşımı, çok çeşitli özel durumları ele alır. Özellikle, genel homolojik, kohomolojik veya homotopik yayılma koşullarının bir kombinasyonunu karşılayan herhangi bir düzeltilebilir küme koleksiyonu için anizotropik Plato problemini keyfi boyutta ve eş boyutlu olarak çözerler. Harrison- Pugh'un sonuçlarının farklı bir kanıtı Camillo De Lellis , Francesco Ghiraldin ve Francesco Maggi tarafından elde edildi .

Fiziksel uygulamalar

Fiziksel sabun filmleri, Frederick Almgren'in -minimal kümeleri tarafından daha doğru bir şekilde modellenir , ancak bir kompaktlık teoreminin olmaması, bir alan küçültücünün varlığını kanıtlamayı zorlaştırır. Bu bağlamda, en az alanlı bir sabun filminin varlığı kalıcı bir açık soru olmuştur. Ernst Robert Reifenberg , tek gömülü kürelere homeomorfik olan sınırlar için böyle bir "evrensel Plato sorunu" nu çözdü. ${\görüntüleme stili (M,0,\Delta )}$

Ayrıca bakınız

• Çift Kabarcık varsayımı
• Dirichlet prensibi
• Plato yasaları
• Gerilmiş ızgara yöntemi
• Bernstein'ın sorunu

Referanslar

• Douglas, Jesse (1931). "Yayla Sorununun Çözümü" . Trans. Amer. Matematik. Soc . 33 (1): 263-321. doi : 10.2307/1989472 . JSTOR  1989472 .
• Reifenberg, Ernst Robert (1960). "Değişen topolojik tipteki m boyutlu yüzeyler için {Plateau} probleminin çözümü" . Acta Mathematica . 104 (2): 1-92. doi : 10.1007/bf02547186 .
• Fomenko, AT (1989). Plato Problemi: Tarihsel Araştırma . Williston, VT: Gordon ve İhlal. ISBN'si 978-2-88124-700-2.
• Morgan, Frank (2009). Geometrik Ölçü Teorisi: Başlangıç ​​Kılavuzu . Akademik Basın. ISBN'si 978-0-12-374444-9.
• O'Neil, TC (2001) [1994], "Geometrik Ölçü Teorisi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Rado, Tibor (1930). "Plato'nun sorunu Üzerine". Anne. Math . 2. 31 (3): 457-469. doi : 10.2307/1968237 . JSTOR  1968237 .
• Struwe, Michael (1989). Plato Problemi ve Varyasyonlar Hesabı . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN'si 978-0-691-08510-4.
• Almgren, Frederick (1966). Plato problemi, değişken geometrisine bir davet . New York-Amsterdam: Benjamin. ISBN'si 978-0-821-82747-5.

• Harrison, Jenny; Pugh, Harrison (2016). "Matematikte Açık Problemler (Plateau'nun Problemi)". Springer. arXiv : 1506.05408 . doi : 10.1007/978-3-319-32162-2 . ISBN'si 978-3-319-32160-8. Alıntı günlüğü gerektirir |journal=( yardım )

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan Plateau's Problem on PlanetMath'den materyal içermektedir .