Principia Mathematica ve İlgili Sistemlerin Biçimsel Olarak Karar Verilemez Önermeleri Üzerine - On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems

Bu makale kağıt hakkındadır. Bu yazıda ispatlanan teoremler için Gödel'in eksiklik teoremlerine bakınız .

" Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I " (" On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica ve Related Systems I " ) Kurt Gödel'in matematiksel mantık üzerine bir makalesidir . 17 Kasım 1930'da gönderildi, ilk olarak Monatshefte für Mathematik'in 1931 sayısında Almanca yayınlandı . Basılı olarak birkaç İngilizce çeviri yayınlandı ve makale iki klasik matematiksel mantık makalesi koleksiyonuna dahil edildi. Kağıt, Gödel'in eksiklik teoremlerini içeriyor , şimdi matematikte tutarlılık kanıtları için birçok anlamı olan mantıkta temel sonuçlar . Kağıt ayrıca Gödel'in eksiklik teoremlerini kanıtlamak için icat ettiği yeni teknikleri tanıtmasıyla da biliniyor.

Anahat ve önemli sonuçlar

Belirlenen ana sonuçlar , matematiksel mantık alanında muazzam bir etkisi olan Gödel'in birinci ve ikinci eksiklik teoremleridir . Bunlar, makalede sırasıyla VI ve XI teoremleri olarak görünmektedir.

Bu sonuçları kanıtlamak için Gödel, şimdi Gödel numaralandırma olarak bilinen bir yöntemi tanıttı . Bu yöntemde, birinci mertebeden aritmetikteki her cümleye ve biçimsel ispata belirli bir doğal sayı atanır. Gödel, bu ispatların birçok özelliğinin, ilkel özyinelemeli fonksiyonları tanımlayacak kadar güçlü herhangi bir aritmetik teorisi içinde tanımlanabileceğini göstermektedir . (Bu makale yayınlandığında, özyinelemeli işlevler ve ilkel özyinelemeli işlevler için çağdaş terminoloji henüz kurulmamıştı; Gödel , şimdi ilkel özyinelemeli işlevler olarak bilinenler için rekursiv ("özyinelemeli") kelimesini kullandı .) Gödel numaralandırma yöntemi o zamandan beri matematiksel mantıkta yaygın hale gelir.

Gödel numaralandırma yöntemi yeni olduğundan ve herhangi bir belirsizliği önlemek için Gödel, Gödel sayılarını manipüle etmek ve test etmek için kullanılan ilkel özyinelemeli işlevlerin ve ilişkilerin 45 açık resmi tanımının bir listesini sundu. Bunları , yalnızca x bir cümlenin φ Gödel sayısıysa ve φ'nin ispatının Gödel sayısı olan bir doğal sayı varsa doğru olan bir Bew( x ) formülünün açık bir tanımını vermek için kullandı . Bu formülün adı Almanca ispat anlamına gelen Beweis kelimesinden gelmektedir .

Bu yazıda Gödel tarafından icat edilen ikinci bir yeni teknik, kendine gönderme yapan cümlelerin kullanılmasıydı. Gödel, " Bu ifade yanlıştır " gibi klasik öz-gönderge paradokslarının , aritmetiğin öz-göndergeli biçimsel cümleleri olarak yeniden biçimlendirilebileceğini gösterdi. Gayri resmi olarak, Gödel'in ilk eksiklik teoremini kanıtlamak için kullanılan cümle "Bu ifade kanıtlanabilir değil" diyor. Böyle bir öz referansın aritmetik içinde ifade edilebileceği gerçeği Gödel'in makalesi ortaya çıkana kadar bilinmiyordu; Alfred Tarski'nin tanımlanamazlık teoremi üzerindeki bağımsız çalışması aynı zamanlarda yürütüldü, ancak 1936'ya kadar yayınlanmadı.

Dipnot 48a'da Gödel, makalenin planlanan ikinci bölümünün tutarlılık kanıtları ile tip teorisi arasında bir bağlantı kuracağını belirtti, ancak Gödel, ölümünden önce makalenin ikinci bir bölümünü yayınlamadı. Ancak 1958'de Dialectica'daki makalesi, aritmetik için tutarlılık kanıtı vermek için tip teorisinin nasıl kullanılabileceğini gösterdi.

Yayınlanmış İngilizce çeviriler

Yaşamı boyunca Gödel'in makalesinin üç İngilizce çevirisi basıldı, ancak süreç sorunsuz değildi. İlk İngilizce çeviri Bernard Meltzer tarafından yapıldı; 1963'te Basic Books tarafından bağımsız bir çalışma olarak yayınlandı ve o zamandan beri Dover tarafından yeniden basıldı ve Hawking tarafından yeniden basıldı ( God Created the Integers , Running Press, 2005:1097ff). Raymond Smullyan tarafından 'güzel bir çeviri' olarak tanımlanan Meltzer versiyonu , Stefan Bauer-Mengelberg (1966) tarafından olumsuz bir şekilde gözden geçirildi. Dawson'ın Gödel biyografisine göre (Dawson 1997:216),

Neyse ki Meltzer çevirisinin yerini kısa süre sonra Martin Davis'in The Undecidable adlı antolojisi için Elliott Mendelson tarafından hazırlanan daha iyi bir çeviri aldı ; ama o da neredeyse son dakikaya kadar Gödel'in dikkatine sunulmadı ve yeni çeviri hâlâ tam olarak onun beğenisine uygun değildi... genel olarak çok iyi' ve yayınlanmasını kabul etti. 3 [ 3 Daha sonra, yayınlanmış cilt baştan aşağı özensiz tipografi ve çok sayıda yanlış baskı nedeniyle gölgelendiği için itaatinden pişman olacaktı.]

Elliott Mendelson tarafından tercüme koleksiyonunda görünür undecidable (: 5ff Davis 1965). Bu çeviri ayrıca, yazım hatalarının ayrıntılı bir listesini vermenin yanı sıra, çeviride ciddi olduğuna inandığı hataları da açıklayan Bauer-Mengelberg (1966) tarafından sert bir eleştiri aldı.

Tarafından yapılan bir çeviri Jean van Heijenoort koleksiyonunda görünür Matematiksel Mantık A Kaynak Kitabı: Frege itibaren Gödel için (van Heijenoort 1967). Alonzo Church (1972) tarafından yapılan bir inceleme , bunu "yapılmış en dikkatli çeviri" olarak nitelendirdi, ancak aynı zamanda ona bazı özel eleştiriler de verdi. Dawson (1997:216) şunları not eder:

Gödel'in tercih ettiği çeviri Jean van Heijenoort tarafından yapılmıştı... Van Heijenoort, cildin önsözünde Gödel'in, eserlerinin çevirilerini bizzat okuyup onaylayan dört yazardan biri olduğunu belirtti.

Bu onay süreci zahmetli oldu. Gödel, 1931 tarihli metninde değişiklikler yaptı ve erkekler arasındaki müzakereler "uzun sürdü": "Özel olarak van Heijenoort, Gödel'in şimdiye kadar tanıdığı en inatçı ve titiz kişi olduğunu açıkladı." Aralarında "toplam yetmiş mektup alışverişinde bulundular ve Almanca ve İngilizce kelimelerin anlamlarındaki ve kullanımlarındaki inceliklerle ilgili soruları çözmek için Gödel'in ofisinde iki kez bir araya geldiler." (Dawson 1997:216-217).

Orijinal makalenin bir çevirisi olmasa da, "kapak[lar]ın, Gödel'in karar verilemezlik üzerine 1931 tarihli orijinal makalesinde kapsanan temele oldukça benzer bir zemini" (Davis 1952:39) ile Gödel'in kendi uzantıları ve konuyla ilgili yorum. Bu, On Undecidable Propositions of Formal Mathematical Systems (Davis 1965:39ff) olarak görünür ve Stephen Kleene ve J. Barkley Rosser tarafından transkripsiyonu yapılan dersleri temsil ederken, Gödel bunları 1934'te Princeton NJ'deki İleri Araştırma Enstitüsü'nde vermiştir. ve Gödel tarafından ek düzeltmeler Davis tarafından bu versiyona eklenmiştir. Bu versiyon da dikkate değerdir çünkü Gödel, içinde ilk olarak (genel, yani Herbrand-Gödel) özyineleme biçimine yol açan Herbrand önerisini açıklar .

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Stefan Bauer-Mengelberg (1966). Gözden undecidable önermeler, Çözümsüz sorunlar ve hesaplanabilir fonksiyonlar Temel Papers: undecidable. Sembolik Mantık Dergisi , Cilt. 31, No. 3. (Eylül, 1966), s. 484-494.
  • Alonzo Kilisesi (1972). Matematiksel Mantık 1879–1931'de Bir Kaynak Kitabın Gözden Geçirilmesi . Sembolik Mantık Dergisi , Cilt. 37, No. 2. (Haziran, 1972), s. 405.
  • Martin Davis , ed. (1965). Karar Verilemez: Karar Verilemez Önermeler, Çözülemez Problemler ve Hesaplanabilir Fonksiyonlar Üzerine Temel Makaleler , Raven, New York. Yeniden basım, Dover, 2004. ISBN  0-486-43228-9 .
  • Martin Davis , (2000). Mantık Motorları: Matematik ve Bilgisayarın Kökeni , W. w. Norton & Company, New York. ISBN  0-393-32229-7 pbk.
  • Kurt Gödel (1931), "Über resmi unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I." Monatshefte für Mathematik und Physik 38 : 173-198. DOI 10.1007/BF01700692 SpringerLink üzerinden çevrimiçi olarak mevcuttur.
  • Kurt Gödel (1958). "Über eine bisher noch nicht benüzte Erweiterung des finiten Standpunktes." Dialectica v. 12, s. 280–287. Gödel's Collected Works , cilt II, Soloman Feferman ve diğerleri, eds. Oxford Üniversitesi Yayınları, 1990.
  • Jean van Heijenoort , ed. (1967). Frege'den Gödel'e: Matematiksel Mantık 1879-1931 Üzerine Bir Kaynak Kitap . Harvard Üniversitesi Yayınları.
  • Bernard Meltzer (1962). Principia Mathematica ve İlgili Sistemlerin Biçimsel Olarak Karar Verilemez Önermeleri Üzerine. Almanca orijinalinin Kurt Gödel tarafından çevirisi, 1931. Basic Books, 1962. Reprinted, Dover, 1992. ISBN  0-486-66980-7 .
  • Raymond Smullyan (1966). Principia Mathematica'nın Biçimsel Olarak Karar Verilemez Önermeleri Üzerine ve İlgili Sistemlerin Gözden Geçirilmesi . American Mathematical Monthly , Cilt. 73, No. 3. (Mar., 1966), s. 319-322.
  • John W. Dawson , (1997). Mantıksal İkilemler: Kurt Gödel'in Yaşamı ve Çalışması , AK Peters, Wellesley, MA. ISBN  1-56881-256-6 .

Dış bağlantılar