N -vücut simülasyonu - N-body simulation

Bir N genişleyen bir evrenin bir gökada kümenin kozmolojik oluşumu -body simülasyonu.

Olarak fizik ve astronomi , bir N -body simülasyon bir bir simülasyon dinamik sistem genellikle fiziksel kuvvetlerin etkisi altında, partiküllerin ağırlık (bakınız , n -body sorunu ). N- vücut simülasyonları , Dünya - Ay - Güneş sistemi gibi birkaç cisimli sistemlerin dinamiklerini araştırmaktan , evrenin büyük ölçekli yapısının evrimini anlamaya kadar , astrofizikte yaygın olarak kullanılan araçlardır . İçinde fiziksel kozmolojisinde , N -body simülasyonlar, doğrusal olmayan süreçler çalışma için kullanılan yapı oluşumunda gibi Galaxy filamentler ve Galaxy haleler etkisinden karanlık madde . Yıldız kümelerinin dinamik evrimini incelemek için doğrudan N- gövde simülasyonları kullanılır .

Parçacıkların doğası

Simülasyon tarafından işlenen 'parçacıklar', doğada parçacık halinde olan fiziksel nesnelere karşılık gelebilir veya gelmeyebilir. Örneğin, bir yıldız kümesinin N-cisim simülasyonu, yıldız başına bir parçacık içerebilir, bu nedenle her parçacığın bir miktar fiziksel önemi vardır. Öte yandan, bir gaz bulutunun simülasyonu, her bir gaz atomu veya molekülü için bir partiküle sahip olmayı sağlayamaz, çünkü bu, aşağıdaki sırayı gerektirebilir.10 Her bir malzeme molü için ²³ parçacık (bkz. Avogadro sabiti ), bu nedenle tek bir 'parçacık' çok daha büyük bir gaz miktarını temsil eder (genellikle Düzleştirilmiş Parçacık Hidrodinamiği kullanılarak uygulanır ). Bu miktarın herhangi bir fiziksel önemi olması gerekmez, ancak doğruluk ve yönetilebilir bilgisayar gereksinimleri arasında bir uzlaşma olarak seçilmelidir.

Doğrudan yerçekimi N- vücut simülasyonları

Medya oynat

Güneş Sistemi gezegenlerininkine yakın parametrelere sahip 400 nesnenin N-gövde simülasyonu .

Doğrudan kütleçekimsel N- cisim simülasyonlarında, karşılıklı yerçekimi kuvvetlerinin etkisi altında N tane parçacıktan oluşan bir sistemin hareket denklemleri, herhangi bir basitleştirici yaklaşım olmaksızın sayısal olarak bütünleştirilir. Bu hesaplamalar, yıldızlar veya gezegenler gibi tek tek nesneler arasındaki etkileşimlerin sistemin evrimi için önemli olduğu durumlarda kullanılır.

İlk doğrudan N -body simülasyonlar tarafından gerçekleştirilen Erik Holmberg de Lund Gözlemevi yıldız ve ölçme pozisyonlarda ampulleri koyarak: ışığın yayılma ve çekim etkileşimi arasındaki matematiksel eşdeğerlilik ile gökadayı karşılaşmadan yıldızların arasındaki kuvvetlerin belirlenmesi, 1941 bir fotosel tarafından yıldızların konumlarındaki yönlü ışık akıları, hareket denklemleri eforla bütünleştirilebilir . İlk saf kullanılan hesaplama simülasyonlar sonra tarafından yapıldı Sebastian von Hoerner de Astronomisches Rechen-Institut de Heidelberg , Almanya. Cambridge Üniversitesi'nden (Birleşik Krallık) Sverre Aarseth , tüm bilimsel yaşamını, uyarlanabilir (hiyerarşik) zaman adımlarını kullanan astrofiziksel uygulamalar için bir dizi yüksek verimli N- cisim kodunun, bir Ahmad-Cohen komşu şemasının ve düzenlileştirmenin geliştirilmesine adadı. yakın temaslar. Düzenlileştirme, birbirine keyfi olarak yaklaşan iki parçacık için Newton'un yerçekimi yasasındaki tekilliği ortadan kaldırmak için matematiksel bir hiledir. Sverre Aarseth'in kodları, yıldız kümelerinin, gezegen sistemlerinin ve galaktik çekirdeklerin dinamiklerini incelemek için kullanılır. ${\görüntüleme stili O(N)}$

Genel görelilik simülasyonları

Birçok simülasyon, bir Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker kozmolojisinin kurulmasında genel göreliliğin etkilerinin önemli olduğu kadar büyüktür . Bu, simülasyona , parçacıkların birlikte hareket eden koordinatlarda yavaşlamasına neden olan (ayrıca fiziksel enerjilerinin kırmızıya kayması nedeniyle ) birlikte hareket eden bir koordinat sisteminde gelişen bir mesafe ölçüsü (veya ölçek faktörü ) olarak dahil edilmiştir . Bununla birlikte, tipik dinamik zaman ölçekleri, simülasyon için ışık geçiş süresi ile karşılaştırıldığında uzun olduğundan ve parçacıklar tarafından indüklenen uzay-zaman eğriliği ve parçacık hızları küçük olduğundan , genel göreliliğin ve sonlu yerçekimi hızının katkıları başka türlü göz ardı edilebilir. . Bu kozmolojik simülasyonların sınır koşulları genellikle periyodiktir (veya toroidaldir), böylece simülasyon hacminin bir kenarı karşı kenarla eşleşir.

Hesaplama optimizasyonları

N- cisim simülasyonları prensipte basittir, çünkü sadece Newton yerçekimindeki parçacık hareketlerini tanımlayan 6 N adi diferansiyel denklemin bütünleştirilmesini içerirler . Uygulamada, sayı K ilgili parçacıkların (tipik simülasyonlar milyonlarca içerir genellikle çok büyük Millennium simülasyon ve sırasına hesaplanabilir artırmıştır gerek parçacık-parçacık etkileşimleri sayısı on milyar dahil) , N ² ve böylece doğrudan diferansiyel denklemlerin entegrasyonu, hesaplama açısından çok pahalı olabilir. Bu nedenle, bir dizi iyileştirme yaygın olarak kullanılmaktadır.

Sayısal entegrasyon genellikle küçük zaman adımlarında, birdirbir entegrasyon gibi bir yöntem kullanılarak gerçekleştirilir . Ancak tüm sayısal entegrasyon hatalara yol açar. Daha küçük adımlar daha az hata verir ancak daha yavaş çalışır. Leapfrog entegrasyonu zaman adımında kabaca 2. derecedendir, Runge-Kutta yöntemleri gibi diğer entegratörler 4. dereceden veya çok daha yüksek doğrulukta olabilir.

En basit iyileştirmelerden biri, her parçacığın kendi zaman adımı değişkenini taşımasıdır, böylece çok farklı dinamik zamanlara sahip parçacıkların hepsinin, en kısa sürede bu oranda ileriye doğru evrimleşmesi gerekmez.

Bu tür simülasyonlar için hesaplama süresini azaltmak için iki temel yaklaşım şeması vardır. Bunlar, doğruluk kaybında hesaplama karmaşıklığını O(N log N) veya daha iyisine indirebilir .

Ağaç yöntemleri

Olarak ağaç yöntemleri gibi a, Barnes Hut simülasyonu , bir octree genellikle tek tek tedavi edilmesi gereken kübik hücreleri ve komşu hücrelerden parçacıklar arasındaki tek etkileşimler hacmi bölmek için kullanılır; uzak hücrelerdeki parçacıklar toplu olarak uzak hücrenin kütle merkezinde ortalanmış tek bir büyük parçacık olarak (veya düşük dereceli çok kutuplu bir genişleme olarak) işlenebilir . Bu, hesaplanması gereken parçacık çifti etkileşimlerinin sayısını önemli ölçüde azaltabilir. Simülasyonun parçacık-parçacık etkileşimlerini hesaplayarak bataklığa uğramasını önlemek için, hücrelerin simülasyonun hücre başına birçok parçacık içeren daha yoğun bölümlerindeki daha küçük hücrelere rafine edilmesi gerekir. Parçacıkların eşit olarak dağılmadığı simülasyonlar için , Callahan ve Kosaraju'nun iyi ayrılmış çift ayrıştırma yöntemleri, sabit boyutlu yineleme başına optimal O( n  log  n ) süresi verir.

parçacık ağı yöntemi

Diğer bir olasılık, uzayın bir ağ üzerinde ayrıklaştırıldığı ve yerçekimi potansiyelini hesaplamak amacıyla parçacıkların ağın yakın köşeleri arasında bölündüğü varsayıldığı parçacık ağ yöntemidir . Potansiyel enerjiyi Φ bulmak kolaydır, çünkü Poisson denklemi

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G{\rho },\,}$

burada G , Newton sabitidir ve yoğunluktur (kafes noktalarındaki parçacıkların sayısı), Poisson denkleminin basit forma sahip olduğu frekans alanına gitmek için hızlı Fourier dönüşümü kullanılarak çözülmesi önemsizdir.${\görüntüleme stili {\rho }}$

${\displaystyle {\hat {\Phi }}=-4\pi G{\frac {\hat {\rho }}{k^{2}}},\,}$

gelen dalga sayısı nerede ve şapkalar Fourier dönüşümlerini gösteriyor. olduğundan , yerçekimi alanı şimdi ters Fourier dönüşümü ile çarpılarak ve hesaplanarak (veya ters dönüşüm hesaplanarak ve daha sonra başka bir yöntem kullanılarak) bulunabilir. Bu yöntem ağ boyutu ile sınırlı olduğundan, pratikte küçük ölçekli kuvvetleri hesaplamak için daha küçük bir ağ veya başka bir teknik (bir ağaç veya basit parçacık-parçacık algoritması ile birleştirme gibi) kullanılır. Bazen, simülasyonun daha yoğun bölgelerinde ağ hücrelerinin çok daha küçük olduğu uyarlanabilir bir ağ kullanılır. ${\displaystyle {\vec {k}}}$${\displaystyle {\vec {g}}=-{\vec {\nabla }}\Phi }$${\displaystyle -i{\vec {k}}}$

Özel durum optimizasyonları

Güneş sistemindeki nesnelerin yolunun oldukça doğru tahminlerini elde etmek için birkaç farklı yerçekimi pertürbasyon algoritması kullanılır.

İnsanlar genellikle bir uyduyu donmuş bir yörüngeye yerleştirmeye karar verirler . Dünya'yı yakından çevreleyen bir uydunun yolu, Dünya'nın merkezi etrafındaki 2 gövdeli eliptik yörüngeden başlayarak ve Dünya'nın oblateliği , Güneş ve Ay'ın yerçekimi çekimi, atmosferik sürükleme nedeniyle küçük düzeltmeler ekleyerek doğru bir şekilde modellenebilir. , vb. Uydunun gerçek yolunu hesaplamadan donmuş bir yörünge bulmak mümkündür.

Küçük bir gezegenin, kuyruklu yıldızın veya uzun menzilli uzay aracının yolu, genellikle güneş etrafındaki 2 gövdeli eliptik yörüngeden başlayarak ve daha büyük gezegenlerin bilinen yörüngelerindeki yerçekimi çekiminden küçük düzeltmeler ekleyerek doğru bir şekilde modellenebilir.

Bir parçacık sisteminin uzun vadeli yollarının bazı özellikleri doğrudan hesaplanabilir. Herhangi bir parçacığın gerçek yolunun bir ara adım olarak hesaplanmasına gerek yoktur. Bu tür özellikler arasında Lyapunov kararlılığı , Lyapunov zamanı , ergodik teoriden çeşitli ölçümler vb.

İki parçacıklı sistemler

Milyonlarca ya da tipik simulasyonlarda parçacıkların milyarlarca olmasına rağmen, bunlar genellikle tipik olarak çok büyük bir kütleye sahip gerçek parçacığa 10 tekabül ⁹ güneş kütlesine . Bu, iki parçacıklı ikili sistemlerin oluşumu gibi parçacıklar arasındaki kısa mesafeli etkileşimlerle ilgili sorunları ortaya çıkarabilir . Parçacıkların çok sayıda karanlık madde parçacığını veya yıldız gruplarını temsil etmesi amaçlandığından, bu ikili dosyalar fiziksel değildir. Bunu önlemek için , kısa mesafelerde yarıçapın karesinin tersi olarak sapmayan, yumuşatılmış bir Newton kuvvet yasası kullanılır. Çoğu simülasyon, simülasyonları sonlu boyuttaki hücreler üzerinde çalıştırarak bunu oldukça doğal bir şekilde uygular. Ayrıklaştırma prosedürünü, parçacıkların her zaman kendi üzerlerine bir yok olma kuvveti uygulayacakları şekilde uygulamak önemlidir.

yumuşatma

Yumuşatma , bir parçacık diğerine çok yaklaştığında (ve kuvvet sonsuza gittiğinde) sayısal sapmaları önlemek için N-cisim tekniklerinde kullanılan sayısal bir numaradır . Bu, her parçacığın düzenli yerçekimi potansiyelini şu şekilde değiştirerek elde edilir:

${\displaystyle \Phi =-{\frac {1}{\sqrt {r^{2}+\epsilon ^{2}}}}},}$

(1/r yerine) yumuşatma parametresi nerede . Yumuşatma parametresinin değeri, simülasyonları gerçekçi tutacak kadar küçük ayarlanmalıdır . ${\görüntüleme stili \epsilon }$

Baryonları, leptonları ve fotonları simülasyonlara dahil etmek

Birçok simülasyon yalnızca soğuk karanlık maddeyi simüle eder ve bu nedenle yalnızca yerçekimi kuvvetini içerir. Birleştirilerek baryonlar , leptonları ve fotonlar simülasyonlar içine dramatik onların karmaşıklığını artırır ve altında yatan fizik sıklıkla radikal basitleştirmeler yapılmalıdır. Bununla birlikte, bu son derece önemli bir alandır ve birçok modern simülasyon artık galaksi oluşumu sırasında meydana gelen ve galaksi yanlılığını hesaba katabilecek süreçleri anlamaya çalışıyor .

hesaplama karmaşıklığı

Reif ve Tate, n- cismi erişilebilirlik problemi şu şekilde tanımlanırsa - sabit bir elektrostatik potansiyel yasasını karşılayan n cisim verildiğinde , bir cismin bir poli( n ) bitine ihtiyaç duyduğumuzda belirli bir zaman sınırında bir hedef topa ulaşıp ulaşmadığının belirlenmesi olduğunu ispatlar . doğruluk ve hedef zaman poly( n ) PSPACE içindedir .

Öte yandan, soru vücudun sonunda hedef topa ulaşıp ulaşmadığıysa, sorun PSPACE-zordur. Bu sınırlar, ışın izleme için elde edilen benzer karmaşıklık sınırlarına dayanmaktadır .

Ayrıca bakınız

• Milenyum Koşusu
• Kozmosun büyük ölçekli yapısı
• CİHAZ
• Galaksi oluşumu ve evrimi
• Doğal birimler
• Başak Konsorsiyumu
• Barnes-Hut simülasyonu
• Bolşoy Kozmolojik Simülasyon

Referanslar

daha fazla okuma

• von Hoerner, Sebastian (1960). "Die numerische Integration des n-Körper-Problemes für Sternhaufen. I". Zeitschrift für Astrofizik (Almanca). 50 : 184. bibcode : 1960ZA ..... 50..184V .
• von Hoerner, Sebastian (1963). "Die numerische Integration des n -Körper-Problemes für Sternhaufen. II". Zeitschrift für Astrofizik (Almanca). 57 : 47'de bibcode : 1963ZA ..... 57 ... 47V .
• Aarseth, Sverre J. (2003). Yerçekimi N- vücut Simülasyonları: Araçlar ve Algoritmalar . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-521-12153-8.
• Bertschinger, Edmund (1998). "Evrende yapı oluşumunun simülasyonları". Astronomi ve Astrofizik Yıllık İnceleme . 36 (1): 599-654. Bibcode : 1998ARA&A..36..599B . doi : 10.1146/annurev.astro.36.1.599 .
• Binney, James; Tremaine, Scott (1987). Galaktik Dinamikler . Princeton Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-691-08445-9.
• Callahan, Paul B.; Kosaraju, Sambasiva Rao (1992). " K -en yakın komşular ve n-gövde potansiyel alanları (ön sürüm) uygulamalarıyla çok boyutlu nokta kümelerinin bir ayrıştırması ". STOC '92: Proc. ACM Belirti. Hesaplama Teorisi . ACM..