Donmuş yörünge - Frozen orbit

Gelen yörünge mekaniği , bir donmuş yörünge bir olan yörünge yapay için uydudan hangi doğal sürüklenen içinde nedeniyle merkez gövde 'ın şekli dikkatli seçilmesiyle minimize edilmiş yörünge parametrelerine . Tipik olarak bu, uzun bir süre boyunca uydunun irtifasının her yörüngede aynı noktada sabit kaldığı bir yörüngedir. Değişiklikler eğim , pozisyon arasında en alt noktasına yörünge ve eksantrisite seçerek kısılmış başlangıç değerlerini kendi böylece pertürbasyonlar yok eder. Bu, istasyon tutan itici gazın kullanımını en aza indiren uzun vadeli kararlı bir yörünge ile sonuçlanır .

Arka plan ve motivasyon

Çoğu uzay aracı için, yörüngelerdeki değişiklikler , Dünya'nın yassılığı , güneş ve aydan gelen yerçekimi, güneş radyasyonu basıncı ve hava sürtünmesinden kaynaklanır . Bunlara "rahatsız edici kuvvetler" denir. Uzay aracını istenen yörüngede tutmak için manevralarla etkisiz hale getirilmeleri gerekir. Yer durağan bir uzay aracı için , yörünge düzlemini Dünya'nın ekvator düzleminden uzaklaştıran güneş ve aydan gelen yerçekimi kuvvetlerine karşı koymak için yılda 40-50 m/s'lik düzeltme manevraları gerekir.

İçin güneşe eşzamanlı uzay aracı , ( "presesyon" olarak adlandırılır) yörünge düzleminin kasıtlı değişen misyon yararına kullanılabilir. Bu görevler için 600-900 km yükseklikte dairesel bir yörünge kullanılır. Uygun bir eğim (97.8-99.0 derece) seçilir, böylece yörünge düzleminin hareketi, Dünya'nın güneş etrafındaki hareket hızına eşit, günde yaklaşık 1 derece olur.

Sonuç olarak, uzay aracı, Dünya üzerindeki her yörüngede günün aynı saatine sahip olan noktaların üzerinden geçecektir. Örneğin, yörünge "güneşe kare" ise, araç her zaman kuzeye giden kısımda saat 6'da ve güneye giden kısımda 6 pm (veya tam tersi) olan noktaların üzerinden geçecektir. Buna "Şafak-Alacakaranlık" yörüngesi denir. Alternatif olarak, güneş yörünge düzleminde bulunuyorsa, araç her zaman kuzeye giden bacakta öğlen olduğu yerlerden ve güneye giden bacaktan gece yarısı olduğu yerlerden (veya tam tersi) geçecektir. Bunlara "Öğlen-Gece Yarısı" yörüngeleri denir. Bu tür yörüngeler, hava durumu, görüntü ve haritalama gibi birçok Dünya gözlem görevi için arzu edilir.

Dünya'nın yassılığından kaynaklanan rahatsız edici kuvvet, genel olarak sadece yörünge düzlemini değil, aynı zamanda yörüngenin eksantriklik vektörünü de bozacaktır . Bununla birlikte, eksantriklik vektörünün seküler/uzun periyodik pertürbasyonlarının olmadığı, sadece periyodu yörünge periyoduna eşit olan periyodik pertürbasyonların olmadığı neredeyse dairesel bir yörünge vardır. Böyle bir yörünge daha sonra mükemmel bir şekilde periyodiktir (yörünge düzlemi devinimi hariç) ve bu nedenle "donmuş yörünge" olarak adlandırılır. Böyle bir yörünge, Dünya'nın aynı alanının tekrarlanan gözlemlerinin mümkün olduğunca sabit gözlem koşulları altında yapılması gereken bir Dünya gözlem görevi için genellikle tercih edilen seçimdir.

Gözlem uydusu ERS-1, ERS-2 ve EnvisatBREAKgörüntüsünde güneşe eşzamanlı dondurulmuş yörüngeleri çalıştırılır.

Ay'ın donmuş yörüngeleri

Ay yörüngesindeki birçok uydu üzerinde yapılan bir çalışma sayesinde , bilim adamları çoğu düşük ay yörüngesinin (LLO) kararsız olduğunu keşfettiler . 27°, 50°, 76° ve 86° eğimde dört donmuş ay yörüngesi tespit edilmiştir. NASA bunu 2006'da açıkladı:

Ay maskonları çoğu alçak ay yörüngesini kararsız hale getirir... Bir uydu 50 veya 60 mil yukarıdan geçerken, maskonlar onu ileri, geri, sola, sağa veya aşağı çeker, çekmenin tam yönü ve büyüklüğü uydunun yörüngesine bağlıdır. Yörüngeyi düzeltmek için yerleşik roketlerden herhangi bir periyodik destek alınmazsa, düşük ay yörüngelerine (yaklaşık 60 mil veya 100 km'nin altında) salınan uyduların çoğu sonunda Ay'a çarpacaktır. ... Bir uzay aracının düşük bir ay yörüngesinde süresiz olarak kalabileceği bir dizi 'donmuş yörünge' [vardır]. Dört eğimde meydana gelirler: 27°, 50°, 76° ve 86°"—sonuncusu neredeyse ay kutuplarının üzerindedir. Nispeten uzun ömürlü Apollo 15 alt uydusu PFS-1'in yörüngesi 28°'lik bir eğime sahipti. , donmuş yörüngelerden birinin eğimine yakın olduğu ortaya çıktı - ancak daha az şanslı olan PFS-2'nin yörünge eğimi sadece 11 ° idi.

klasik teori

Klasik donmuş yörüngeler teorisi esas olarak Dirk Brouwer'in NASA ile sözleşmeli olarak yaptığı ve 1959'da yayınlanan yapay uyduları için analitik pertürbasyon analizine dayanmaktadır .

Bu analiz şu şekilde gerçekleştirilebilir:

Madde olarak yörünge pertürbasyon analizi yörünge kutup laik pertürbasyon gelen süresi izgesindeki modeli olduğu gösterilmektedir ${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\,}$${\ Displaystyle J_{2}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2} }\ \cos ben\ \sin i\quad {\hat {g}}}$

( 1 )

yörünge elemanları cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle \Delta i\ =\ 0}$

( 2 )

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \ çünkü }$

( 3 )

Terim için de benzer bir analiz yapıldığında (dünyanın hafif armut şeklinde olduğu gerçeğine tekabül eder ), ${\displaystyle J_{3}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}} \ \cos ben\ \left(\ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\sağ)\ {\hat {g}}\ - \ e_{g}\ \sol(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\sağ)\ {\hat {h}}\sağ)}$

( 4 )

yörünge elemanları cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle \Delta i\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ e_{g}\ \sol(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\sağ)}$

( 5 )

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ {\frac { \cos i}{\sin i}}\ \ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\sağ)}$

( 6 )

Aynı makalede, eksantriklik vektörünün bileşenlerinin neden olduğu seküler bozulmanın şu şekilde olduğu gösterilmiştir: ${\ Displaystyle J_{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sol(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\sağ)\ =\ &-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\left({\frac {3}{2}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\sağ)\ (-e_ {h},e_{g})\ +\ 2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos ^{2}i\sol(-e_{h},e_{g}\sağ)\ =\\&-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}} }\ 3\sol({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\sağ)\ \left(-e_{h},e_{g}\sağ)\end {hizalı}}}$

( 7 )

nerede:

• İlk terim, bozucu kuvvetin düzlem içi bileşeninin neden olduğu eksantriklik vektörünün düzlem içi pertürbasyonudur.
• İkinci terim, yeni yörünge düzleminde yükselen düğümün yeni konumunun etkisidir, yörünge düzlemi düzlem dışı kuvvet bileşeni tarafından bozulur.

Birinci terim için, yani düzlem içi kuvvet bileşeninden eksantriklik vektörünün pertürbasyonu için elde edilen terim için analiz yapılması${\displaystyle J_{3}\,}$

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac { 5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\sağ)\left(\left(1-{e_{g}}^{2}+4\ {e_{h}}^{ 2}\sağ)\ {\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\sağ)}$

( 8 )

97.8-99.0 derece aralığındaki eğimler için, ( 6 ) ile verilen değer, ( 3 ) tarafından verilen değerden çok daha küçüktür ve göz ardı edilebilir. Benzer şekilde ( 8 )' deki eksantriklik vektör bileşenlerinin ikinci dereceden terimleri neredeyse dairesel yörüngeler için göz ardı edilebilir, yani ( 8 ) ile yaklaşık olarak hesaplanabilir. ${\ Displaystyle \ Delta \ Omega \,}$

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac { 5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\sağ)\ {\hat {g}}}$

( 9 )

Katkı ekleme${\displaystyle J_{3}\,}$${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac { 5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\sağ)\ (1,\ 0)}$

( 7 ) bir alır

${\displaystyle \left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\sağ)\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}} \ 3\sol({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\sağ)\ \left(-\left(e_{h}+{\frac {J_{3) }\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\sağ),\ e_{g}\sağ)}$

( 10 )

Şimdi fark denklemi, eksantriklik vektörünün, nokta merkezli bir daireyi tanımlayacağını gösteriyor ; eksantriklik vektörünün kutupsal argümanı, ardışık yörüngeler arasındaki radyanla artar . ${\displaystyle \sol(\ 0,\ ​​-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \sağ)\,}$${\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2} i\ -\ 1\sağ)\,}$

Olarak

${\displaystyle \mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,}$

bir kutupsal yörünge ( ) elde edilir, bununla çemberin merkezi bulunur ve kutupsal argümanın değişimi yörünge başına 0.00400 radyandır. ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$${\displaystyle p=7200{\metin{ km}}\,}$${\görüntüleme stili (0,\ 0.001036)\,}$

İkinci şekil, eksantriklik vektörünün 1569 yörüngede tam bir daire tanımlamış olacağı anlamına gelir. Ortalama dışmerkezlik vektörü olarak ilk ortalama dışmerkezlik vektörünün seçilmesi, ardışık yörüngeler için sabit kalacaktır, yani yörünge donmuştur çünkü ( 7 ) ile verilen terimin ve ( 9 ) tarafından verilen terimin seküler pertürbasyonları birbirini götürmektedir . ${\görüntüleme stili (0,\ 0.001036)\,}$${\ Displaystyle J_{2}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$

Klasik yörünge elemanları açısından bu, donmuş bir yörüngenin aşağıdaki ortalama elemanlara sahip olması gerektiği anlamına gelir:

${\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\\sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,}$

${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}$

modern teori

Modern donmuş yörüngeler teorisi, Mats Rosengren'in 1989 tarihli bir makalesinde verilen algoritmaya dayanmaktadır.

Bunun için analitik ifade ( 7 ), ilk (ortalama) eksantriklik vektörünü tekrarlayarak güncellemek için kullanılır ve (ortalama) eksantriklik vektörünün daha sonra kesin sayısal yayılımla hesaplanan (ortalama) eksantriklik vektörünün tam olarak aynı değeri almasını sağlar. Bu şekilde, terimin neden olduğu eksantriklik vektörünün dünyevi karışıklığı, yalnızca terimin neden olduğu (egemen) tüm dünyevi rahatsızlıklara karşı koymak için kullanılır . Bu şekilde telafi edilebilecek böyle bir ek seküler pertürbasyon, güneş radyasyonu basıncının neden olduğu pertürbasyondur, bu pertürbasyon " Yörünge pertürbasyon analizi (uzay aracı) " makalesinde tartışılmaktadır . ${\ Displaystyle J_{2}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$

Yukarıda ele alındığı durumda, örneğin, polar bir yörünge (bu algoritma uygulanması ile) dışındaki tüm oynatıcı kuvvet göz ardı ve sayısal yayılma biri için güçleri, yani "klasik teorisi", tam olarak aynı optimum ortalama eksantriklik vektör alır . ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$${\displaystyle p=7200{\metin{ km}}\,}$${\ Displaystyle J_{2}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$${\görüntüleme stili (0,\ 0.001036)\,}$

Daha yüksek bölge terimlerinden kaynaklanan kuvvetleri de dahil ettiğimizde, optimal değer olarak değişir . ${\görüntüleme stili (0,\ 0.001285)\,}$

Buna ek olarak uygun bir güneş baskı varsayarak (bir "enine kesit alan" 0,05 m ² / kg , artan düğüme doğru yönde güneşe yönde) ortalama dışmerkezlik vektörü için en uygun değer haline olduğu tekabül: , Optimal değer yani değil artık. ${\görüntüleme stili (0.000069,\ 0.001285)\,}$${\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,}$ ${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}$

Bu algoritma, Dünya gözlem uyduları ERS-1, ERS-2 ve Envisat için kullanılan yörünge kontrol yazılımında uygulanmaktadır.

J ₃ pertürbasyonu için kapalı form ifadelerinin türetilmesi

Donmuş bir yörüngeye sahip olmak için karşı konulması gereken ana rahatsız edici kuvvet, " kuvvet", yani Dünya'nın kuzey/güneyindeki kusurlu bir simetrinin neden olduğu yerçekimi kuvvetidir ve "klasik teori", kapalı form ifadesine dayanmaktadır. bu " tedirginlik". "Modern teori" ile bu açık kapalı biçim ifadesi doğrudan kullanılmaz, ancak yine de onu türetmeye değer. ${\displaystyle J_{3}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$

Bu ifadenin türetilmesi şu şekilde yapılabilir:

Bir bölgesel terimden gelen potansiyel, Dünyanın kutup ekseni etrafında dönme simetriktir ve karşılık gelen kuvvet, bir bileşeni radyal yönde ve bir bileşeni kuzeye doğru radyal yöne dik olan bir bileşen ile tamamen uzunlamasına bir düzlemdedir . Bu yönler ve Şekil 1'de gösterilmektedir. ${\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,}$${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$

Jeopotansiyel model makalesinde , terimin neden olduğu bu kuvvet bileşenlerinin olduğu gösterilmiştir.${\displaystyle J_{3}\,}$

${\displaystyle {\begin{hizalı}&F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin \lambda \ \left(5\sin ^{2 }\lambda \ -\ 3\sağ)\\&F_{\lambda }=-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos \lambda \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\sağ)\end{hizalı}}}$

( 11 )

Yörünge pertürbasyon analizi (uzay aracı) makalesinde türetilen ilişkileri uygulayabilmek için kuvvet bileşeninin iki ortogonal bileşene bölünmesi ve şekil 2'de gösterildiği gibi olması gerekir.${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}}$${\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}$

Izin (merkezinde Earth merkezinden orijinli dikdörtgen koordinat sistemini oluşturan Referans elipsoid ) bu şekilde yön kuzey ve bu tür noktaları ile Dünya * nm ekvatoral düzlem içindedir dönük artan düğümü , yani Şekil 2'deki mavi noktaya doğru ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,}$${\displaystyle {\hat {a}}\,}$

Birim vektörlerin bileşenleri

${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,}$

( Şekil 2'de gösterilen) yerel koordinat sistemini oluşturan ve ile ilişkisini ifade eden aşağıdaki gibidir: ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$

${\displaystyle r_{a}=\cos u\,}$

${\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,}$

${\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,}$

${\displaystyle t_{a}=-\sin u\,}$

${\displaystyle t_{b}=\cos ben\ \cos u\,}$

${\displaystyle t_{n}=\sin i\ \ çünkü u\,}$

${\displaystyle z_{a}=0\,}$

${\displaystyle z_{b}=-\sin i\,}$

${\displaystyle z_{n}=\çünkü ben\,}$

ortogonal birim vektörlerin göreceli kutupsal argümanı ve yörünge düzleminde nerede${\görüntüleme stili u\,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,}$${\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}$

İlk önce

${\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,}$

ekvator düzlemi ile (şekil 2'deki yeşil noktalar arasındaki) arasındaki açı nerede ve bu nedenle Jeopotansiyel model makalesinin (12) denkleminden biri elde edilir ${\ Displaystyle \ lambda \,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$

${\displaystyle F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin i\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2} i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\sağ)}$

( 12 )

İkinci yön kuzey projeksiyonu , düzlem tarafından yayılmış IS ${\displaystyle {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$

${\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos ben\ {\hat {z}}\,}$

ve bu projeksiyon

${\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,}$

burada birim vektör , Şekil 1 'de gösterilen kuzeye doğru radyal yöne dik. ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$${\ Displaystyle {\ şapka {\lambda }}}$

Denklemden ( 11 ) görüyoruz ki

${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}} \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\sağ)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{ r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\ şapka {t}}\ +\ \çünkü ben\ {\hat {z}})\,}$

ve bu nedenle:

${\displaystyle F_{t}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{ 2}i\ \sin ^{2}u\ -1\sağ)\ \sin i\ \cos u}$

( 13 )

${\displaystyle F_{z}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{ 2}i\ \sin ^{2}u\ -1\sağ)\ \cos ben}$

( 14 )

Makale içinde orbital pertürbasyon analizi (uzay aracı) ayrıca yörünge kutup laik pertürbasyon olduğu gösterilmiştir olduğu ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ {\frac {1}{\mu p}}\sol[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\cos u\ du+\ {\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}}$

( 15 )

İçin ifade Tanıtımı (arasında 14 içinde) ( 15 ), bir alır ${\displaystyle F_{z}\,}$

${\displaystyle {\begin{hizalı}&\Delta {\hat {z}}\ =-{\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{ 2}}\ \cos i\ \cdot \\&\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}) }\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du\ +{\hat {h}}\ int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\sağ)\sin u\ ​​du\right]\quad \times \ {\hat {z}}\end{hizalı}}}$

( 16 )

fraksiyonu bir ${\displaystyle {\frac {p}{r}}\,}$

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

nerede

${\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega }$

${\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega }$

koordinat sistemindeki eksantriklik vektörünün bileşenleridir . ${\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}$

türdeki tüm integraller gibi

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

ikisi de değilse sıfırdır ve çifttir, görüyoruz ki ${\görüntüleme stili n\,}$${\görüntüleme stili m\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\sağ)\cos u\ du&=\ 2\ e_{g}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2} u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{g}\ ({\frac {5}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{hizalı}}}$

( 17 )

ve

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\sağ)\sin u\ ​​du&=\ 2\ e_{h}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{4}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\ du\right)\ \&=\ 2\pi \ e_{h}\ ({\frac {15}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{hizalı}}}$

( 18 )

Bunu takip ediyor

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\Delta {\hat {z}}\ &=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}+ \ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\sağ]\quad \times \ {\hat {z}} \\&=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \sol[\ e_ {h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}\ -e_{g}\ (1-{\frac {5}{} 4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\sağ]\end{hizalı}}}$

( 19 )

nerede

${\displaystyle {\hat {g}}\,}$ve ekvator düzleminde yükselen düğüme doğru olan referans Kepler yörüngesinin düzlemindeki dikdörtgen koordinat sisteminin taban vektörleridir ve bu ekvator koordinat sistemine göre kutupsal argümandır.${\displaystyle {\hat {h}}\,}$${\displaystyle {\hat {g}}\,}$${\görüntüleme stili u\,}$

${\displaystyle f_{z}\,}$ yörünge kutbu yönünde kuvvet bileşenidir (birim kütle başına) ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

Yörünge pertürbasyon analizi (uzay aracı) makalesinde , eksantriklik vektörünün seküler pertürbasyonunun olduğu gösterilmiştir.

${\displaystyle \Delta {\bar {e}}\ ={\frac {1}{\mu }}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t} }\ f_{r}\ +\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\sağ)\ f_{t}\sağ)\ r^{2}\ du}$

( 20 )

nerede

• ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,}$Dünya'dan uzağa yönlendirilmiş birim vektöre sahip olağan yerel koordinat sistemidir${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta}$ - yönde hız bileşeni ${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$ - yönde hız bileşeni ${\displaystyle {\hat {t}}\,}$

İçin ifade Tanıtımı (arasında 12 ) ve ( 13 de) ( 20 ), bir alır ${\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\ &\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}- {\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\sağ)\ {\sol({\frac {p}{r}}\sağ)}^{3} \ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du\end{hizalı }}}$

( 21 )

bunu kullanmak

${\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ ​​-\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac { p}{r}}}}$

yukarıdaki integral 8 terime bölünebilir:

${\displaystyle {\begin{hizalı}&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}) \right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2 \ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\sağ)\ {\sol({\frac {p}{r}) }\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)\ du\ =\\&-10\sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\\&+6\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t }}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{3}\ \sin u\ ​​du\\&-15\ \sin ^{2}i\int \limits _{ 0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\sol({\frac {p}{r}}\sağ)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u \ du\\&+3\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{ 3}\ \cos u\ du\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\int \limits _{0}^{2\pi }{\ hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\ \ \ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\\&-{\ frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\ \ \ \sin ^{2} u\ \cos ^{2}u\ du\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\hat { t}}\ {\sol({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\ \ \sin u\ ​​\cos u\ du\\&+{\frac {3}{2} }\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2 }\ \ \cos ^{2}u\ du\end{hizalı}}}$

( 22 )

Verilen

${\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ ​​{\hat {h}}}$

${\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ ​​{\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}}$

elde ederiz

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

ve bu türdeki tüm integraller

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

ikisi de değilse sıfırdır ve çifttir: ${\görüntüleme stili n\,}$${\görüntüleme stili m\,}$

1. dönem

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)} ^{3}\ \sin ^{3}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}) {r}}\sağ)}^{3}\ \sin ^{4}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\sol( {\frac {p}{r}}\sağ)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \sol(\ int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2 \pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\ pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \sağ)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{ 2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}) {8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{ 2}\sağ)\sağ)+{\hat {h}}\ \sol(2\pi \sol({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\sağ)\ sağ)\end{hizalanmış}}}$

( 23 )

2. dönem

${\displaystyle {\begin{hizalı}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)} ^{3}\ \sin u\ ​​du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}} \right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac { p}{r}}\sağ)}^{3}\ \sin u\ ​​\cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^ {2\pi }\ \sin ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{ 2}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6 }u\ du\ \sağ)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^ {2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ { \frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\sağ)\sağ) +{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\sağ)\sağ)\end{hizalı}} }$

( 24 )

3. Dönem

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)} ^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^ {2\pi }\ {\sol({\frac {p}{r}}\sağ)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}} ^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^ {2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du\ \sağ)\\&+{\hat {h} }\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\& {\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2 }\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\sağ)\sağ)+{\hat {h}}\ \sol(2\pi \sol({ \frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\sağ)\sağ)\end{hizalı}}}$

( 25 )

4. dönem

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)} ^{3}\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}}\ sağ)}^{3}\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p }{r}}\sağ)}^{3}\ \sin u\ ​​\cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2 \pi }\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u \ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ \sağ)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2} u\ \sin ^{2}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9) }{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\sağ)\sağ)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \sol({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\sağ)\sağ)\end{hizalı}}}$

( 26 )

5. Dönem

${\displaystyle {\begin{hizalı}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)} ^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\ frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\ \sin ^{4}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2 \pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&- {\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat { g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\sağ)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{ 8}}\ e_{h}\sağ)\end{hizalı}}}$

( 27 )

6. Dönem

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)} ^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\ sol({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \ sınırlar _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{3}u \ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{ 2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{4}u \ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\sağ)+{\hat {h}}\ \left(2\ pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\sağ)\end{hizalı}}}$

( 28 )

7. Dönem

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)} ^{2}\ \sin u\ ​​\cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}) {r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\ \sin u\ ​​\cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_ {h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2 \pi {\frac {1}{4}}\ e_{g}\sağ)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h} \sağ)\end{hizalanmış}}}$

( 29 )

dönem 8

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)} ^{2}\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}) {r}}\right)}^{2}\ \sin u\ ​​\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{2}\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{ h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}} \ e_{h}\sağ)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {3}{4}}\ e_{g}\sağ)\end{hizalı}}}$

( 30 )

Olarak

${\displaystyle {\begin{aligned}&-10\sin ^{2}i\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\ frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\sağ)+{\hat {h}}\ \sol({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\sağ)\sağ)\\&+6\ \sol(-{\hat {g} }\ \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8 }}\ {e_{h}}^{2}\sağ)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\sağ) )\right)\\&-15\sin ^{2}i\ \left({\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}) {16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\sağ)+{\hat {h}} \ \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\sağ)\sağ)\\&+3\sol({\hat {g}}\ \sol({ \frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{ h}}^{2}\sağ)+{\hat {h}}\ \sol({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\sağ)\sağ)\\ &+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}) \ e_{g}\sağ)+{\hat {h}}\ \sol({\frac {1}{8}}\ e_{h}\sağ)\sağ)\\&-{\frac {15 }{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{h}\sağ) ) +{\hat {h}}\ \sol({\frac {1}{8}}\ e_{g}\sağ)\sağ)\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{ g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{g}\sağ)+{\hat {h}}\ \left({\ frac {1}{4}}\ e_{h}\sağ)\sağ)\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}} \ \left({\frac {1}{4}}\ e_{h}\sağ)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ sağ)\sağ)=\\&{\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\sağ)\sol ((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h }\ {\hat {h}}\sağ)\son{hizalanmış}}}$

( 31 )

Bunu takip ediyor

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\ &\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\sağ)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}- {\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\sağ)\ {\sol({\frac {p}{r}}\sağ)}^{3} \ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\sağ)\ \cos u\sağ)du=\\&2 \pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ {\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4 }}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\sağ)\left((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){ \hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\sağ)\end{hizalı}}}$

( 32 )

Referanslar

daha fazla okuma

• DONMUŞ Yörüngenin KOMŞULUĞUNDA Yörünge Elemanlarının İncelenmesi. atmosferik sürtünme ve J ₅ terimleri dahil