Düzlemsel simetri gruplarının listesi - List of planar symmetry groups

Bu makalede, sınıfları özetler ayrık simetri grupları arasında Öklid düzleminde . Simetri grupları burada üç adlandırma şemasıyla adlandırılır: Uluslararası notasyon , orbifold notasyonu ve Coxeter notasyonu . Düzlemin üç çeşit simetri grubu vardır:

• 2 rozet grubu ailesi – 2D nokta grupları
• 7 friz grubu – 2D çizgi grupları
• 17 duvar kağıdı grubu – 2D uzay grupları .

Rozet grupları

Ayrık iki boyutlu nokta gruplarının iki ailesi vardır ve bunlar gruptaki dönme grubunun sırası olan n parametresi ile belirtilir .

Aile	Uluslararası ( orbifold )	Schön.	Geo Coxeter	Emir	Örnekler
döngüsel simetri	sayı (n•)	C n	n [n] +	n	C 1 , [ ] + (•)	C 2 , [2] + (2•)	C 3 , [3] + (3•)	C 4 , [4] + (4 )	C 5 , [5] + (5•)	C 6 , [6] + (6 )
dihedral simetri	n m (*n•)	D n	n [n]	2 n	D 1 , [ ] (*•)	D 2 , [2] (*2•)	D 3 , [3] (*3•)	D 4 , [4] (*4•)	D 5 , [5] (*5•)	D 6 , [6] (*6 )

Friz grupları

7 friz grubu , iki boyutlu çizgi grupları , bir periyodiklik yönü ile beş notasyon ismiyle verilmiştir. Schönflies notasyonu 7 dihedral gruplarının Sonsuz limitler olarak verilir. Sarı bölgeler, her birinde sonsuz temel alanı temsil eder.

[1,∞], IUC ( orbifold ) coğrafi Schönflies coxeter temel etki alanı Örnek p1m1 (*∞•) p1 C ∞v [1,∞] sokulmak p1 (∞•) s 1 C ∞ [1,∞] + hoplamak [2,∞ + ], IUC (orbifold) coğrafi Schönflies coxeter temel etki alanı Örnek p11m (∞*) P. 1 C ∞h [2,∞ + ] zıplamak p11g (∞×) P. g 1 S 2∞ [2 + ,∞ + ] adım

[2,∞], IUC (orbifold) coğrafi Schönflies coxeter temel etki alanı Örnek p2mm (*22∞) p2 D ∞h [2,∞] Dönerek atlama p2mg (2*∞) p2 g D ∞d [2 + ,∞] dönen taraf p2 (22∞) p 2 D ∞ [2,∞] + dönen hop

Duvar kağıdı grupları

Sonlu temel alanlara sahip 17 duvar kağıdı grubu , düzlemdeki 5 Bravais kafesi tarafından sınıflandırılan Uluslararası notasyon , orbifold notasyonu ve Coxeter notasyonu ile verilir : kare , eğik (paralelkenarmatik), altıgen (eşkenar üçgen), dikdörtgen (merkezli eşkenar dörtgen ) ve eşkenar dörtgen (ortalanmış dikdörtgen).

P1 ve p2 grupları, herhangi bir yansıtmacı simetrisine sahip, her sınıftan tekrarlanır. İlgili saf yansımalı Coxeter grubu , oblik hariç tüm sınıflarla birlikte verilmektedir.

Kare [4,4], IUC ( Orb. ) Geo coxeter Etki alanı Conway adı p1 (°) p 1 monotropik p2 (2222) p 2 [4,1 + ,4] + [1 + ,4,4,1 + ] + ditropik pgg (22×) sayfa g 2 g [4 + ,4 + ] Diglide pm (*2222) s2 [4,1 + ,4] [1 + ,4,4,1 + ] disskobik cmm (2*22) c2 [(4,4,2 + )] Dirhombik p4 (442) s 4 [4,4] + tetratropik p4g (4 x 2) p gr 4 [4 + ,4] dörtlü p4m (*442) p4 [4,4] tetraskobik

Dikdörtgen [∞ h ,2,∞ v ], IUC (Orb.) Coğrafi coxeter Etki alanı Conway adı p1 (°) p 1 [∞ + ,2,∞ + ] monotropik p2 (2222) p 2 [∞,2,∞] + ditropik pg(h) (××) p g 1 h: [∞ + ,(2,∞) + ] monoglide pg(v) (××) p g 1 v: [(∞,2) + ,∞ + ] monoglide pgm (22 *) p gr 2 h: [(∞,2) + ,∞] Digyro pmg (22*) s g 2 v: [∞,(2,∞) + ] Digyro pm(h) (**) p1 h: [∞ + ,2,∞] monoskopik pm(v) (**) p1 v: [∞,2,∞ + ] monoskopik pm (*2222) s2 [∞,2,∞] disskobik

Eşkenar dörtgen [∞ h ,2 + ,∞ v ], IUC (Orb.) Coğrafi coxeter Etki alanı Conway adı p1 (°) p 1 [∞ + ,2 + ,∞ + ] monotropik p2 (2222) p 2 [∞,2 + ,∞] + ditropik cm(h) (*×) c1 h: [∞ + ,2 + ,∞] monohombik cm(v) (*×) c1 v: [∞,2 + ,∞ + ] monohombik pgg (22×) sayfa g 2 g [((∞,2) + ) [2] ] Diglide cmm (2*22) c2 [∞,2 + ,∞] Dirhombik Paralelogrammatik ( eğik ) p1 (°) p 1 monotropik p2 (2222) p 2 ditropik

Altıgen /Üçgen [6,3],/ [3 [3] ], IUC (Orb.) Coğrafi coxeter Etki alanı Conway adı p1 (°) p 1 monotropik p2 (2222) p 2 [6,3] Δ ditropik cmm (2*22) c2 [6,3] ⅄ Dirhombik s3 (333) s 3 [1 + ,6,3 + ] [3 [3] ] + tritropik p3m1 (*333) p3 [1 + ,6,3] [3 [3] ] triskobik p31m (3*3) h3 [6,3 + ] trigyro p6 (632) s 6 [6,3] + heksatropik p6m (*632) p6 [6,3] altıgen

Duvar kağıdı alt grup ilişkileri

17 duvar kağıdı grubu arasındaki alt grup ilişkileri

		Ö	2222	××	**	*×	22×	22*	*2222	2*22	442	4*2	*442	333	*333	3*3	632	*632
		p1	p2	sayfa	öğleden sonra	santimetre	pgg	pmg	pm	cmm	p4	p4g	p4m	p3	p3m1	p31m	p6	p6m
Ö	p1	2
2222	p2	2	2	2
××	sayfa	2		2
**	öğleden sonra	2		2	2	2
*×	santimetre	2		2	2	3
22×	pgg	4	2	2			3
22*	pmg	4	2	2	2	4	2	3
*2222	pm	4	2	4	2	4	4	2	2	2
2*22	cmm	4	2	4	4	2	2	2	2	4
442	p4	4	2								2
4*2	p4g	8	4	4	8	4	2	4	4	2	2	9
*442	p4m	8	4	8	4	4	4	4	2	2	2	2	2
333	p3	3												3
*333	p3m1	6		6	6	3								2	4	3
3*3	p31m	6		6	6	3								2	3	4
632	p6	6	3											2			4
*632	p6m	12	6	12	12	6	6	6	6	3				4	2	2	2	3

Ayrıca bakınız

• Küresel simetri gruplarının listesi
• Orbifold notasyonu#Hiperbolik düzlem - Hiperbolik simetri grupları

Notlar

Referanslar

• Şeylerin Simetrileri 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN  978-1-56881-220-5 (çokyüzlü, Öklid ve hiperbolik döşemeler için Orbifold gösterimi)
• Kuaterniyonlar ve Oktonyonlar Üzerine , 2003, John Horton Conway ve Derek A. Smith ISBN  978-1-56881-134-5
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editörlük F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [2]
  • (Kağıt 22) HSM Coxeter, Düzenli ve Yarı Düzenli Politoplar I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Kağıt 23) HSM Coxeter, Düzenli ve Yarı Düzenli Politoplar II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Kağıt 24) HSM Coxeter, Düzenli ve Yarı Düzenli Politoplar III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Coxeter, HSM & Moser, WOJ (1980). Ayrık Gruplar için Üreticiler ve İlişkiler . New York: Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-09212-9.
• NW Johnson : Geometriler ve Dönüşümler , (2018) ISBN  978-1-107-10340-5 Bölüm 12: Öklid Simetri Grupları

Dış bağlantılar

• Orbifold notasyonunda "Conway'in el yazması" (Notasyon bu orijinalden değiştirildi , şimdi açık nokta yerine x ve kapalı nokta yerine o kullanılıyor)
• 17 Duvar Kağıdı Grubu