Sınır noktası kompakt - Limit point compact

Matematik olarak, bir topolojik alan X olduğu söylenir sınır noktası, kompakt veya zayıf sayılabilir kompakt her sonsuz alt kümesi ise X bir sahiptir sınır noktasını içinde X . Bu özellik, kompakt uzayların bir özelliğini genelleştirir . Bir metrik uzayda limit noktası kompaktlığı, kompaktlık ve sıralı kompaktlık hepsi eşdeğerdir. Ancak genel topolojik uzaylar için bu üç kompaktlık kavramı eşdeğer değildir.

Özellikler ve örnekler

• Bir topolojik uzayda, limit noktası olmayan altkümeler, tam olarak altuzay topolojisinde kapalı ve ayrık olanlardır. Dolayısıyla bir uzay, ancak ve ancak tüm kapalı ayrık altkümeleri sonluysa, sınır nokta kompakttır.
• Bir X uzayı , ancak ve ancak sonsuz kapalı ayrık bir alt uzayı varsa , sınır nokta kompaktı değildir . Kapalı bir ayrık alt kümesinin herhangi bir alt kümesi yana X kendisi kapalı olan , X ve ayrı, bu gerektirir eşdeğerdir X, bir sayılabilir sonsuz kapalı ayrık alt uzay sahiptir.
• Sınır noktası kompakt olmayan bazı uzay örnekleri: (1) Tamsayılar sonsuz bir küme olduğundan, ancak içinde bir sınır noktası bulunmadığından, olağan topolojisi ile tüm gerçek sayıların kümesi ; (2) ayrık topoloji ile sonsuz bir küme; (3) sayılamayan bir kümede sayılabilir tamamlayıcı topoloji .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Her sayılabilir kompakt uzay (ve dolayısıyla her kompakt uzay) limit noktası kompakttır.
• İçin , T ₁ boşluklar , sınır noktası kompaktlık sayılabilir kompakt eşdeğerdir.
• Sayılabilir kompakt değildir sınır noktası, kompakt boşluk bir örnek ürün alarak, yani, "tamsayılar katlama" ile elde edilir Tüm tamsayılar grubu olan ayrık topoloji ve vardır bölünmemiş topoloji . Uzay , tek-çift topolojisine göre homeomorfiktir . Bu boşluk T ₀ değil . Sınır noktası kompakttır çünkü boş olmayan her altkümenin bir limit noktası vardır.${\displaystyle X=\mathbb {Z} \time Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\görüntüleme stili Y=\{0,1\}}$${\görüntüleme stili X}$
• Sınır noktası kompakt olan ve sayılabilir kompakt olmayan T ₀ uzayına bir örnek , doğru sıra topolojisine sahip tüm gerçek sayıların kümesi , yani tüm aralıklar tarafından üretilen topolojidir . Uzay sınır noktası kompakttır çünkü verilen herhangi bir nokta , her biri 'nin bir sınır noktasıdır .${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\görüntüleme stili (x,\infty )}$${\displaystyle a\in X}$${\görüntüleme stili x<a}$${\görüntüleme stili \{a\}}$
• Metrikleştirilebilir uzaylar için kompaktlık, sayılabilir kompaktlık, limit noktası kompaktlığı ve sıralı kompaktlık eşdeğerdir.
• Bir limit nokta kompakt uzayının kapalı alt uzayları limit nokta kompakt uzaylardır.
• Bir limit noktası kompakt uzayının sürekli görüntüsünün limit noktası kompakt olması gerekmez. Örneğin, ile ayrık ve yukarıdaki örnekte olduğu gibi bölünmemiş, harita ilk koordinat üzerine çıkıntı tarafından verilen süreklidir fakat sınır noktası kompakt değildir.${\displaystyle X=\mathbb {Z} \time Y}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\görüntüleme stili Y}$${\displaystyle f=\pi _{\mathbb {Z}}}$${\displaystyle f(X)=\mathbb {Z} }$
• Bir limit noktası kompakt uzayı pseudocompact olmak zorunda değildir . Ayrık olmayan iki noktalı uzay ve görüntüsü ile sınırlı olmayan harita ile aynı tarafından bir örnek verilmiştir .${\displaystyle X=\mathbb {Z} \time Y}$${\görüntüleme stili Y}$${\displaystyle f=\pi _{\mathbb {Z}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Bir sözde kompakt uzayın limit noktası kompakt olması gerekmez. Sayılabilir topoloji ile sayılamayan bir küme tarafından bir örnek verilmiştir .
• Her normal psödokompakt uzay limit noktası kompakttır.
  İspat : Diyelim ki limit noktası kompakt olmayan normal bir uzay. 'nin sayılabilir sonsuz kapalı ayrık bir alt kümesi vardır . Tarafından Tietze uzantısı teoremi sürekli fonksiyon ile tanımlanan tüm bir (sınırsız) gerçek değerli sürekli bir fonksiyona uzatılabilir . Yani sözde kompakt değil.${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle A=\{x_{n}:n=1,2,\ldots \}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili f(x_{n})=n}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$
• Limit noktalı kompakt uzaylar sayılabilir genişliğe sahiptir .
• ( X , T ) ve ( X , T* ) T*' den T'den daha ince topolojik uzaylarsa ve ( X , T* ) limit nokta kompakt ise, ( X , T ) öyledir .

Ayrıca bakınız

• Kompakt alan
• Sıralı kompakt uzay
• Sayılabilir kompakt alan

Notlar

Referanslar

• James Munkres (1999). Topoloji (2. baskı). Prentice Salonu . ISBN'si 0-13-181629-2.
• Lynn Arthur Steen ve J. Arthur Seebach, Jr., Topolojide Karşı Örnekler . Springer-Verlag, New York, 1978. Dover Publications tarafından yeniden basılmıştır, New York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (Dover baskısı).
• Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath'te Weakly sayılabilir kompakttan materyal içermektedir .