Löwenheim numarası - Löwenheim number

Olarak matematiksel mantık Löwenheim sayısı bir bölgesinin arka mantığı en küçük asılsayı zayıf aşağı doğru olan Löwenheim-Skolem teoremi tutar. Adlarını , bunların çok geniş bir mantık sınıfı için var olduğunu kanıtlayan Leopold Löwenheim'dan almıştır .

Soyut mantık

Löwenheim sayılarının amacı için soyut bir mantık şunlardan oluşur:

• "Cümleler" koleksiyonu;
• Her birine bir temel nitelik atanmış bir "modeller" koleksiyonu;
• Belirli bir cümlenin belirli bir model tarafından "tatmin edildiğini" söyleyen cümleler ve modeller arasındaki ilişki.

Teorem, cümlelerin veya modellerin veya doyum ilişkisinin herhangi bir özel özelliğini gerektirmez ve bunlar sıradan birinci dereceden mantığın aynısı olmayabilir . Bu nedenle, birinci dereceden mantık , yüksek dereceden mantık ve sonsuz mantık dahil olmak üzere çok geniş bir mantık koleksiyonu için geçerlidir .

Tanım

L mantığının Löwenheim sayısı en küçük kardinaldir κ öyle ki keyfi bir L cümlesinin herhangi bir modeli varsa, cümlenin κ'dan büyük olmayan bir kardinalite modeli vardır.

Löwenheim, aşağıdaki argümanı kullanarak cümle koleksiyonunun bir küme oluşturduğu herhangi bir mantık için bu kardinalin varlığını kanıtladı. Böyle bir mantık göz önüne alındığında, her bir cümle cp için, κ izin _j φ herhangi bir model varsa, cp bir modelin en küçük kardinalitesi olabilir ve κ izin _j aksi 0 olur. Sonra kardinaller seti

{κ _φ  : φ, L' de bir cümledir }

tarafından mevcut değiştirme aksiyomuna . Yapım gereği bu setin üstünlüğü L' nin Löwenheim sayısıdır . Bu argüman yapıcı değildir: Löwenheim sayısının varlığını kanıtlar, ancak onu hesaplamak için acil bir yol sağlamaz.

Uzantılar

Tanımın iki uzantısı dikkate alınmıştır:

• Löwenheim-Skolem sayısı soyut mantığı L cümle herhangi bir set ise böyle κ küçük kardinal T ⊆ L daha sonra bir model vardır bu daha büyük boyutta bir modeli vardır (| maksimum T , κ |) .
• Löwenheim-Skolem Tarski sayısı ve L ise en küçük ana şekildedir bir herhangi bir yapıdır , L bir orada temel alt bölgesinin A fazla k fazla boyutta. Bu, örneğin yüklem mantığından bir "yapının" normal tanımını kullanarak mantığın uygun bir "temel altyapı" kavramına sahip olmasını gerektirir.

Rakamların mevcut olduğu herhangi bir mantık için, Löwenheim – Skolem – Tarski sayısı Löwenheim – Skolem sayısından az olmayacaktır ve bu da Löwenheim sayısından az olmayacaktır.

Örnekler

• Löwenheim-Skolem teoremi göstermektedir birinci dereceden mantık Löwenheim-Skolem Tarski numarası ℵ olduğunu ₀ . Bu, özellikle, birinci dereceden mantığın bir cümlesinin tatmin edici olması durumunda, cümlenin sayılabilir bir modelde tatmin edici olduğu anlamına gelir.
• Ölçülebilir bir kardinal varsa , ikinci dereceden mantığın Löwenheim-Skolem sayısının birinci ölçülebilir kardinalden daha büyük olduğu bilinmektedir . (Aynı durum Hanf sayısı için de geçerlidir .) İkinci derece mantığın evrensel (parçası) Löwenheim sayısı birinci süper kompakt kardinalden daha azdır (var olduğunu varsayarak).

Notlar

Referanslar

• Menachem Magidor ve Jouko Väänänen. Mittag-Leffler Enstitüsü'nün " Löwenheim-Skolem-Tarski sayılarında birinci dereceden mantığın uzantıları ", Rapor No. 15 (2009/2010).
• Yi Zhang Mantık ve cebir 2002. ISBN   0-8218-2984-X