Kruskal–Szekeres koordinatları - Kruskal–Szekeres coordinates

2 GM =1 için gösterilen Kruskal–Szekeres diyagramı . Çeyrekler kara delik içi (II), beyaz delik içi (IV) ve iki dış bölgedir (I ve III). Bu dört bölgeyi birbirinden ayıran noktalı 45 derecelik çizgiler olay ufuklarıdır . Diyagramın üstünü ve altını sınırlayan daha koyu hiperboller, fiziksel tekilliklerdir. Soluk hiperbollerin temsil hatları Schwarzschild arasında r koordine ve başlangıç noktasından düz çizgiler Schwarzschild hatlarını temsil t koordine ederler.

Olarak genel görelilik Kruskal Szekeres koordinatları adını, Martin Kruskal ve George Szekeres , bir olan bir koordinat sistemi için Schwarzschild geometri bir için kara delik . Bu koordinatlar , maksimum genişletilmiş Schwarzschild çözümünün tüm uzay-zaman manifoldunu kapsamaları ve fiziksel tekilliğin dışında her yerde iyi davranmaları avantajına sahiptir .

Kruskal-Szekeres koordinatları, küresel bir nesnenin etrafındaki uzay-zaman için de geçerlidir, ancak bu durumda, nesnenin yarıçapı içindeki uzay-zamanın bir tanımını vermez. Bir yıldızın bir kara deliğe çöktüğü bir bölgedeki uzay-zaman, Kruskal-Szekeres koordinatlarıyla (veya Schwarzschild koordinatlarıyla ) yaklaşık olarak hesaplanır . Yıldızın yüzeyi , Schwarzschild koordinatlarında olay ufkunun dışında kalır , ancak Kruskal-Szekeres koordinatlarında onu geçer. ( Gözlemlediğimiz herhangi bir "karadelik"te , onu maddesinin çökmesini henüz tamamlamadığı bir zamanda görürüz, dolayısıyla henüz karadelik değildir.) Benzer şekilde, karadeliğe düşen nesneler olay ufkunun dışında kalır. Schwarzschild koordinatlarında, ancak Kruskal-Szekeres koordinatlarında çaprazlayın.

Tanım

Kruskal-Szekeres diyagramı. Animasyonun her karesi, Schwarzschild radyal koordinatının sabit olduğu (ve tekilliklerde bitene kadar her ardışık karede daha küçük bir değerle) yüzey olarak mavi bir hiperbol gösterir.

Bir kara delik geometrisi üzerindeki Kruskal-Szekeres koordinatları , Schwarzschild koordinatlarından t ve r yerine yeni bir zaman benzeri koordinat T ve yeni bir uzay benzeri koordinat ile değiştirilerek tanımlanır : ${\görüntüleme stili (t,r,\teta ,\phi )}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle T=\sol({\frac {r}{2GM}}-1\sağ)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \sol({\frac {t}{4GM}) }\sağ)}$

${\displaystyle X=\sol({\frac {r}{2GM}}-1\sağ)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \sol({\frac {t}{4GM}) }\sağ)}$

olay ufku dışındaki dış bölge için ve: ${\görüntüleme stili r>2GM}$

${\displaystyle T=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\sağ)^{1/2}e^{r/4GM}\cosh \left({\frac {t}{4GM} }\sağ)}$

${\displaystyle X=\sol(1-{\frac {r}{2GM}}\sağ)^{1/2}e^{r/4GM}\sinh \sol({\frac {t}{4GM} }\sağ)}$

iç bölge için . Burada olan yerçekimi sabiti Schwarzschild kütle parametresi ile çarpılır ve bu makalede kullanan birimleri burada = 1. ${\görüntüleme stili 0<r<2GM}$${\görüntüleme stili GM}$${\görüntüleme stili c}$

Dış bölge, olay ufku ve iç bölgenin birleşiminde, Schwarzschild radyal koordinatının ( Schwarzschild yarıçapı ile karıştırılmamalıdır ), Kruskal-Szekeres koordinatları cinsinden (benzersiz) çözümü olarak belirlenir. denklem: ${\görüntüleme stili r}$ ${\displaystyle r_{s}=2GM}$

${\displaystyle T^{2}-X^{2}=\left(1-{\frac {r}{2GM}}\sağ)e^{r/2GM}\ ,T^{2}-X^ {2}<1}$

Kullanma Lambert W fonksiyonu çözeltisi olarak yazılır:

${\displaystyle r=2GM\sol(1+W_{0}\left({\frac {X^{2}-T^{2}}{e}}\sağ)\sağ)}$.

Üstelik, kara deliğin dışındaki bölgede hemen görülür. ${\displaystyle T^{2}-X^{2}<0,\ X>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {arctanh}} (T/X)}$

kara deliğin içindeki bölgede ise ${\displaystyle 0<T^{2}-X^{2}<1,\ T>0}$

${\displaystyle t=4GM\mathop {\mathrm {arctanh}} (X/T)}$

Bu yeni koordinatlarda Schwarzschild kara delik manifoldunun metriği şu şekilde verilir:

${\displaystyle g={\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(-dT^{2}+dX^{2})+r^{ 2}g_{\Omega},}$

(− + + +) metrik imza kuralı kullanılarak yazılır ve burada metriğin açısal bileşeni (2 kürenin Riemann metriği):

${\displaystyle g_{\Omega }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}}$.

Metriğin bu formda ifade edilmesi, radyal sıfır jeodeziklerin yani sabitin doğrulardan birine paralel olduğunu açıkça göstermektedir . Schwarzschild koordinatlarında, Schwarzschild yarıçapı olay ufkunun radyal koordinatıdır . Kruskal-Szekeres koordinatlarında olay ufku ile verilir . Metrik, olay ufkunda mükemmel bir şekilde tanımlanmış ve tekil değildir. Eğrilik tekilliği konumunda bulunur . ${\displaystyle \Omega =\Omega (\teta,\phi )}$${\görüntüleme stili T=\pm X}$${\displaystyle r_{s}=2GM}$ ${\görüntüleme stili r=r_{s}=2GM}$${\displaystyle T^{2}-X^{2}=0}$${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

Maksimum düzeyde genişletilmiş Schwarzschild çözümü

Schwarzschild koordinatları ve Kruskal-Szekeres koordinatları arasında dönüşüm için tanımlanan r  2> GM ve en azından meydana birinci tekilliğe, analitik bir fonksiyonu olarak, uzatılabilir . Böylece yukarıdaki metrik, bu bölge boyunca Einstein'ın denklemlerinin bir çözümüdür. İzin verilen değerler ${\displaystyle -\infty <t<\infty }$${\displaystyle T^{2}-X^{2}=1}$

${\displaystyle -\infty <X<\infty \,}$

${\displaystyle -\infty <T^{2}-X^{2}<1}$

Bu uzantının, çözümün her yerde analitik olduğunu varsaydığını unutmayın.

Maksimum genişletilmiş çözümde aslında r = 0'da iki tekillik vardır , biri pozitif T için diğeri negatif T için . Negatif T tekilliği, bazen " beyaz delik " olarak adlandırılan, zamanı tersine çevrilmiş kara deliktir . Parçacıklar bir beyaz delikten kaçabilir ama asla geri dönemezler.

Maksimum genişletilmiş Schwarzschild geometrisi, her biri uygun bir Schwarzschild koordinatları seti ile kapsanabilen 4 bölgeye ayrılabilir. Öte yandan Kruskal-Szekeres koordinatları tüm uzay-zaman manifoldunu kapsar. Dört bölge olay ufuklarıyla ayrılır.

ben	dış bölge	${\displaystyle -X<T<+X}$	${\ Displaystyle 2GM<r}$
II	iç kara delik	${\displaystyle \vert X\vert <T<{\sqrt {1+X^{2}}}}$	${\görüntüleme stili 0<r<2GM}$
III	paralel dış bölge	${\displaystyle +X<T<-X}$	${\ Displaystyle 2GM<r}$
IV	iç beyaz delik	${\displaystyle -{\sqrt {1+X^{2}}}<T<-\vert X\vert }$	${\görüntüleme stili 0<r<2GM}$

Yukarıda Schwarzschild ve Kruskal-Szekeres koordinatları arasında verilen dönüşüm sadece I ve II bölgelerinde geçerlidir (eğer karekökü pozitif alırsak). Diğer iki bölgede de benzer bir dönüşüm yazılabilir.

Schwarzschild zaman koordinatı t şu şekilde verilir:

${\displaystyle \tanh \left({\frac {t}{4GM}}\sağ)={\begin{durumlar}T/X&{\mbox{(I ve III'te)}}\\X/T&{\ mbox{(II ve IV'te)}}\end{durumlar}}}$

Her bölgede olay ufkunda sonsuzluklarla birlikte bir noktadan diğerine koşar . ${\görüntüleme stili -\infty }$${\ Displaystyle +\infty }$

Hawking radyasyonunun kuantum sürecinin üniter olduğu gereksinimlerine dayanarak , 't Hooft , I ve III ve II ve IV bölgelerinin sadece paralel evrenler yerine kökler için dallar seçmekten kaynaklanan matematiksel eserler olduğunu ve eşdeğerlik ilişkisinin olduğunu öne sürdü.

${\görüntüleme stili (T,X,\Omega )\sim (-T,-X,-\Omega )}$

2 kürenin antipodu nerede uygulanmalıdır . III ve IV bölgelerinin küresel koordinatlara sahip olduğunu, ancak karekökün hesaplanması için negatif bir seçim olduğunu düşünürsek, uzayda aynı noktayı belirtmek için küre üzerinde buna karşılık gelen zıt noktaları kullanırız, yani örn. ${\görüntüleme stili -\Omega }$${\görüntüleme stili\Omega }$${\görüntüleme stili r}$

${\displaystyle (t^{(I)},r^{(I)},\Omega ^{(I)})=(t,r,\Omega )\sim (t^{(III)},r ^{(III)},\Omega ^{(III)})=(t,-r,-\Omega ).}$

Bu şu anlama gelir . Bu, metriği koruyan grup tarafından serbest bir eylem olduğundan , bu iyi tanımlanmış bir Lorentzian manifoldu verir (tekillik dışında her yerde). Koordinat doğru parçasına karşılık gelen iç bölge II'nin sınırını , karşılık gelen dış bölge I'in sınırı ile tanımlar . Tanımlama, her bir çiftin bir küreye tekabül ederken , noktanın ( Schwarzschild resmindeki olay ufkuna karşılık gelen) bir küreye değil, bunun yerine yansıtmalı düzleme karşılık geldiği ve alttaki manifoldun topolojisinin artık olmadığı anlamına gelir . Manifold artık basitçe bağlı değildir , çünkü uzay-zamandaki bir noktadan kendisine geri giden bir döngü (süperluminal kısımlar içeren) ancak ters Kruskal-Szekeres koordinatlarında bir boş döngüye indirgenemez. ${\displaystyle r^{(I)}\Omega ^{(I)}=r^{(III)}\Omega ^{(III)}=r\Omega }$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle t^{(II)}=-\infty }$${\displaystyle T=-X,\ T>0,X<0}$${\displaystyle t^{(I)}=-\infty }$${\displaystyle T=-X,\ T<0,X>0}$${\displaystyle (T,X)\sim (-T,-X)\neq (0,0)}$${\görüntüleme stili (T,X)=(0,0)}$${\görüntüleme stili r=2GM}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}=S^{2}/\pm }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}-\mathrm {line} =\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}}$

Kruskal-Szekeres diyagramının niteliksel özellikleri

Kruskal-Szekeres koordinatları, onları Schwarzschild uzay-zamanı hakkında sezgiler oluşturmaya yardımcı olan bir dizi faydalı özelliğe sahiptir. Bunların başında, tüm radyal ışık benzeri jeodeziklerin ( radyal yönde hareket eden ışık ışınlarının dünya çizgileri ), bir Kruskal-Szekeres diyagramında çizildiğinde 45 derecelik bir açıyla düz çizgiler gibi görünmesi gerçeğidir (bu, aşağıdakilerden türetilebilir). yukarıda verilen metrik denklem, o zaman doğru zaman ise garanti eder ). Işıktan yavaş nesnelerin tüm zamana benzer dünya çizgileri, her noktada dikey zaman eksenine ( T koordinatı) 45 dereceden daha yakın bir eğime sahip olacaktır . Yani, bir ışık konisi bir Kruskal-Szekeres şemada çizilmiş bir hafif koni olarak sadece aynı bakacağız Minkowski diyagram halinde özel görelilik . ${\displaystyle dX=\pm dT\,}$ ${\displaystyle ds=0}$

Kara delik ve beyaz delik iç bölgelerini sınırlayan olay ufku, aynı zamanda, ufukta radyal yönde yayılan bir ışık ışınının (karadelik durumunda dışa doğru, içe doğru yönlendirilmiş) olduğu gerçeğini yansıtan 45 derecede bir çift düz çizgidir. beyaz delik durumunda) sonsuza kadar ufukta kalacaktı. Böylece iki kara delik ufku, diyagramın merkezindeki ( T = X = 0'da) bir olayın gelecekteki ışık konisinin sınırlarıyla çakışırken, iki beyaz delik ufku, bu olayın geçmiş ışık konisinin sınırlarıyla çakışır. aynı olay. Kara delik iç bölgesi içindeki herhangi bir olay, bu bölgede kalan bir gelecek ışık konisine sahip olacaktır (olayın gelecekteki ışık konisi içindeki herhangi bir dünya çizgisi, sonunda , iki kara delik tarafından sınırlanmış bir hiperbol olarak görünen kara delik tekilliğine çarpacaktır). ufuklar) ve beyaz delik iç bölgesi içindeki herhangi bir olay, bu bölgede kalan bir geçmiş ışık konisine sahip olacaktır (öyle ki, bu geçmiş ışık konisi içindeki herhangi bir dünya çizgisi, iki beyaz ile sınırlanan bir hiperbol olan beyaz delik tekilliğinden kaynaklanmış olmalıdır). delik ufuklar). Ufuk dışa doğru genişleyen bir koni gibi görünse de, bu yüzeyin r ile verilen alanı bir sabittir. Yani, dikkatli olunmazsa bu koordinatlar aldatıcı olabilir. ${\ Displaystyle 16\pi M^{2}}$

Bir Kruskal-Szekeres diyagramında çizildiğinde sabit Schwarzschild koordinatının nasıl görüneceğini düşünmek öğretici olabilir . Schwarzschild koordinatlarındaki sabit r koordinatlı eğrilerin her zaman 45 derecede bir çift olay ufku tarafından sınırlanan hiperboller gibi göründüğü, Schwarzschild koordinatlarındaki sabit t koordinatlı doğruların ise her zaman merkezden geçen çeşitli açılarda düz çizgiler gibi göründüğü ortaya çıktı. diyagramın. Dış bölge çevreleyen kara delik ufuk I would çakıştığı bir Schwarzschild t -coordinate arasında beyaz delik ufuk bu bölgeyi çevreleyen etmekle beraber çakıştığı bir Schwarzschild t -coordinate arasında Schwarzschild koordinatları, aslında yansıtan birbirlerini çeken parçacık sonsuz alır ufka ulaşmak için koordinat zamanı (yani, parçacığın ufka olan mesafesi, Schwarzschild t- koordinatı sonsuza yaklaşırken sıfıra yaklaşır) ve ufuktan yukarı doğru hareket eden bir parçacık, geçmişte sonsuz bir koordinat zamanını geçmiş olmalıdır. Bu sadece Schwarzschild koordinatlarının nasıl tanımlandığının bir eseridir; serbest düşen bir parçacığın bir dış gözlemci ile bir olay ufku arasında geçmesi yalnızca sonlu bir uygun zaman alacaktır (kendi saatiyle ölçülen zaman) ve parçacığın dünya çizgisi Kruskal-Szekeres diyagramında çizilirse bu da yalnızca Kruskal-Szekeres koordinatlarında sonlu bir koordinat zamanı alın. ${\ Displaystyle +\infty }$${\görüntüleme stili -\infty }$

Schwarzschild koordinat sistemi, Kruskal-Szekeres diyagramındaki I ve II bölgeleri gibi yalnızca tek bir dış bölgeyi ve tek bir iç bölgeyi kapsayabilir. Kruskal-Szekeres koordinat sistemi ise Schwarzschild koordinatlarının kapsadığı bölgeyi içeren "maksimum genişletilmiş" bir uzay-zamanı kapsayabilir. Burada "maksimum olarak genişletilmiş", uzay-zamanın herhangi bir "kenarı" olmaması gerektiği fikrine atıfta bulunur: herhangi bir jeodezik yol, yerçekimsel bir tekilliğe girmediği sürece her iki yönde de keyfi olarak uzatılabilir . Teknik olarak, bu, maksimum olarak uzatılmış bir uzay-zamanın "jeodezik olarak tamamlanmış" olduğu anlamına gelir (yani, herhangi bir jeodezik, 'afin parametresinin' keyfi olarak büyük pozitif veya negatif değerlerine genişletilebilir; bu, zamana benzer bir jeodezik durumunda sadece uygun zaman olabilir. ) veya herhangi bir jeodezik eksikse, bunun nedeni tekillikle bitmeleri olabilir. Bu gereksinimin karşılanabilmesi için parçacıkların olay ufkundan dışarı düştüklerinde karadelik iç bölgesine (bölge II) ek olarak (bölge I), ayrı bir beyaz delik iç bölgesinin olması gerektiği bulunmuştur Bir dış gözlemcinin olay ufkundan uzağa doğru yükseldiğini gördüğü parçacıkların yörüngelerini genişletmemize izin veren bölge (bölge IV) , iki iç kısımdaki bazı olası parçacık yörüngelerini genişletmemize izin veren ayrı bir dış bölge (bölge III) ile birlikte. bölgeler. Orada bir maksimum genişletilmiş uzay-içine dış Schwarzschild çözümü uzatmak aslında birden olası yolları vardır, ancak Kruskal-Szekeres uzantısı bir maksimal olduğunu, tektir analitik , basit bağlantılı vakum çözümü olan tüm maksimum genişletilmiş geodezikler başka ya tam veya vardır eğrilik skaler sonlu afin zamanlı olarak birlikte ıraksadığını.

Lightcone varyantı

Literatürde Kruskal-Szekeres koordinatları bazen ışık konisi varyantlarında da görünür:

${\ Displaystyle U=TX}$

${\görüntüleme stili V=T+X,}$

hangi metrik verilir

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {32G^{3}M^{3}}{r}}e^{-r/2GM}(dUdV)+r^{2}d\Omega ^ {2},}$

ve r örtük olarak denklem tarafından tanımlanır

${\displaystyle UV=\sol(1-{\frac {r}{2GM}}\sağ)e^{r/2GM}.}$

Bu ışık konisi koordinatları, giden boş jeodezikler tarafından verilirken, giren boş jeodezikler tarafından verilmesi gibi kullanışlı bir özelliğe sahiptir . Ayrıca, (gelecek ve geçmiş) olay ufuk(lar)ı denklem tarafından verilir ve eğrilik tekilliği denklem tarafından verilir . ${\displaystyle U={\metin{sabit}}}$${\displaystyle V={\metin{sabit}}}$${\ Displaystyle UV=0}$${\ Displaystyle UV=1}$

Işık konisi koordinatları, Eddington-Finkelstein koordinatlarından yakından türetilir .

Ayrıca bakınız

• Schwarzschild koordinatları
• Eddington-Finkelstein koordinatları
• izotropik koordinatlar
• Gullstrand-Painlevé koordinatları

Notlar

Referanslar

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). yerçekimi . WH Freeman ve Şirketi. ISBN'si 0-7167-0344-0.CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı )